优化设计高中数学答案-高中数学偶函数的概念
合检测模块综合检测
(时间:120分钟;满分150分)
一、
选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目
要求的)
2
1.“
x
=3”是“
x
=9”的( )
A.充分而不必要的条件
B.必要而不充分的条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要的条件
222
解析:选A.当
x
=3时,有
x
=9,但当
x
=9时,
x
=3或
x
=-
3,故“
x
=3”是“
x
=9”的
充分而不必要的条件.
2.(2020年高考陕西卷)设
a
,
b
是向量,命题“若
a
=-
b
,则|
a
|=|
b
|”的逆命题是( ) A.若
a
≠-
b
,则|
a
|≠|
b
|
B.若
a
=-
b
,则|
a
|≠|
b
| <
br>C.若|
a
|≠|
b
|,则
a
≠-
b
D.若|
a
|=|
b
|,则
a
=-
b
<
br>解析:选D.命题“若
a
=-
b
,则|
a
|=|b
|”的逆命题是“若|
a
|=|
b
|,则
a
=-
b
”,所以选
D.
2
2
3.若抛物线
x=
my
的焦点是(0,),则
m
的值为( )
|
m
|
A.4 B.3
C.23 D.22
1
mm
2
2
解析:选D.
x
=
my
=2·<
br>m
·
y
,则其焦点为(0,),那么=,则
m
=22. 244|
m
|
11
4.(2020年高考浙江卷)若
a
,
b
为实数,则“0<
ab
<1”是“
a
<或
b<
br>>”的( )
ba
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:选A.∵0<
ab
<1,∴
a
,
b
同号,且
ab
<1.
11当
a
>0,
b
>0时,
a
<;当
a
<
0,
b
<0时,
b
>.
ba
11
∴“0<
ab
<1”是“
a
<或
b
>”的充分条件.
ba
1
而取
a
=-1,
b
=1,显然有
a
<,但不能
推出0<
ab
<1,
b
11
故“0<
ab
<1”
是“
a
<或
b
>”的充分而不必要条件.
ba
5.函数<
br>f
(
x
)=e-e
x
在[0,2]上的最大值为( )
x
A.0 B.1
C.e-2 D.e(e-2)
x
解析:
选D.
f
′(
x
)=e-e,由
f
′(
x
)=0得
x
=1,
比较
f
(0)、
f
(1)、<
br>f
(2)知最大值为e(e-2).
6.下列四个命题:
22
①“
若
x
+
y
=0,则实数
x
,
y
均为0”的
逆命题;
②“相似三角形的面积相等”的否命题;
③“
A
∩
B<
br>=
A
,则
A
?
B
”的逆否命题;
④“末位数不是0的数可以被3整除”的逆否命题.
其中真命题为( )
A.①② B.②③
C.①③ D.③④
22
解析:选C.①的
逆命题为“若实数
x
、
y
均为0,则
x
+
y
=0”,是正确的;∵“
A
∩
B
=
A
,
<
br>则
A
?
B
”是正确的,∴它的逆否命题也正确.
7.以-=-1的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为( )
412
A.+=1
416
C.+=1
412
x
2
y
2
x
2
x
2
y
2
y
2
B.
D.+=1
164
+=1
124
22
x
2
x<
br>2
y
2
y
2
解析:选A.将方程-=-1化为-=1.它表示
焦点在
y
轴上的双曲线,
a
=12,
b
=4,
41
2124
x
2
y
2
y
2
x
2
c<
br>=16,由题意知椭圆焦点在
y
轴上,
a
椭
=4,
b
椭
=2,
c
=16-4=12,∴椭圆方程为+
4
22椭
x
2
y
2
16
=1.
2
8.两曲
线
y
=
x
+
ax
+
b
与
y
=
x
-2相切于点(1,-1)处,则
a
,
b
的值分别为
( )
A.0,2 B.1,-3
C.-1,1 D.-1,-1
2
解析:选D.点(1,-1)在曲线
y
=
x
+
ax
+
b
上,
可得
a
+
b
+2=0, ①
f
′(
x
)=
y
′=2
x
+
a
,
f
′(1)=2+
a
=1,
∴
a
=-1代入①可得
b
=-1.
2
9.(20
20年高考山东卷)设
M
(
x
0
,
y
0
)
为抛物线
C
:
x
=8
y
上一点,
F
为抛物
线
C
的焦点,以
F
为圆心、|
FM
|为半径的圆和抛物线<
br>C
的准线相交,则
y
0
的取值范围是( )
A.(0,2) B.[0,2]
C.(2,+∞) D.[2,+∞)
2
解析:选C.∵
x
=8
y
,∴焦点
F
的坐标为(
0,2),准线方程
y
=-2.由抛物线的定义知|
MF
|=
y0
+2.以
F
为圆心、|
FM
|为半径的圆的标准方程为
x
2
+(
y
-2)
2
=(
y
0
+2)
2
.
由于以
F
为圆心、|
FM
|为半径的
圆与准线相交,又圆心
F
到准线的距离为4,故4<
y
0
+2,∴<
br>y
0
>2.
→→
22
10.设
F
1
,
F
2
是双曲线
x
-4
y
=4
a
(
a
>0)的两个焦点,点
P
在双曲线上,且满足:
PF
1
·
PF
2
=0,
→→
|
PF
1
|·|
PF
2
|=2,则
a
的值为( )
5
A.2 B.
2
C.1
22
D.5
解析:选C.双曲线方程化为
xy
-=1(
a
>0),
4
aa
→→
∵
PF
1
·
PF
2
=0
,∴
PF
1
⊥
PF
2
.
→
2
→
22
∴|
PF
1
|+|
PF
2
|=4c
=20
a
,①
→→
由双曲线定义|
PF
1
|-|
PF
2
|=±4
a
,②
→→
又已
知:|
PF
1
|·|
PF
2
|=2,③
由①②③
得:20
a
-2×2=16
a
,∴
a
=1.
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中横线上)
2
11.(1)命题?
x
∈R,
x
-
x
+3>0的否定是__
______.
2
(2)命题?
x
0
∈R,
x
0
+3
x
0
-4≤0的否定是________.
2
答案:
(1)?
x
0
∈R,
x
0
-
x
0
+3≤0
2
(2)?
x
∈R,
x
+3
x
-4>0
12.(2020年高考四川卷)双曲线-=1上一点
P
到双曲线右焦点的距离是4,
那么点
P
到
6436
左准线的距离是__________.
x<
br>2
y
2
解析:由-=1可知
a
=8,
b
=6,则
c
=10,设双曲线的左、右焦点分别为
F
1
、
F
2
,由|
PF
2
|
6436
=4及双曲
线的第一定义得|
PF
1
|=16+4=20.设点
P
到左准线的距
离为
d
,由双曲线的第二定
2010
义有=,即
d
=16.
d
8
答案:16
32
13.已知函数
f
(
x
)=
x
+
px
+
qx
的图象与
x轴相切于点(
a,
0)(
a
>0),且
f
(
x
)只有一个极大值
为4,则
p
+
q
的值为________
.
2322
解析:可设
f
(
x
)=
x
(
x
-
a
)=
x
-2
ax
+
ax<
br>,
所以
f
′(
x
)=(3
x
-
a
)(
x
-
a
).
所以当
f
′(
x
)=0时,
x
=或
x
=
a
,
3
易得
f
()=4,故
a
=3.
3
2<
br>所以-2
a
=
p
=-6,
a
=
q
=
9,所以
p
+
q
=3.
答案:3
2
14.命题
“?
x
∈R,2
x
-3
ax
+9<0”为假命题,则实数<
br>a
的取值范围是________.
2
解析:∵?
x
∈R,
2
x
-3
ax
+9<0为假命题,
2
∴?
x∈R,2
x
-3
ax
+9≥0为真命题,
22
∴Δ=9
a
-4×2×9≤0,即
a
≤8,
∴-22≤
a
≤22.
答案:[-22,22 ]
15.(20
20年高考北京卷)曲线
C
是平面内与两个定点
F
1
(-1,0)和
F
2
(1,0)的距离的积等于常
2
数
a
(
a
>1)的点的轨迹.给出下列三个结论:
①曲线
C
过坐标原点;②曲线
C
关于坐标原点对称;③若点
P
在曲线
C
上,则△
F
1
PF
2
的面积
1
2
不大于
a
.
2
其中,所有正确结论的序号是________.
2
解析:设曲线<
br>C
上任一点
P
(
x
,
y
),由|
P
F
1
|·|
PF
2
|=
a
,可得
x+1
2
+
y
2
·
x
-1
2
+
y
2
2
=
a
(
a
>1),将原点(0,0
)代入等式不成立,故①不正确.
∵点
P
(
x
,
y
)在曲线
C
上,点
P
关于原点的对称点
P
′(-
x
,-
y
),将
P
′代入曲线
C
的方程
等
式成立,故②正确.
1
设∠
F
1
PF
2
=
θ
,则
S
△
F
1
PF
2
=|
P
F
1
||
PF
2
|·sin
θ
2
1
2
1
2
=
a
sin
θ
≤
a
,故③正确.
22
答案:②③
三、解答
题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤)
16
.(本小题满分13分)已知双曲线的渐近线方程是2
x
±
y
=0,并且过点
M
(3,-4).
(1)求该双曲线的方程;
(2)求该双曲线的顶点、焦点、离心率.
22
解:(1)设双曲线方程为4
x
-
y
=
m
,
代入点
M
(3,-4)得
m
=-4,
∴-
x
=1.
4
22
(2)∵
a
=4,
b
=1,
2
∴
c
=5,
∴顶点
A
(0,-2),
B
(0,2),
x
2<
br>y
2
a
a
y
2
2
5
.
2
1
17.(本小题满分13分)已知函数
f
(
x)=sin
x
-
x
,
x
∈(0,π).
2
(1)求函数
f
(
x
)的单调递增区间;
π<
br>(2)求函数
f
(
x
)的图象在点
x
=处的切线方程
.
3
1
解:(1)由
x
∈(0,π)及
f
′(<
br>x
)=cos
x
->0,
2
π
解得
x
∈(0,),
3
π
∴函数
f
(
x
)的单调递增区间为(0,).
3
焦点
F
1
(0,-5),
F
2
(0,5
),离心率
e
=
ππ1π3π
(2)
f
()=sin
-×=-,
332326
ππ1
切线的斜率
k
=
f
′()=cos -=0,
332
3π
-.
26
22
18.(本小题满分13分)命题
p
:
x
-4
mx
+1=0
有实数解,命题
q
:?
x
0
∈R,使得
mx
0-2
x
0
-
1>0成立.
(1)若命题
p
为真命题,求实数
m
的取值范围;
(2)若命题
q
为真命题,求实数
m
的取值范围;
(3)
若命题綈
p
∨綈
q
为真命题,且命题
p
∨
q
为真命题,求实数
m
的取值范围.
2
解:(1)∵
x
-4
mx
+1=0有实根,
2
∴Δ=16
m
-4≥0,
11
∴
m
≤-或
m
≥.
22
∴
m
的取值范围是
11
(-∞,-]∪[,+∞).
22
2
(2)设
f
(
x
)=
mx
-2
x
-1.
当
m
=0时,
f
(
x)=-2
x
-1,
q
为真命题;
当
m
>0时,
q
为真命题;
当
m
<0时
,需有Δ=4+4
m
>0,∴
m
>-1,
综上
m
>-1.
(3)∵綈
p
∨綈
q
为
真,
p
∨
q
为真,
∴
p
、
q
为一真一假.
p
、
q
范围在数轴上表示为
∴所求切线方程为
y
=
?
11
?
∴满足
条件的
m
的取值范围是(-∞,-1]∪
?
-,
?
. ?
22
?
32
19.(本小题满分12分)(2020年烟台高二检测)
已知函数
f
(
x
)=
x
-
ax
+3
x
,
a
∈R.
(1)若
x
=3是
f
(
x
)的极值点,求
f
(
x
)在
x
∈[1,
5]上的最大值;
(2)若函数
f
(
x
)是R上的单调递增函数,
求实数
a
的取值范围.
2
解:(1)
f
′(
x<
br>)=3
x
-2
ax
+3,
f
′(3)=0,即27-6
a
+3=0,∴
a
=5. <
br>f
(
x
)=
x
3
-5
x
2
+3
x
,
f
′(
x
)=3
x2
-10
x
+3=0,
1
解得
x
=3或
x
=(舍去).
3
当<
br>x
变化时,
f
′(
x
)、
f
(
x<
br>)的变化情况如下表:
x
1
(1,3)
f
′(
x
)
-
f
(
x
)
-1
3
0
-9
(3,5)
+
5
15
因此,当
x
=5时,
f(
x
)在区间[1,5]上有最大值是
f
(5)=15.
(2
)
f
(
x
)是R上的单调递增函数转化为
f
′(
x
)≥0在R上恒成立.
2
从而有
f
′(
x
)=3
x
-2
ax
+3,
2
由Δ=(-2
a
)-4·3·3≤0,
解得
a
∈[-3,3].
20.(本小题满分12分)(2020年高考陕
西卷)设
f
(
x
)=ln
x
,
g
(x
)=
f
(
x
)+
f
′(
x
).
(1)求
g
(
x
)的单调区间和最小值;
?
1
?
(2)讨论
g
(
x
)与
g
??的大小关系;
?
x
?
1
(3)求
a
的取值范
围,使得
g
(
a
)-
g
(
x
)<对任意<
br>x
>0成立.
a
1
解:(1)由题意知
f
(
x
)=ln
x
,
g
(
x
)=ln
x
+,
x
x
-1
.令
g
′(
x
)=0,得
x=1.
x
2
将
x
∈(0,1)时,
g
′(<
br>x
)<0,故(0,1)是
g
(
x
)的单调减区间.
当
x
∈(1,+∞)时,
g
′(
x
)>0,
故(1,+∞)是
g
(
x
)的单调增区间.
因此,
x
=1是
g
(
x
)的唯一极值点,
∴
g
′(
x
)=
且为极小值点,从而是最小值点.
所以最小值为
g
(1)=1.
?
1
?
(2)
g
??
=-ln
x
+
x
.
?
x
?
?
1
?
设
h
(
x
)=
g
(
x
)-g
??
x
??
1
=2ln
x
-
x
+,
x
x
-1
2
则
h
′(
x
)=-.
x
2
当
x
=1时,
h
(1)=0,
?<
br>1
?
即
g
(
x
)=
g
??
,
?
x
?
当
x
∈(0,1)∪(1,+∞)时,
h
′(
x
)<0,
h
′(1)=0,
因此,
h
(
x
)在(0,+∞)内单调递减.
当0<x
<1时,
h
(
x
)>
h
(1)=0, ?
1
?
即
g
(
x
)>
g
??
.
?
x
?
?
x
?
当
x
>1时,
h
(
x
)<
h
(1)=0,
?
1
?
即
g
(
x
)<
g
??
.
(3)由(1)知
g
(
x
)的最小值为1,
11
所以
g
(
a
)-
g
(
x
)
<对任意
x
>0成立?
g
(
a
)-1<,
aa
即ln
a
<1,从而得0<
a
<e.
x<
br>2
y
2
21.(本小题满分12分)(2020年高考四川卷)过点
C
(
0,1
)
的椭圆
2
+
2
=1
(
a
>
b
>0
)
的离心率
ab
3
.
椭圆与
x
轴交于两点
A
(
a
,0
)
、B
(
-
a
,0
)
,过点
C
的直线l
与椭圆交于另一点
D
,并
2
与
x
轴交于点<
br>P
.直线
AC
与直线
BD
交于点
Q
. 为
(
1
)
当直线
l
过椭圆右焦点时,求线段
C
D
的长;
→
(
2
)
当点
P
异于点
B
时,求证:
→
OP
·
OQ
为定值.
解:(
1
)
由已知得
b
=1,=
所以椭圆方程为+
y
=1.
4
椭圆的右焦点为
(
3,0
)
,此时直
线
l
的方程为
y
=-
c
a
3
,解得
a
=2,
2
x
2
2
3
2
x
+1,代入椭圆方程化简得7
x
-83<
br>3
x
=0.
83
解得
x
1
=0,
x
2
=,
7
1
代入直线
l
的方程得
y
1
=1,
y<
br>2
=-,
7
所以
D
点坐标为
?
故|
CD
|=
在.
1
??
设直线
l
的方程为
y
=kx
+1
?
k
≠0且
k
≠
?
. 2
??
2
2
代入椭圆方程化简得
(
4
k
+1
)
x
+8
kx
=0.
-8
k
解得
x
1
=0,
x
2
=
2
,
4k
+1
2
1-4
k
代入直线
l
的方程得
y
1
=1,
y
2
=
2
,
4
k
+1
2
?
-8
k
1-4
k
?
所以
D
点坐标为
?
2
,
2
?
.
?<
br>4
k
+14
k
+1
?
又直线
AC
的
方程为+
y
=1,
2
1+2
k
(
x
+2
)
, 直线
BD
的方程为
y
=
2-4
k
1
??
83<
br>,-
?
.
7
??
7
?
83
?2
?
1
?
2
16
?
-0
?
+
?
-
7
-1
?
=.
?
7
?7
?
?
(
2
)
证明:当直线
l
与x
轴垂直时与题意不符,所以直线
l
与
x
轴不垂直,即直线l
的斜率存
x
?
?
x
=-4
k
,
联立解得
?
?
y
=2
k
+1,
?
因此
Q
点的坐标为
(
-4
k
,2
k
+1
)
.
?
1
?
又
P
点坐标为
?
-,0
?
,
?
k
?
→→
?
1
?
所以
OP
·
OQ
=
?
-,0
?
·
(
-4
k
,2
k
+1
)
=4.
?
k
?
→→
故
OP
·
OQ
为定值.