高中数学选修1-2独立性检验 例题解析1

独立性检验 例题解析

【例1】在某医院，因为患心脏病而住院的665名 男性病人中，有214人秃顶，而另外772名
不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶， 请用独立性检验方法判断秃顶与患心
脏病是否有关系？
【解】据题意画出2×2列联表；

秃顶(A)
不秃顶(
A
)
合计
患心脏病(B)
214
451
665
不患心脏病(
B
)
175
597
772
合计
389
1048
1437
假设秃顶与患心脏病无关(零假设H
0
)
1437(214?597?17 5?451)
2
n(ad?bc)
2
??16.373
由公式得< br>?
?
665?772?389?1048
(a?b)(c?d)(a?c)(b ?d)
2
因为16 .373＞10.828
当
H
0
成立时，
?
2
≥10. 828的概率约为0.00l，而这里矿
?
2
≈16.373＞10.828，
所以我们有99 .9％的把握认为病人中秃顶与患心脏病有关
【点评】此组数据来自住院病 人，因此所得结论只适用于住院的病人群体，并且由于
?
2
≈16. 3
7 3＞10. 828, 因此有99. 9％的把握判断“秃顶与患心脏病有关”，此结论正确的可能性(即结论
的可靠性)为99.9％． < br>【例2】某地区随机抽取一个样本，包含110名女士和90名男士，女士中约有9％是左利手，
男士中约有11％是左利手．
(1)从样本中随机抽取一男一女，则两人都是左利手的概率是多少？
(2)基于题中数据，请说明在样本代表的总体中左利手与性别是否相关．
【解】(1)由相互独立事件的概率公式得P=0 09×0.11=0.0099
即一男一女两人都是左利手的概率约为0.0099.
(2)列出2×2列联表如下：

左利手
右利手
男
10
80
女
10
110
合计
20
180

合计
90 110 200
提出零假设H
0
：左利手与性别无关；
200(10?100?10?80)
2
?0.2245
利用公式计算卡方：
?
?
90?110?20?180
2
因为0 .2245＜2 .706，所以不拒绝H
0
．
所以基于题中数据，不能否定假设H
0
，即不能作出左利手与性别有关的结论. 【点评】样本能客观地反映总体，但又不能代表总体，如(1)问中答案仅表示样本中一男一女同
为 左利手的概率，(2)问不能作出左利手与性别有关的结论.
【例3】为调查学生对国家大事的关心是否与性别有关，在学生中随机抽样调查，结果如下：


男(A)
女(
A
)
合计
关心(B)
182
176
358
不关心(
B
)
18
24
42
合计
200
200
400
根据统计数据作出合适的判断分析．
(1)一变：扩大样本容量，将表中每个数据扩大为原来的10倍，然后作出判断分析．
(2 )二变：从某中学随机抽取450名学生，其中男女生数量之比为5∶4，通过问卷调查发现男
生关心国 家大事同学的百分率为94％，而女生关心国家大事的百分率为85％，请根据这些数
据，判断该中学的 中学生是否关心国家大事同性别的关系？
【解】假设
H
0
：学生对国家大事关心与否与性别无关．
400( 182?24?18?176)
2
n(ad?bc)
2
??0.9577.< br> 则由公式计算
?
?
358?42?200?200
(a?b)(c? d)(a?c)(b?d)
2
因为0.9577＜2.706，所以不拒绝

H
0
, 所以我们没有理由说学生是否关心国家大事与性别有
关(当然也不能肯定无关)，
( 2)依题意男、女生人数分别是：250人、200人；男生中关心国家大事的人数为235；女
生中关 心国家大事的人数为170；列出2×2列联表如下：

男(A)
关心(B)
235
不关心(
B
)
15
合计
250

女(
A
)
合计
170
405
30
45
200
450
假设
H
0
：学生对国家大事关心与否与性别无关．
450(235 ?30?15?17)
2
n(ad?bc)
2
??10.
则由公式 计算
?
?
405?45?250?200
(a?b)(c?d)(a?c)( b?d)
2
因为10＞6.635， 所以我们有99％的把握认为该中学学生是否关心国家大事与性别有关
【点评】从实际角度看，在关心 国家大事上男女有差异，本题出现这样的结论也许是样本的代
表性问题或样本容量太小．