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【精品】高中数学选修1-1_椭圆的简单性质 讲义+巩固练习_提高

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-22 07:55
tags:高中数学选修1-1

北京高中数学选修几本书-高中数学向量问题难点

2020年9月22日发(作者:双清)


椭圆的简单性质
【学习目标】
1.知识与技能目标:
了解用 方程的方法研究图形的对称性;理解椭圆的范围、对称性及对称轴、对称中心、顶
点、离心率的概念;进 一步掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题.
2.过程与方法目标:
引导学生通过观察、类比、讨论等方法,让学生迅速获得椭圆的性质.
3. 情感态度、价值观目标:
在椭圆的简单性质的学习过程中,培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学
态度.
【要点梳理】
要点一:椭圆的简单几何性质
x
2
y
2< br>我们根据椭圆
2
?
2
?1
(a?b?0)
和它的图象 (如图)来研究椭圆的简单几何性质.
ab

1. 对称性
x
2
y
2
对于椭圆标准方程
2
?
2
?1
,把x 换成―x,或把y换成―y,或把x、y同时换成―x、―y,
ab
x
2
y< br>2
方程都不变,所以椭圆
2
?
2
?1
是以x轴、y轴 为对称轴的轴对称图形,且是以原点为对称中
ab
心的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的 中心.
2. 范围
椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内,所以椭 圆上点的坐标满足|x|≤a,
|y|≤b.
3. 顶点
①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点.


x
2
y2
②椭圆
2
?
2
?1
(a>b>0)与坐标轴的四个交 点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为A(
1
―a,
ab
0),A
2< br>(a,0),B
1
(0,―b),B
2
(0,b).
③线段 A
1
A
2
,B
1
B
2
分别叫做椭圆的长轴 和短轴,|A
1
A
2
|=2a,|B
1
B
2
|=2b.a和b分别叫做椭
圆的长半轴长和短半轴长.
4. 离心率
①椭圆的 焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用e表示,记作
e?
2cc
?
. < br>2aa
②因为a>c>0,所以e的取值范围是0<e<1.e越接近1,则c就越接近a,从而
b?a
2
?c
2
越小,因此椭圆越扁;反之,e越接近于0,c就越 接近0,从而b越接近于a,这时椭圆就越
接近于圆.当且仅当a=b时,c=0,这时两个焦点重合, 图形变为圆,方程为x
2
+y
2
=a
2

要点诠释:
x
2
y
2
椭圆
2
?
2
?1
的图象中线段的几何特征(如下图):
ab

|PF
1
||PF
2
|
2a
2
(1)
PF
1< br>?PF
2
?2a
,;
??e

|PM
1< br>|?|PM
2
|?
|PM
1
||PM
2
|< br>c
(2)
BF
1
?BF
2
?a

O F
1
?OF
2
?c

A
2
B?A
1
B?a
2
?b
2

(3)
A
1
F
1
?A
2
F
2
?a?c

A
1
F
2
?A
2
F
1
?a?c

a ?c?PF
1
?a?c

要点二:椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义
椭圆标准方程中,a、b、c三个 量的大小与坐标系无关,是由椭圆本身的形状大小所确定
的,分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦 距长,均为正数,且三个量的大小关系为:a
>b>0,a>c>0,且a
2
=b2
+c
2

可借助下图帮助记忆:


a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边,其中a是斜边,b、c为两条直角边. < br>和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形
?PF
1
F
2
有关,这样的问题考虑到用椭圆的定
义及余弦定理(或勾股定理)、三角形面积公式
S
?PFF
?
12
1
PF
1
?PF
2
sin ?F
1
PF
相结合的方法进行计
2
算与解题,将有关线段
P F
1

PF
2

F
1
F
2
,有关角
?F
1
PF
2
(
?F
1
PF< br>2
??F
1
BF
2
)结合起来,建立
PF
1
?PF
2

PF
1
?PF
2
之间的关系.
要点三:椭圆两个标准方程几何性质的比较
标准方程
x
2
y
2
??1(a?b?0)

a
2< br>b
2
x
2
y
2
??1(a?b?0)

b
2
a
2
图形

焦点
焦距
范围
对称



顶点

离心


x
2
y
2
y
2
x
2
要点诠释:椭圆
2
?
2
?1

2< br>?
2
?1
(a>b>0)的相同点为形状、大小都相同,参数间
aba b
c
的关系都有a>b>0和
e?(0?e?1)
,a
2
= b
2
+c
2
;不同点为两种椭圆的位置不同,它们的焦点
a
F
1
(?c,0)

F
2
(c,0)

| F
1
F
2
|?2c(c?a
2
?b
2
)< br>

F
1
(0,?c)

F
2
(0,c)
< br>|F
1
F
2
|?2c(c?a
2
?b
2)

|x|?a

|y|?b

|x|?b

|y|?a

关于x轴、y轴和原点对称
(?a,0)

(0,?b)

(0,?a)

(?b,0)

长轴长=
2a
,短轴长=
2b

e?
c
(0?e?1)

a


坐标也不相同;
椭圆的焦点总在长轴上,因此已知标准方程,判断焦点位置的方法是:看x
2
、y2
的分母的
大小,哪个分母大,焦点就在哪个坐标轴上.
要点四:直线与椭圆的位置关系
平面内点与椭圆的位置关系
椭圆将平面分成三部分 :椭圆上、椭圆内、椭圆外,因此,平面上的点与椭圆的位置关系
有三种,任给一点M(x,y), < br>x
2
y
2
若点M(x,y)在椭圆上,则有
2
?2
?1
(a?b?0)

ab
x
2
y
2
若点M(x,y)在椭圆内,则有
2
?
2
?1
(a?b ?0)

ab
x
2
y
2
若点M(x,y)在椭圆 外,则有
2
?
2
?1
(a?b?0)

ab
直线与椭圆的位置关系
x
2
y
2
将直线的方 程
y?kx?b
与椭圆的方程
2
?
2
?1
(a?b ?0)
联立成方程组,消元转化为关于x
ab
或y的一元二次方程,其判别式为Δ.
①Δ>0
?
直线和椭圆相交
?
直线和椭圆有两个交点(或两个公共点 );
②Δ=0
?
直线和椭圆相切
?
直线和椭圆有一个切点(或一个 公共点);
③Δ<0
?
直线和椭圆相离
?
直线和椭圆无公共点.
直线与椭圆的相交弦
x
2
y
2
设直线
y?kx? b
交椭圆
2
?
2
?1
(a?b?0)
于点
P
1
(x
1
,y
1
),P
2
(x
2
,y
2
),
两点,则
ab
22
(x
1
?x
2
)
2
[1?(
|PP
12
|?(x
1
?x
2
)?(y
1
?y
2
)
=
y
1
?y
2
2
)]
=
1?k
2< br>|x
1
?x
2
|

x
1
?x
2
同理可得
|PP
12
|?1?
1
|y
1
?y
2
|(k?0)

k
2
这里
|x
1
?x
2
|,
|y
1
?y
2
|,
的 求法通常使用韦达定理,需作以下变形:
|x
1
?x
2
|?(x< br>1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2

|y
1
?y
2
|?(y
1
?y
2< br>)
2
?4y
1
y
2
.
【典型例题】
类型一:椭圆的简单几何性质


例1. 已知椭圆的对称轴为坐标轴,O为坐 标原点,F是一个焦点,A是一个顶点,若
椭圆的长轴长是6,且
cos?OFA?
, 求椭圆的方程.
【解析】椭圆的长轴长为6,
cos?OFA?
,所以点A不是长轴 的顶点,是短轴的顶点,
所以|OF|=c,
|AF|?|OA|
2
?|O F|
2
?b
2
?c
2
?a?3

?
,所以c=2,b
2
=3
2
-2
2
=5,
x< br>2
y
2
x
2
y
2
故椭圆的方程为
? ?1

??1

9559
2
3
2
3c
3
2
3
【思路点拨】灵活运用椭圆的几何性质:①a
2
=b
2
+c
2
;②长轴长2a,短轴长2b,进行求参
数的值或求 椭圆的方程.
举一反三:
【高清课堂:椭圆的性质 例1356756】
【变式 1】求椭圆16x
2
+25y
2
=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和 顶点的坐标.
【答案】长轴长
2a?10
,短轴长
2b?8
,离心 率
e?
,焦点
F
1
(?3,0)F
2
(3,0)< br>,顶点是
A
1
(?5,0)

A
2
(5,0 )

B
1
(0,?4)

B
2
(0,4)

3
5
【变式2】长轴长等于20,离心率等于,求椭圆的标准方程. < br>x
2
y
2
y
2
x
2
【答案】
??1

??1

1006410064
3
5
类型二:求椭圆的离心率或离心率的取值范围
例2.(1)已知椭圆的一个焦点将长轴分成长为
3∶2
的两段,求其离心率;
(2)已知椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为10和4,求其离心率.
【解析】(1 )由题意得
(a?c)∶(a?c)?3∶2
,即
(2)由题意得
?
【思路点拨】
(1)椭圆的离心率是椭圆几何性质的一个重要参数,求椭圆离心率的关键是由条件寻求 a、
c满足的关系式.
cb
?
b
(2)椭圆的离心率
e? ?1?
?
所以构造a、b、c三者中任意两个的关系,
??1?e
2

??
aaa
??
2
1?e3
,解得
e?5?26

?
1?e
2
?
a?c?10
?
a?7
c3
,解得
?
,故离心率
e??

a7
?
a?c?4
?
c?3
均可求出椭圆离心率,而a、b、c三者中任意两个的 关系,可以通过几何图形直观观察,可构


造方程或不等式得到三者关系.
(3)求椭圆的离心率通常有两种方法:
①若给定椭圆的方程,则根据焦点位置确定a
2
、b
2
,求出a、c的值,利用公式
e?
直接
求解;
②若椭圆的方程未知,则根据条件建立a、b、c、e满足的关系式,化为关于a、c的齐次
方 程,再将方程两边同除以a的最高次幂,得到e的方程,解方程求得e.
举一反三:
【变式1】椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形,则此椭圆的离心率是( )
A.
1
5
B.
3
4
C.
3
3
1
D.

2
c
a
【答案】D
x
2
y2
【变式2】椭圆
2
?
2
?1
上一点到两焦点的距离分 别为
d
1
、d
2
,焦距为
2c
,若
d1
、2c、d
2

ab
等差数列,则椭圆的离心率为_____
【答案】
x
2
y
2
例3. 设M为椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
上一点,F
1
、F
2
为 椭圆的焦点,若∠MF
1
F
2
=75°,
ab
1
2
∠MF
2
F
1
=15°,求椭圆的离心率.
【解析】在△MF
1
F
2
中,由正弦定理得
|MF
1
||MF
2
|
2c

??sin?F
1
MF
2
sin?MF
2
F
1sin?MF
1
F
2


|MF
1
| |MF
2
|
2c

??
sin90?sin15?sin7 5?
2c|MF1|?|MF2|2a

??
sin90?sin15?? sin75?sin15??sin75?
c
a
16

?
sin15??sin75?3

e??
【思路点拨】本题利用了椭圆的定义、正弦定 理、等比定理、三角变换等多种知识,求出
离心率e.
举一反三:
【变式1】以椭 圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点,顺次连结这四个点和两个焦点,
恰好围成一个正六边形,则这 个椭圆的离心率等于____.
【答案】
3?1


x
2
y
2
【变式2】已知椭圆
2
?
2
?1(a?0 ,b?0)
的左焦点为F,右顶点A,上顶点为B,若BF⊥
ab
BA,则称其为“优 美椭圆”,那么“优美椭圆”的离心率为________.
【答案】
5?1
2
【解析】根据题意,|AB
2
|=a
2
+b
2
,|BF|=a,|AF|=a+c,
所以在Rt△ABF中,有(a+c)
2
= a
2
+b
2
+a
2
,化简得c
2
+ac― a
2
=0,
等式两边同除以a
2
,得e
2
+e― 1=0,解得
e?
又∵0<e<1,∴
e?
5?1

2
?1?5

2
x
2
y
2
2< br>?
例4.已知椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
,F< br>1
,F
2
是两个焦点,若椭圆上存在一点P,使
?F
1
PF
2
?

ab
3
求其离心率
e
的取值 范围.
【解析】△F
1
PF
2
中,已知
?F
1< br>PF
2
?
2
?
,|F
1
F
2
|=2c,|PF
1
|+|PF
2
|=2a,
3
由余弦 定理:4c
2
=|PF
1
|
2
+|PF
2
|
2
-2|PF
1
||PF
2
|cOs120° ①
又|PF
1
|+|PF
2
|=2a ②
联立① ②得4c
2
=4a
2
-|PF
1
||PF
2
|,∴
|PF
1
||PF
2
|?4a
2
?4c< br>2

|PF
1
||PF
2
|?(
?
2a
2
)?a
2
?4a
2
?4c
2
?a< br>2
?3a
2
?4c
2
?0

2
c33
???e?1

a22
【思路点拨】求离心率或离 心率的范围,通常构造关于
a

b

c
的齐次式,从而构造 出
关于
e
的方程或不等式.
举一反三:
x
2
y
2
【变式】已知椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
, 以
a

b

c
为系数的关于
x
的方程ax
2
?bx?c?0

ab
实根,求其离心率
e的取值范围.
【答案】由已知,
??b
2
?4ac?0
,所以
(a
2
?c
2
)?4ac?0


c
2
?4ac?a
2
?0

不等式两 边同除
a
2
可得
e
2
?4e?1?0

解不等式得
e??5?2

e?5?2

由椭圆的离心率
e?(0,1)


所以所求椭圆离心率
e?(5?2,1)

类型三:直线与椭圆的位置关系
11
?
x
2
例6. 已知 椭圆
?y
2
?1
,求过点
P
?
?

?
且被
P
平分的弦所在的直线方程.
2
?
22
?
【解析】
?
解法一:设所求直线的斜 率为
k
,则直线方程为
y??k
?
?
x?
?
.代入椭圆方程,并整理得
22
??
11
?
1?2k
?
x?
?
2k
222
13
?2k
?
x?k< br>2
?k??0

22
2k
2
?2k
由韦达 定理得
x
1
?x
2
?

1?2k
2
P
是弦中点,∴
x
1
?x
2
?1
. 故得
k??

所以所求直线方程为
2x?4y?3?0

?
解法二:设过
P
?
?

?
的直线与椭圆交于< br>A
?
x
1
,y
1
?

B
?
x
2
,y
2
?
,则由题意得
22
??< br>?
x
1
2
2
?
?y
1
?1,
?
2
2
?
x
2
2
?
?y
2?1,
?
2
?
x
1
?x
2
?1,?
?
y
1
?y
2
?1.





1
2
11
2
x
1
2
?x
2
2
①-②得
?y
1
2
?y
2
?0
. ⑤
2
y?y
1
1将③、④代入⑤得
12
??
,即直线的斜率为
?

x
1
?x
2
2
2
所求直线方程为
2x?4y?3?0

【思路点拨】
(1)有关弦中点的问题,主要有三种类型:过定点且被定点平分 的弦;平行弦的中点轨
迹;过定点的弦中点轨迹.
(2)解法二是“点差法”,解决有关弦中点问题的题较方便,要点是巧代斜率.
(3)有关 弦及弦中点问题常用的方法是:“韦达定理应用”及“点差法”.有关二次曲线
问题也适用.
举一反三:
x
2
y
2
【变式1】已知点P(4,2)是直 线
l
被椭圆
??1
所截得线段的中点,求直线
l
的方程.
369


【答案】x+2y-8=0
x
2
y
2
【变式2】若直线
y?kx?1(k?R)
与椭圆
??1
恒有公共 点,求实数
m
的取值范围.
5m
【答案】
m?1且m?5





【巩固练习】
一、选择题
1.椭圆的 短轴的一个端点到一个焦点的距离为5,焦点到椭圆中心的距离为3,则椭圆的
标准方程是( )
x
2
y
2
x
2
y
2
A.+=1或 +=1
169
916




x
2< br>y
2
y
2
x
2
B.+=1或+=1
925925
x
2
y
2
y
2
x
2
C.+=1或+=1
16
251625
D.椭圆的方程无法确定
1< br>3
2.已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,且长轴为12,离心率为,则椭圆的方程是
( )
x
2
y
2
x
2
y
2A.
?1

??1
B.
?
3620
144128
x
2
y
2
x
2
y
2
C.
??1
D.
??1

32363632
x
2
y
2
3.若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆
??1
总有公共点,那么m的取值范围是( )
5m
A.(0,5) B.(0,1)
C.[1,5] D.[1,5)
4.椭圆满足这样的光学性质:从椭圆的一个焦点发射光线,经椭圆反射后,反射光线 经
x
2
y
2
过椭圆的另一个焦点.现在设有一个水平放置的椭圆形台 球盘,满足方程:
??1
,点A、
169
B是它的两个焦点,当静止的小球放 在点A处,从点A沿直线出发,经椭圆壁(非椭圆长轴端
点)反弹后,再回到点A时,小球经过的最短路 程是( )
A.20 B.18 C.16 D.以上均有可能
x
2
5. 椭圆
?y
2
?1
的两个焦点为
F
1
,F
2
,过
F
1
作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点
4


为 P,则
|PF
2
|
为( )
3
7
B.
3
C. D.4
2
2
x
2
y
2
6.椭圆
??1
上的点到直线
x?2y?2?0
的最大距离是( )
164
A.
A.3 B.
11
C.
22
D.
10

二、填空题
x
2
y
2
17.椭圆
??1
的离心率为,则m=________.
4m
2
x
2
y
2
8.若圆x+y=a(a>0)与椭圆
??1
有 公共点,则实数a的取值范围是________.
94
222
9.若椭圆的两个焦 点,短轴的一个端点构成一个正三角形,则该椭圆的离心率为 .
10.已知椭圆C的焦 点在x轴上,椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3,最小值为1,
则椭圆C的标准方程为 .
三、解答题
11.已知椭圆
mx
2
?3y
2
?6m?0
的一个焦点为(0,2),求
m
的值.

3
y
2
x
2
12.椭圆
2
?
2
?1
( a>b>0)的两焦点为F
1
(0,-c),F
2
(0,c)(c>0),离 心率e=,焦
2
ab
点到椭圆上点的最短距离为2-
3
,求椭圆的方 程.

13.已知长轴为12,短轴长为6,焦点在
x
轴上的椭圆,过它对 的左焦点
F
1
作倾斜解为
直线交椭圆于
A

B两点,求弦
AB
的长.
x
2
y
2
14..设 F
1
、F
2
为椭圆
??1
的两个焦点,P为椭圆上的一点, 已知P、F
1
、F
2
是一个
94
|PF
1
|
直角三角形的3个顶点,且|PF
1
|>|PF
2
|,求的值.
|PF
2
|
?

3

x
2
y
2
15.已知椭圆方程
2
?
2
?1
?
a?b?0
?
,长轴端点为
A
1

A
2
, 焦点为
F
1

F
2

P
是椭圆上一
ab
点,
?F
1
PF
2
?
?
.求:?F
1
PF
2
的面积(用
a

b
、< br>?
表示).

【答案与解析】


1.【答案】 C
【解析】由题意,a=5,c=3,∴b
2
=a
2
-c
2< br>=25-9=16,
x
2
y
2
y
2
x2
∴椭圆的标准方程为+=1或+=1.
16
251625
2.【答案】D
【解析】 由已知2a=12,
e?
,得a=6,c=2,∴
b?a
2
?c
2
?42,椭圆的中心在原点,
x
2
y
2
焦点在x轴上,所以椭圆的方程 是
??1

3632
1
3
3.【答案】D
【解析】 直线y=kx+1过定点(0,1),定点在椭圆的内部或椭圆上时直线y=kx+1与焦
x
2
y
2
0
2
1
2
点在x轴上的 椭圆
??1
总有公共点,∴
??1
,得m≥1,∴m的取值范围是1≤m<5 .
5m5m
4.【答案】C
【解析】 由椭圆定义可知小球经过路程为4a,所以最短路程为16,故选C.
5.【答案】C
b< br>2
1
17
【解析】∵
|PF
1
|?|PF
2
|?4,

|PF
1
|??
,∴
|PF
2
|?4??

a2
22
6.【答案】D
【解析】 设与直线
x?2y?2?0
平行的直线方程为x+2y+m=0,
?
x2
y
2
?1
?
?

?
164
,得8y
2
+4my+m
2
-16=0,
?
x?2y?m ?0
?
Δ=0得
m??42
,显然
m?42
时距离最大d?
7.【答案】3或
16

3
|42?(?2)|
5
?10

【解析】方程中4和m哪个大哪个就是a
2
,因此要讨论:
(1)若0<m<4则a
2
=4,b
2
=m,

c?4?m
,∴
e?
4?m1
?
,得m=3.
22
(2)m>4,则b
2
=4,a
2
=m,∴
c ?m?4


e?
m?41
16
?
,得
m?

m2
3


综上,m=3或
m?
16

3
8.【答案】[2,3]
【解析】根据图象可得圆的半径要比椭圆长轴短,短轴长,因此半径a的取值范围为[2,
3]
9.【答案】
【解析】由题意得
?cos60
0
?

x
2
y
2
10.【答案】
??1

43< br>x
2
y
2
【解析】由题设椭圆C的标准方程为
2
?< br>2
?1(a?b?0)
,由已知得
a?c?3,a?c?1,

ab
a?2,c?1

1
2
c
a
1
2< br>x
2
y
2
b?a?c?3
,∴椭圆的方程为
??1< br>
43
222
x
2
y
2
11.【解析】方程 变形为
??1

62m
因为焦点在
y
轴上,所以
2m?6
,解得
m?3


c?2
,所以
2m? 6?2
2

m?5
适合.故
m?5

12.【解析】∵椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短,∴a-c=2-
3

3
,∴a=2.故b=1.
2
y
2
∴椭圆的方程为+x
2
=1.
4
又e==
c
a
13.【解析】利用直线与椭圆相交的弦长公式
AB?1?k< br>2
x
1
?x
2

?(1?k
2
)[ (x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
]

求解.
因为
a?6

b?3
,所以
c?33

又因为焦点在
x
轴上,
x
2
y
2
所以椭 圆方程为
??1
,左焦点
F(?33,0)
,从而直线方程为
369
y?3x?9

由直线方程与椭圆方程联立得


13x
2
?723x?36?8?0


x
1

x
2
为方程两根,
所以
x
1
?x
2
??
723
36?8

x< br>1
x
2
?

k?3

13
13< br>从而
AB?1?k
2
x
1
?x
2
?(1?k
2
)[(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
]?
14.【答案】或2.
【解析】|PF
1|+|PF
2
|=6,|F
1
F
2
|
?25< br>.
7
2
48

13
若∠PF
2
F
1
为直角,则|PF
1
|
2
=|PF
2
|
2
+|F
1
F
2
|
2
,由此可得
|PF
1
|?
144
,|PF
2
|?

33
若∠F
1
PF
2
为直角,则|PF
1
|2
+|PF
2
|
2
=|F
1
F
2|
2
,由此可得|PF
1
|=4,|PF
2
|=2.

|PF
1
|
|PF
1
|
7
?2 ,
?,

|PF
2
|
|PF
2
|2

设15.【解析】如图,设
P
?
x,y
?
,由椭圆的对 称性,不妨
P
?
x,y
?


由椭圆的对称性,不妨设
P
在第一象限.由余弦定理知:

F
1
F
2
?PF
1
?PF
2
?2PF< br>1
·
PF
2
cos
?
?4c
2
.①
由椭圆定义知:
PF
1
?PF
2
?2a

则②
2
-①得
2b
2

PF
1
?PF
2
?

1?cos
?1

S
?F
1
PF
2
?PF
1
?PF
2
sin
?

2
12b
2

?sin
?

21?cos
?
222

?b
2
tan

2
?




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