人教版数学选修1-1 检测：第三章检测

第三章检测

(时间:90分钟 满分:100分)
一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项 是符合题目要求的)

1.已知f(x)在x=x

0
处可导,则

-










x
0
) B.f'(x
0
) C.2f'(x
0
) D.4f'(x
0
)
答案:A
2.曲线y




+x在点




处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为


A.1







答案:B
3.已 知点P在曲线F:y=x
3
-x上,且曲线F在点P处的切线与直线x+2y=0垂直,则点P 的坐标为(

A.(1,1) B.(-1,0)
C.(-1,0)或(1,0) D.(1,0)或(1,1)
答案:C
4.若函数f(x)=x
2
+2( a-1)x+2在区间(-∞,0]上是减函数,则实数a的取值范围是(

)
A.a≥3 B.a≤1 C.a<5 D.a≥1
解析:f'(x)=2x+2a-2,因 为f(x)在(-∞,0]上是减函数,所以f'(0)≤0,即2a-2≤0,a≤1.
答案:B
5.设a∈R,若函数f(x)=e
x
+ax,x∈R有大于零的极值点,则(

)
A.a>-1 B.a<-1
C.a>

.a<



解析:因为f(x)=e
x
+ax,所以f'(x)=e
x
+a.
若函数在x∈R上有大于零的极值点,
即f'(x)=e
x
+a=0有正根.
当f'(x)=a+e
x
=0成立时,显然有a<0,此时x=ln(-a),

)

由x>0,得参数a的范围为a<-1.
答案:B
6.已知f(x)=2x
3
-6x
2
+m(m为 常数)在[-2,2]上有最大值3,则此函数在[-2,2]上的最小值是(

)
A.-37
C.-5
B.-29
D.以上都不正确
解析:f'(x)=6x
2
-12x=6x(x-2).
∵
f(x )在(-2,0)内为增函数,在(0,2)内为减函数,且f(-2)=-40+m,f(2)=-8+m,< br>∴
当x=0时,f(x)
max
=m,
∴
m=3.
从而f(-2)=-37,f(2)=-5,
∴
最小值为-37.
答案:A
7.已知f(x)=x
3
-6x
2
+9x-abc,a①
f(0)f(1)>0;
②
f(0)f(1)<0;
③
f(0)f(3)>0;
④
f(0)f (3)<0.
其中正确结论的序号是(

)
A.
①③

解析:
B.
①④
C.
②③
D.
②④


设g(x)=x
3
-6x
2
+9x=0,则x
1
=0,x
2
=x
3
=3,其图象如图.
要使f(x)=x
3
-6x
2
+9x-abc有3个零点,需将g(x)的图象向下平移,如图 所示.

又f'(x)=3x
2
-12x+9=0时,x
1
=1,x
2
=3,即得f(1)是极大值,f(3)是极小值.
故由图象可知f(0)·f(1)<0,f(0)·f(3)>0.
答案:C
8. 若函数f(x)=x
3
-3x+a有3个不同的零点,则实数a的取值范围是(

)
A.(-2,2) B.[-2,2] C.(-∞,-1)

D.(1,+∞)

解析:f'(x)=3x
2
-3=3(x+1)(x-1).
∵
当x<-1时,f'(x)>0;
当-1当x>1时,f'(x)>0,
∴
当x=-1时,f(x)有极大值,当x=1时,f(x)有极小值.
要使f(x)有3个不同的零点,
-
只需 解得-2
答案:A
9.设f(x),g(x)是R上的可导函数,f'(x) ,g'(x)分别为f(x),g(x)的导函数,且满足f'(x)g(x)+f(x)g'(x)<0,则当
a
)
A.f(x)g(b)>f(b)g(x) B.f(x)g(a)>f(a)g(x)
C.f(x)g(x)>f(b)g(b) D.f(x)g(x)>f(b)g(a)
解析:令y=f(x)·g(x),则y'=f'(x)· g(x)+f(x)·g'(x),因为f'(x)g(x)+f(x)g'(x)<0,所以y在R上单调递减 ,又x故f(x)g(x)>f(b)g(b).
答案:C
10.设函数y =f(x)在定义域内可导,其图象如图所示,则导函数y=f'(x)的大致图象为(

)


解析:由函数y=f(x)的图象知,当x∈(-∞,0)时,f(x)单调递减 ,则f'(x)<0;当x>0时,f(x)先增,再减,然后再增,
则f'(x)先正,再负,然后再 正.故选D.
答案:D
二、填空题(本大题共5个小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)

11.曲线f(x)=x
2
+x在点(2,f(2))处的切线方程为

.
答案:5x-y-4=0
12.函数f(x)=x
3
-6x
2
+a的单调递减区间为

.
答案:(0,4)
13.函数f(x)=x

在 0,+∞)上的最小值为

,此时x=

.
答案:4

2
14.已知函数f(x)=aln x+x在区间[2,3]上单调递增,则实数a的取值范围是

.
解析:
∵
f(x)=aln x+x,
∴
f'(x

.
又
∵
f(x)在[2,3]上单调递增,
≥0在x∈[2,3]上恒成立,




∴
a≥(-x)
max
=-2,
∴
a∈[-2,+∞).
答案:[-2,+∞)
15.给出定义:若函数f(x)在D上可导,即f'(x)存在,且 导函数f'(x)在D上也可导,则称f(x)在D上存在二
阶导函数,记f″(x)=(f'(x)) '.若f″(x)<0在D上恒成立,则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数
在



上不是凸函数的是

.(填序号)


①
f(x)=sin x+cos x;
②
f(x)=ln x-2x;
③
f(x)=-x
3
+2x-1;
④
f(x)=xe
x
.
解析:对于
①
,f″(x)=-(sin x+cos x),x∈




时,f″(x)<0恒成立;
对于
②
,f″(x)=


在x∈




时,f″(x)<0恒成立;
对于
③
,f″(x)=-6x,在x∈




时,f″(x)<0恒成立;
对于
④
,f″(x)=(2+x)e
x
在x∈




时,f″(x)>0恒成立,所以f(x)=xe
x
不是凸函数.
答案:
④





三、解答题(本大题共3个小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16.(8分)设函数f(x)=6x
3
+3(a+2)x
2
+2a x.

(1)若函数f(x)的两个极值点为x
1
,x
2
,且x
1
x
2
=1,求实数a的值.
( 2)是否存在实数a,使得f(x)是(-∞,+∞)上的单调函数?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由 .
分析:(1)极值点是f'(x)=0的根,利用根与系数的关系解决即可.
(2)f(x)是(-∞,+∞)上的单调函数?方程f'(x)=0的判别式Δ≤0.
解:f'(x)=18x
2
+6(a+2)x+2a.
(1)
∵< br>x
1
,x
2
是函数f(x)的两个极值点,
∴
f'(x
1
)=f'(x
2
)=0,
即x1
,x
2
是18x
2
+6(a+2)x+2a=0的两个根,
从而x
1
x


a=9.
(2 )
∵
Δ=36(a+2)
2
-4×18×2a=36(a
2
+4)>0,
∴
不存在实数a,使得f(x)是(-∞,+∞)上的单调函数.
17.(8分)某造船公司年造船量是20艘,已知造船x艘的产值函数为R(x)=3 700x+4 5x
2
-10x
3
(单位:万
元),成本函数为C(x)=460x +5(单位:万元),又在经济学中,函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为
Mf(x)=f(x+ 1)-f(x).
(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x).(提示:利润=产值- 成本)
(2)问年造船量安排多少艘时,可使公司造船的年利润最大?
(3)求边际利润函数MP(x)的单调递减区间,并说明单调递减在本题中的实际意义是什么? 分析:(1)将R(x)与C(x)的关系式代入P(x)=R(x)-C(x)即可;然后将P(x)关系 式代入边际利润函数MP(x)
即可.
(2)利用用导数求其定义域上最值的方法求最大值.
(3)利用用导数求单调区间的方法求单调区间.
解:(1)P(x)=R(x)-C(x) =-10x
3
+45x
2
+3 240x-5(x∈N
+
,且1≤x≤20);
MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x
2
+60x+3 275(x∈N
+
,且1≤x≤19).
(2)P'(x)=-30x
2
+90x+3 240=-30(x-12)(x+9),
∵
x>0,
∴
P'(x)=0时,x=12,
∴
当00,
当x>12时,P'(x)<0,
∴
x=12时,P(x)有最大值.
即年造船量安排12艘时,可使公司造船的年利润最大.

(3)MP(x)=-30x
2
+60x+3 275=-30(x-1)
2
+3 305.所以,当x≥1时,MP(x)是减函数,
所以单调减区间为[1,19],且x∈N
+
.
MP(x)是减函数的实际 意义是:随着产量的增加,每艘船的利润与前一艘船的利润比较,利润在减
少.
18.(9分)函数f(x)=ax
3
+3x
2
+3x(a≠0).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)在区间(1,2)内是增函数,求a的取值范围.
分析:(1)由于导函数 的判别式含参数a,因此要根据导数值的正负判断其单调性,需对a进行分类讨论.
当判别式为正时,导 函数有两根,为比较两根的大小,需对a进行二重讨论.
(2)根据f(x)在(1,2)上是增函数可列出关于a的不等式,注意对a>0或a<0进行讨论.
解:(1)f'(x)=3ax
2
+6x+3,f'(x)=0的判别式Δ=36(1 -a).
①
若a≥1,则f'(x)≥0,且f'(x)=0,当且仅当a=1,x=-1.
故此时f(x)在R上是增函数.
②
由于a≠0,故当a<1时,f'(x)=0有两个根:
x
1
=
-

-

,x
2
=
- -

-

.
若02
)或x∈(x
1
,+∞)时f'(x) >0,故f(x)分别在(-∞,x
2
),(x
1
,+∞)内是增函数; < br>当x∈(x
2
,x
1
)时,f'(x)<0,故f(x)在(x
2
,x
1
)内是减函数;
若a<0,则当x∈(-∞,x
1)或(x
2
,+∞)时f'(x)<0,故f(x)分别在(-∞,x
1
),(x
2
,+∞)内是减函数;
当x∈(x
1
,x
2< br>)时,f'(x)>0,故f(x)在(x
1
,x
2
)内是增函数.
(2)当a>0,x>0时,f'(x)=3ax
2
+6x+3>0,故当a>0时, f(x)在区间(1,2)内是增函数.
当a<0时,f(x)在区间(1,2)内是增函数,当且仅 当f'(1)≥0,且f'(2)≥0,解得-

≤a<0.
综上,a的取值范围是 -
∪(0,+∞).