2019-2020学年数学人教A版选修1-1作业与测评：3.1.1 变化率问题

3．1 变化率与导数
课时作业21 变化率问题

知识点 函数的平均变化率
1.若函数y＝2x
2
－1的图象上一点(1 ,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，
Δy
则
Δx
等于( )
A.4
C.4＋2Δx
答案 C
2
Δy
2?1＋Δx?－1－1
解析
Δx
＝＝4＋2Δx.
Δx
B.4x
D.4＋2(Δx)
2

2．一质点的运动方程是s＝4－2t
2< br>，则在时间段[1,1＋Δt]内相应的
平均速度为( )
A.2Δt＋4
C.2Δt－4
答案 D
22
Δs
4－2?1＋Δt?－4＋2×1
解析
Δt
＝
Δt
B.－2Δt＋4
D.－2Δt－4
－4Δt－2?Δt?
2
＝
Δt
＝－2Δt－4.
3． 已知函数f(x)＝－x
2
＋x在区间[t,1]上的平均变化率为2，则t
＝___ _____.
答案 －2
解析 ∵Δy＝f(1)－f(t)＝(－1
2
＋1)－(－t
2
＋t)
＝t
2
－t，
2
Δy
t－t
Δy
∴Δx
＝＝－t.又∵
Δx
＝2，∴t＝－2.
1－t
4．将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨

28π
胀率(体积的变化量与半径的变化量之比)为
3，则m的值为________．
答案 2
4π4π4π
解析 ∵ΔV＝3
m
3
－
3
×1
3
＝
3
(m
3
－1)，
4π
3
?m－1?
ΔV
3
2 8π
∴
ΔR
＝＝
3
，
m－1
即m
2
＋m＋1＝7，解得m＝2或m＝－3(舍去)．
5 ．求函数y＝f(x)＝3x
2
＋2在区间[x
0
，x
0
＋ Δx]上的平均变化率，
并求当x
0
＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值．
解 函数y＝f(x)＝3x
2
＋2在区间[x
0
，x
0< br>＋Δx]上的平均变化率为
f?x
0
＋Δx?－f?x
0
?< br>
?x
0
＋Δx?－x
0
[3?x
0
＋Δx ?
2
＋2]－?3x
2
6x
0
·Δx＋3?Δx?
2
0
＋2?
＝＝＝6x
0
＋3Δx.
ΔxΔx
当x
0
＝2，Δx＝0.1时，
函数y＝3x
2
＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝
12.3.
易错点 忽略Δx的取值而致错
6.函数y＝x
2
在x
0
到x
0
＋Δx之间的平均变化率为k
1
，在x
0
－Δx到
x
0
之间的平均变化率为k
2
，则k
1
与k
2
的大小关系为( )
A.k
1
>k
2

C.k
1
＝k
2

正，可负但不能为0.
答案 D
解析 由定义可知k
1
＝2x
0
＋Δx，k
2
＝2x
0
－Δx，因为Δx可正、可
负但不可为0，所以k
1
与k< br>2
大小不确定．故选D.


B.k
1
2

D.不确定
易错分析 本题易认为Δx为正值而导致错误，而事实上，Δx可

一、选择题
1．函数f(x)＝x
2
－1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m
的值为 ( )
A.3
C.1
答案 B
222
Δy
m－1－?1－1?m－1
解析
Δx
＝＝＝3，得m＝2，故选B.
m－1m－1
B.2
D.4
2．已知函数y＝f(x)＝x
2
＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( )
A.0.40
C.0.43
答案 B
解析 ∵x＝2，Δx＝0. 1，∴Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(2.1)－f(2)＝(2.1
2
＋1)－(2
2
＋1)＝0.41.
3．某物体的运动规律是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间
内的平均速度是( )
Δs
s?t＋Δt?－s?t?
A.v＝
Δt
＝
Δt
s?Δt?
B.v＝
Δt

s?t?
C.v＝
t

s?t＋Δt?－s?Δt?
D.v＝
Δt
答案 A
解析 由平均速度的定义可知，物体在t到t＋Δt这段时间内的平
均速度是其位移改变量与时间改变量的比，
Δs
s?t＋Δt?－s?t?
所以v＝
Δt
＝，故选A.
Δt
?
331
?
4．若函数f(x)＝－x＋10的图象上一点
?
2
，
4
?
及邻近一点
??
2
B.0.41
D.0.44

31
?
3
?< br>Δy
?
＋Δx，＋Δy
?
，则＝( )
4
Δx
?
2
?
A.3
C.－3－(Δx)
2

答案 D
?
3
??
3
?
解析 ∵Δy＝f
?
2＋Δx
?
－f
?
2
?
＝－3Δx－(Δx)
2
，
????
2
Δy
－3Δx－?Δx?
∴
Δx< br>＝＝－3－Δx.故选D.
Δx
B.－3
D.－Δx－3
二、填空题
5．如图是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)在区间[0,2]上的平均 变
化率为________．

3
答案
4

解析 由函数f(x)的图象知，
?
x＋3
，－1≤x≤1，
f( x)＝
?
2
?
x＋1，13
3－
2f?2?－f?0?
3
＝
2
＝
4
.
2－0


所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为：
6．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t
0
，
t
1
]，[t
1
，t
2
]，[t
2
，t
3< br>]上的平均速度分别为v
1
，v
2
，v
3
，则三者的 大小

关系为______．

答案 v
3
>v
2
>v
1

解析 由平均速度的定义结合图象知v
3
>v
2
>v
1
.
7．若正方体的棱长从x＝1到x＝a时正方体的体积膨胀率为21，
则a的值为________．
答案 4
3
ΔV
a－1
解析 ΔV＝a－1，∴
Δx
＝＝a
2
＋a＋1＝21.
a－1
3
∴a
2
＋a－20＝0.
∴a＝4或a＝－5(舍)．
三、解答题
8．已知f(x)＝x
2
－3x＋5，求函数f(x)从1到2的平均变化率．
解 Δx＝2－1＝1，
Δy＝f(x
2
)－f(x
1
)＝f(2)－f(1)
＝2
2
－3×2＋5－(1
2
－3×1＋5)＝0.
Δy
∴
Δx
＝0.
∴函数f(x)从1到2的平均变化率为0.
π
9．求正弦函数y＝sinx在x＝0和x＝
2
附近的平均变化率，并比较
它们的大小．
解 当自变量从0到0＋Δx时，设函数的平均变化率为k
1
，则k
1
sinΔx－sin0
sinΔx
＝＝
Δx
.
Δx

ππ
当自变量从
2
到2
＋Δx时，设函数的平均变化率为k
2
，则k
2
＝
?
π
?
π
sin
?
2
＋Δx
?
－s in
2
cosΔx－1
??
＝
Δx
.
Δx
当Δx>0时，k
1
>0，k
2
<0，此时k
1
>k2
；
sinΔx
cosΔx－1
当Δx<0时，k
1
－k
2
＝
Δx
－
Δx

＝
π
??
??
Δx－
2sin
4
?
＋1
?
Δx，
ππ
∵Δx<0且Δx无限趋近于0，∴Δx－
4
<－
4
，
π
?
π
???
2
????
Δx－Δx－
∴ sin
4
?
<－
2
，即2sin
?
4
?< br>＋1<0，
?
∴k
1
－k
2
>0，即k
1
>k
2
.
综上可得，正弦函数y＝sinx在x＝0附近的平均变化率大于 在x
π
＝
2
附近的平均变化率．