高中数学 课时分层作业14 导数的几何意义 新人教A版选修1-1

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……
学 习 资 料 专 题

课时分层作业(十四) 导数的几何意义
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．已知二次函数
f
(
x
)的图象的顶点坐标为(1,2)，则
f
′(1)的 值为( )
A．1 B．0 C．－1 D．2
B [∵二次函数< br>f
(
x
)的图象的顶点坐标为(1,2)，∴过点(1,2)的切线平行于x
轴，即
切线的斜率为0，∴
f
′(1)＝0，选B.]
2. 已知函数
y
＝
f
(
x
)的图象如图3?1?9，则
f
′(
x
A
)与
f
′(
x
B
)的 大小关系是( )

图3?1?9
A．
f
′(
xA
)>
f
′(
x
B
)
B．
f
′(
x
A
)<
f
′(
x
B
)
C．
f
′(
x
A
)＝
f
′(
x
B
)
D．不能确定
B [
f
′(
x
A
) 与
f
′(
x
B
)分别表示函数图象在点
A
，
B
处的切线斜率，故
f
′(
x
A
)<
f
′(
x
B
)．]
π
2
3．在曲线
y
＝
x
上切线倾斜角为的点是( )
4
A．(0,0) B．(2,4)
?
11
?
C．
?
，
?

?
416
?
D [∵
y
＝
x
，
Δ
y
∴
k
＝
y
′＝lim ＝lim
Δ
x
Δ
x
→0Δ
x
→0
＝lim (2
x
＋Δ
x
)＝2
x
，
Δ
x
→0
2
?
11
?
D．
?
，
?
< br>?
24
?
x
＋Δ
x
2
－
x
2

Δ
x
π
∴2
x
＝tan＝1，
4
尚水作品

11
∴
x
＝，则
y
＝.]
24< br>4．若曲线
y
＝
x
＋
ax
＋
b
在点 (0，
b
)处的切线方程是
x
－
y
＋1＝0，则( )
【导学号：97792130】
A．
a
＝1，
b
＝1
C．
a
＝1，
b
＝－1
A [由题意，知
k
＝
y
′|
x
＝0

＝lim
Δ
x
→0
2
B．
a
＝－1，< br>b
＝1
D．
a
＝－1，
b
＝－1
＋Δ< br>x
2
＋
a
＋Δ
x
＋
b
－
b
＝1，∴
a
＝1.
Δ
x
又(0，
b
)在 切线上，∴
b
＝1，故选A.]
1
2
5．若曲线
y
＝
x
上的点
P
处的切线与直线
y
＝－
x
＋1垂直，则过点
P
处的切线方程为
2
( )
A．2
x
－
y
－1＝0
C．
x
＋2
y
＋2＝0
B．2
x
－
y
－2＝0
D．2
x
－
y
＋1＝0
1
A [与直线
y
＝－
x
＋1垂直的直线的斜率为
k
＝2. 2
x
＋Δ
x
2
－
x
2
由
y< br>＝
x
知，
y
′＝lim ＝lim (2
x
＋Δ
x
)＝2
x
.
Δ
x
Δ
x
→0Δ
x
→0
2
设点
P
的坐标为(< br>x
0
，
y
0
)，则2
x
0
＝2，即
x
0
＝1，故
y
0
＝1.
1
所以过P
(1,1)且与直线
y
＝－
x
＋1垂直的直线方程为
y
－1＝2(
x
－1)，即2
x
－
y
－1＝
2
0.]
二、填空题
6．已知函数
y
＝
f
(
x
)在点(2,1)处的切线与直线3
x
－
y
－2＝0平行 ，则
y
′|
x
＝2
等于
________．
3 [因为直线3
x
－
y
－2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知
y
′|
x
＝2
＝3.]
7．已知函数
y
＝f
(
x
)的图象在点(1，
f
(1))处的切线方程是
x
－2
y
＋1＝0，则
f
(1)＋
2
f
′ (1)＝__________.
2 [∵(1，
f
(1))在直线
x－2
y
＋1＝0上，∴1－2
f
(1)＋1＝0，∴
f
(1)＝1.又
f
′(1)＝
11
，∴
f
(1)＋2
f
′(1)＝1＋2×＝2.]
22
8．已知函数
y
＝
ax
＋
b
在点(1,3)处的切线斜率为2.则＝__________.
2 [由导数的几何定义知
y
′|
x
＝1
＝lim
Δ
x
→0
2
b
a
a
＋Δ
x
＋< br>b
－
a
＋
b
＝lim (2
a
＋
a
Δ
x
)
Δ
x
Δ
x
→0
2
尚水作品

＝2
a
＝2，
∴
a
＝1，把切 点(1,3)代入函数
y
＝
ax
＋
b
得3＝
a＋
b
，∴
b
＝3－
a
＝2，故＝2.]
三、解答题
9．求过点
P
(－1,2)且与曲线
y
＝3< br>x
－4
x
＋2在点
M
(1,1)处的切线平行的直线.
【导学号：97792131】
[解] 曲线
y
＝3
x
－ 4
x
＋2在点
M
(1,1)处的切线斜率
2
2
2
b
a
k
＝
y
′|
x
＝1
＝lim
Δ
x
→0
＋Δ
x
2
－＋Δ
x
＋2 －3＋4－2
＝lim (3Δ
x
＋2)＝2，
Δ
x
Δ< br>x
→0
∴过点
P
(－1,2)的直线的斜率为2，
由点斜式得
y
－2＝2(
x
＋1)，
即2
x
－
y
＋4＝0.
所以所求直线方程为2
x
－
y
＋4＝0.
10．已知曲线
y
＝2
x
－7，求：
(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4
x
－
y
－2＝0?
(2)过点
P
(3,9)与曲线相切的切线方程．
Δ
y
[解]
y
′＝lim ＝lim
Δ
x
Δ
x
→0Δ
x
→0
lim (4
x
＋2Δ
x
)＝4
x
.
Δ
x
→0
2
x
＋Δ
x
2
－7]－
Δ
x
x
2
－
＝
(1)设切点为(
x
0
，
y
0
)，则4
x
0
＝4，
x
0
＝1，
y
0
＝－5，
∴切点坐标为(1，－5)．
(2)由于点
P
(3,9)不在曲线上．
设所求切线的切点为
A< br>(
x
0
，
y
0
)，则切线的斜率
k
＝4
x
0
，
故所求的切线方程为
y
－
y
0
＝4
x
0
(
x
－
x
0
)． < br>将
P
(3,9)及
y
0
＝2
x
0
－ 7代入上式，
得9－(2
x
0
－7)＝4
x
0
( 3－
x
0
)，
解得
x
0
＝2或
x
0
＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)．
从而所求切线方程为8
x
－
y
－15＝0和16
x
－
y
－39＝0.
[能力提升练]
1．若直线
y
＝
kx
＋1与曲线
y
＝
x
＋
ax
＋
b
相切于点
P
( 1,3)，则
b
等于( )
A．3 B．－3 C．5 D．－5
A [∵点
P
(1,3)既在直线上又在曲线上，
∴3＝
k
＋1，且3＝1＋
a
＋
b
，即
k
＝2，
a
＋
b
＝2.根据导数的定义知
y
＝
x
＋
ax
＋
b
的导
数为
y
′＝3
x
＋
a
，
2
3
3
2
2
尚水作品

< br>∴3×1＋
a
＝
k
，∴
a
＝－1，
b
＝3.]
2．已知函数
y
＝
f
(
x
)的图象是 下列四个图象之一，且其导函数
y
＝
f
′(
x
)的图象如图
3?1?10所示，则该函数的图象是( )
2

图3?1?10

B [由函数
y
＝
f
(
x
)的导函数< br>y
＝
f
′(
x
)的图象自左至右先增后减，可知函数
y
＝
f
(
x
)
图象的切线的斜率自左至右先增大后减小．]
3．如图3?1?11，函数
f
(
x
)的图象是折线段
AB C
，其中
A
，
B
，
C
的坐标分别为(0,4)，< br>(2,0)，(6,4)，则
f
(
f
(0))＝__________ ；lim
Δ
x
→0
f
＋Δ
x
－
f
Δ
x
＝__________.(用数
字作答)

图3?1?11
2 －2 [由图象知
f
(0)＝4，
f
(4)＝2，故
f
(
f
(0))＝2，
又
f
′(1)＝lim
Δ
x
→0
f
＋Δ
x
－
f
Δ
x
＝－2.]
＝
k
AB
.且
k
AB
＝－2
故lim
Δ
x
→0
f
＋Δ
x
－
f
Δ
x
2
4．若曲线
y
＝2
x
－4
x
＋M
与直线
y
＝1相切，则
M
＝__________.
3 [
y
＝2
x
－4
x
＋
M
＝2 (
x
－1)＋
M
－2
22
尚水作品

由题意知
M
－2＝1，即
M
＝3.]
5． 已知曲线
y
＝
x
＋1，是否存在实数
a
，使得经过点(1，
a
)能够作出该曲线的两条切
线？若存在，求出实数
a
的取值范围； 若不存在，请说明理由.
【导学号：97792132】
Δ
y
[解] 由＝
Δ
x
2
x
＋Δ
x
2
＋1－
x
＋
Δ
x
2
＝2
x
＋Δ
x
，
Δ
y
得
y
′＝lim ＝lim (2
x
＋Δ
x
)＝2
x
.
Δ
x
Δ
x
→0Δ
x
→0
设切点为
P
(
x
0
，
y
0
)，则切线斜率为
k
＝
y
′|
x
＝
x
0
＝2
x
0
，
由点斜式得所求切线方程为：
y
－
y
0
＝2
x< br>0
(
x
－
x
0
)．
又因为切线过点(1，
a
)，且
y
0
＝
x
0
＋1，
所 以
a
－(
x
0
＋1)＝2
x
0
(1－x
0
)，
即
x
0
－2
x
0
＋
a
－1＝0.
因为切线有两条，
所以Δ＝(－2)－4(
a
－1)>0，解得
a
<2.
故 存在实数
a
，使得经过点(1，
a
)能够作出该曲线的两条切线，且
a
的取值范围是(－
∞，2).

2
2
2
2
尚水作品