2020高中数学 第三章 变化率与导数 3.3 计算导数作业1 北师大版选修1-1

精品
3.3 计算导数

[基础达标]
1
1. 已知函数
f
(
x
)＝
2
，则
f
′(2)＝ ( )
x
A．4
C．－4
1
B.
4
1
D．－
4
1
－2－3－3－2
解析：选D.
f
(
x
)＝
x
，
f
′(
x
)＝－2
x
，
f
′(2)＝－2×2＝－2＝－.
4
2.已知函数
f
(
x
)＝cos
x
，
f
′(
x
)＝－1，则
x
＝( )
ππ
A. B．－
22
π
π
C.＋2
kπ，
k
∈
Z
D．－＋2k
π
，k∈
Z

22
解析：选C.
f
′(
x
)＝－sin
x
，则sin
x
＝1，
π
∴
x
＝＋2
k
π，
k
∈Z.
2
3.
曲线y＝x
n
(n∈N
＋
)在
x
＝ 2处的导数为12，则
n
等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
n
－1
nn
－1
解析：选C.∵
y
′＝< br>nx
，∴函数
y
＝
x
(
x
∈N
＋< br>)在
x
＝2处的导数为
n
·2＝12，∴
n
＝3.
4.
已知
f
(
x
)＝ln
x
，则
f
(1)＋
f
′(1)＝( )
A．1 B．－2
C．0 D．2
1
解析：选A.
f
(1)＝ln 1＝0，
f
′(
x
)＝，
f
′(1)＝1，
x
∴
f
(1)＋
f
′(1)＝0＋1＝1.
5.
若对任意x∈R，
f
′(
x
)＝4
x
3
，
f
(1)＝－1，则
f
(
x
)＝( )
44
A．
x
B．
x
－2
34
C．4
x
－5 D．
x
＋2
nn
－134
解析：选B.设
f
(
x
)＝
x
＋
c
，则
f
′(
x
)＝
nx
＝4
x
，∴
n
＝4，∴
f
(1)＝1＋
c
＝－1，∴
c
＝－2，故
f
(
x
)＝
x
－2.
6.
设正弦曲线
y
＝cos
x
上一点
P
，以点
P
为切点的切线为直线
l
，则直线
l
的倾斜角的范围 是________．
π3π
解析：
k
l
＝(cos
x
)′＝－sin
x
∈[－1，1]，又倾斜角范围是[0，π)，∴倾斜角范围是[0，]∪[，π)．
44
π3π
答案：[0，]∪[，π)
44
7.
若指数函 数
f
(
x
)＝
a
x
(
a
＞0，< br>a
≠1)满足
f
′(1)＝ln 27，则
f
′(－1)＝________．
ln 3
x
－1解析：
f
′(
x
)＝
a
ln
a
，
f
′(1)＝
a
ln
a
＝3
ln
3，∴
a
＝3，故
f
′(－1)＝3ln 3＝.
3
ln 3
答案：
3
2
8.已知
f
(
x
)＝x
，
g
(
x
)＝ln
x
，若
f′(
x
)－
g
′(
x
)＝1，则
x
＝ ________．
111
2
解析：
f
′(
x
) ＝2
x
，
g
′(
x
)＝，由题意2
x
－＝ 1，即2
x
－
x
－1＝0，∴
x
＝1或
x
＝－(舍)．
xx
2
答案：1
1
9.求曲线
y
＝与抛物线
y
＝
x
的交点坐标，并分别求在交点处的两曲线的切线的斜率．
x

精品
1
?
?
y
＝
x< br>1
3
解：由
?
，得＝
x
，∴
x
＝1 ，
x
?
?
y
＝
x
∴
x
＝1，∴
y
＝1，∴两曲线的交点坐标为(1，1)．
1
－1－2
由
y
＝，得
y
′＝(
x
)′＝－
x
，
x
∴该曲线在点(1，1)处的切线的斜率
k
1
＝
y
′|x
＝1
＝－1.
1
11
又由
y
＝
x
，得
y
′＝(
x
2
)′＝
x
－，
22
1
∴该曲线在点(1，1)处的切线的斜率
k
2
＝
y
′|
x
＝1
＝.
2
2
10.若曲线
f< br>(
x
)＝
a
cos
x
与曲线
g
(
x
)＝
x
＋
bx
＋1在交点(0，
m
)处 有公切线，求
a
－
b
的值．
解：依题意得：
f
′(
x
)＝－
a
sin
x
，
g
′(
x
)＝2
x
＋
b< br>，于是有
f
′(0)＝
g
′(0)，
即－
a
sin 0＝2×0＋
b
，∴
b
＝0. < br>m
＝
f
(0)＝
g
(0)＝1，即
m
＝a
＝1，因此
a
－
b
＝1.
[能力提升]
1.
设
f
0
(
x
)＝sin
x
，
f
1
(
x
)＝
f
′
0
(
x
)，
f
2
(
x
)＝
f
′
1< br>(
x
)，…，
f
n
＋1
(
x
)＝< br>f
′
n
(
x
)，
n
∈N，则
f2 014
(
x
)等于( )
A．sin
x
B．－sin
x

C．cos
x
D．－cos
x

解析：选B.
f
0
(
x
)＝sin
x
，
f
1
(
x
)＝
f
′
0
(
x
)＝cos
x
，
f
2
(
x
)＝
f
′
1
(
x
)＝－sin
x< br>，
f
3
(
x
)＝
f
′
2
(
x
)＝－cos
x
.
f
4
(
x
)＝
f
′
3
(
x
)＝sin
x
.
∴
f
2 014
(
x
)＝
f
2
(
x
)＝－sin
x
.
?
x
>0，
?
ln
x
，
?
2.设函数
f
(
x
)＝
D
是由
x
轴和曲线
y
＝
f
(
x
)及该曲线在点(1，0) 处的切线所围成的封
?
－2
x
－1，
x
≤0，
?< br>闭区域，则
z
＝
x
－2
y
在
D
上的 最大值为________．



解析：
f
(
x
)在(1，0)处的切线方程为
y
＝
x
－1，如图，可行域为阴影 部分，易求出目标函数
z
＝
x
－2
y
的最
优解(0 ，－1)，即
z
的最大值为2.
答案：2
︵
2
3.已知 直线
x
－2
y
－4＝0与抛物线
y
＝
x
相 交于
A
、
B
两点，
O
是坐标原点，试在抛物线的弧
AOB
上求一点
P
，
使△
ABP
的面积最大．
解：
设
P
(
x
0
，
y
0
)，过点
P
与
AB
平行的直线为
l
，如图．由于直线x
－2
y
－4＝0与抛物线
y
＝
x
相交于A
、
B
两点，
︵
所以|
AB
|为定值，要使△
ABP
的面积最大，只要
P
到
AB
的距离最大，而
P
点是抛物线的弧
AOB
上的一点，因此点
11
P
是抛物线 上平行于直线
AB
的切线的切点，由图知点
P
在
x
轴上方，
y
＝
x
，
y
′＝，由题意知
k
AB
＝.
2
2
x

2

精品
1＝，即
x
0
＝1，∴
y
0
＝1.∴
P
(1，1)．
2
x
0
2
4．讨论关于
x
的方程ln
x
＝
kx
的解的个数．
∴
k
l
＝
1

解：如图，方程ln
x< br>＝
kx
的解的个数就是直线
y
＝
kx
与曲线
y
＝ln
x
的交点的个数．
设直线
y
＝
kx
与
y
＝ln
x
相切于
P
(
x
0
，ln
x
0
)，则
kx
0
＝ln
x
0
.
11
∵(ln
x
)′＝，∴
k
＝，
kx
0
＝1＝ln
x
0
.
xx
0
1
∴
x
0
＝e，
k
＝.
e
1
结合图像可知：当
k
≤0或
k
＝时，方程ln
x
＝
kx
有一解．
e
1
当0<
k
<时，方程ln
x
＝
kx
有两解．
e
1
当
k
>时，方程ln
x
＝
kx
无解．
e