高中选修1-2回归分析和独立性检验知识总结与联系

选修1-2第一部分 变量间的相关关系与统计案例
【基础知识】
一、回归分析
1.两个变量的线性相关：判断是否线性相关
①用散点图
(1)正相关：在散点图中,点散布在从左下角到右上角的区域.对于两个变量的这
种相关关系,我们将 它称为正相关.
(2)负相关：在散点图中,点散布在从左上角到右下角的区域,两个变量的这种相< br>关关系称为负相关.
(3)线性相关关系、回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在 一条直
线附近,就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线.
②用相关系数r
(3)除用散点图外，还可用样本相关系数r来衡量两个变量
x，
y
相关关系的强弱，
r?
?
xy?nx?y
ii< br>i?1
n
(
?
x
i
2
?nx)(
?
y
i
2
?ny)
i?1i?1
n
2
n
2
当
r
＞0，表明两个变量正相关，当
r
＜0，表明 两个变量负相关，
r
的绝对值越
接近于1，表明两个变量的线性相关性越强；
r
的绝对值越接近于0，表明两个
变量之间几乎不存在线性相关关系，通常|
r
|
?0.75
时，认为这两个变量具有很
强的线性相关关系．
2.回归方程：
两个变量具有线性相关关系，数据收集如下：

?
?bx?a
,其中 可用最小二乘法得到回归方程
y






n
?
(x
i
?x)(y
i
?y)
?
?
i?1
?
?
?
b?
n
?
(x
i
?x)
2
?
?
i?1
?
?
?
a?y?bx
?
xy?nxy
ii
i?1
n
n
?
x
i
2
?nx
i?1
2
3．回归分析的基本思想及其初步应用
(1)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，其常用的
研究方法步骤是画出散点图，求出回归直线方程，并利用回归直线方程进行预报．
(2)对< br>n
个样本数据(
x
1，
y
1)、(
x
2，< br>y
2)、…、(
xn
，
yn
)，
(x,y)
称为样本点的中

心．样本点中心一定落在回归直线上。
4、回归效果的刻画：
y)
?
(y?
?
ii
n
2
用相关指数R
2
来刻画回归的效果，公式是
R
2
?1?
?
(y?y)
i
i?1
i?1
n

2
R
2
的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果好
二．独立性检验的基本思想及其初步应用





题型一 相关关系的判断
【例1】对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正
确的是( )

A.
r
2
<
r
4
<0<
r< br>3
<
r
1

B.
r
4
<r
2
<0<
r
1
<
r
3

C.
r
4
<
r
2
<0<
r
3
<
r
1

D.
r
2
<
r
4
<0<
r
1
<
r
3







【变式1】 根据两个变量
x
，
y
之间的观测数据画成散点图如图所示，这两个变
量是否具有线性相关关 系________(填“是”与“否”)．



题型二 线性回归方程
【例2】在2013年元旦期间，某市物价部门对本市五个商场销售的某商品
一天的销售量及其 价格进行调查，五个商场的售价
x
元和销售量
y
件之间的一组
数据如 下表所示：
价格
x

销售量
y

9
11

10
10
8

6
11
5
通过分析，发现销售量
y
与商品的价格
x
具有线性相关 关系，则销售量
y
关于商品的价格
x
的线性回归方程为________．
^^^
(参考公式：
b
= ，
a
＝
y
－
bx
)











【变式3】为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据
如下：
父亲身高
x
cm 174
儿子身高
y
cm 175

则
y
对
x
的线性回归方程为( )．
A．
y
＝
x
－1
＝
x
＋1
B．
y
176
175
176
176
176
177
178
177

1
C．
y
＝88＋
x

2









D．
y
＝176

题型三 独立性检验
【例4】通过随 机询问110名性别不同的行人，对过马路是愿意走斑马线还
是愿意走人行天桥进行抽样调查，得到如下 的列联表：

走天桥
走斑马线
总计
由
K
＝
2
男
40
20
60
女
20
30
50
总计
60
50
110
a
＋
b
nad
－
dc
2
c
＋
da
＋
c
2
b
＋
d
≈.
，
110×40×30－20×20
算得
K
2
＝
60×50×60×50
附表：
P
(
K
2
≥
k
)
k







对照附表，得到的正确结论是( )
A. 有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关”
B. 有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别无关”
C. 在犯错误概率不超过%的前提下，认为“选择过马路的方式与性别有关”
D. 在犯错误概率不超过%的前提下，认为“选择过马路的方式与性别无关

【变式2】 某企业 有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值
落在[,的零件为优质品．从两个分厂生 产的零件中各抽出了500件，量其内径尺
寸，得结果如下表：甲厂：
分组
频数
乙厂：
[，
12
[，
63
[，
86
[，
182
[，
92
[，
61
[，
4
29．90) 29．94) 29．98) 30．02) 30．06) 30．10) 30．14)

分组
频数
[，
29
[，
71
[，
85
[，
159
[，
76
[，
62
[，
18
29．90) 29．94) 29．98) 30．02) 30．06) 30．10) 30． 14)
(1)试分别估计两个分厂生产零件的优质品率；
(2)由以上统计数据填下面2×2列联表 ，并问是否有99%的把握认为“两个分厂
生产的零件的质量有差异”.

优质品
非优质品
合 计
附














甲 厂



＝
乙 厂



合 计







错误!
，
K
2
P
(
K
2
≥
k
)
k

巩固提高
1.下列说法：
①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；
^
②设有一个 回归方程
y
＝3－5
x
，变量
x
增加一个单位时，
y
平均增加5个单位；
^^^
③线性回归方程
y
＝
bx< br>＋
a
必过(
x
，
y
)；
④在一个2×2列 联表中，由计算得
K
2
＝，则有99%的把握确认这两个变量间有
关系；
其中错误的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2.已知回归直线斜率的估计值为，样本点的中心为点(4,5)，则回归直线的方程
为( )
^^^^
A.
y
＝＋4 B.
y
＝＋5 C.
y
＝＋ D.
y
＝＋
3. 已知
x
、
y
取值如下表：

x

y

A.
C.
0

1

4

5

6

8
< br>^
从所得的散点图分析可知：
y
与
x
线性相关，且
y
＝＋
a
，则
a
＝( )
B.
D.
160
63
165 170 175 180
4. 从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：
身高
x
(cm)
体重
y
(kg) 66 70 72 74
^^
根据上表可得回归 直线方程：
y
＝＋
a
，据此模型预报身高为172 cm的高三
男生的体重为( )
A. kg
C. kg
B. kg
D. kg
5.调查了某地若干户家庭的年收入
x
(单位：万元)和年饮食支出
y
(单位：万元)，
调查显示年收入
x
与年饮食支出
y
具有线性相关关系，并由调查数据得到
y
对
x^
的回归直线方程：
y
＝＋.由回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食 支
出平均增加________万元．
6．利用独立性检验对两个分类变量是否有关系进行研 究时，若在犯错误的概率
不超过的前提下认为事件A和B有关系，则具体计算出的数据应该是( )
A．k≥ B．k＜ C．k≥ D．k＜

7．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生的情况，具体
数据如下表：

男
女
非统计专业
13
7
统计专业
10
20
为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中数据得到，
50（13×20－10×7 ）2
k＝≈，因为k＞，所以确定主修统计专业与性别有
20×30×23×27
关系 ，那么这种判断出错的可能性为________．

8、某种产品的广告费支出与销售额（单位：百万元）之间有如下对应数据：













（1）画出散点图；（2）求线性回归方程；（3）试预测
广告费支出为百万元时， 销售额多大

9.下表提供 了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与
相应的生产能耗y(吨标准煤)的几 组对照数据.











（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求
出关于的线性回归方程；（3）已知该厂技改前吨甲产品的生产
吨甲产品的生能耗为吨标准煤， 试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产
产能耗比技改前降低多少吨标准煤(参考数值：
)

9．某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽 样
调查，调查结果如下表所示：


南方学生
北方学生
合计
甜品的饮食习惯方面有差异”；
(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学 系学生，其中2名习惯甜品，现
在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．









1 0、我市某校某数学老师这学期分别用
两个班（人数均为
两种不同的教学方式试验高一甲、乙< br>喜欢甜品 不喜欢甜品 合计
60
10
70
20
10
30
80
20
100
(1)根据表中数据， 问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用
人，入学数学平均分和优
秀率都相同， 勤奋程度和自觉性都一样）。现
随机抽取甲、乙两班各
绩，并作出茎叶图
（Ⅰ）依茎叶图判断哪个班的平均分高
（Ⅱ）现从甲班所抽数学成绩不低于分的同
名的数学期末考试成
学中随机抽取两名同学，求刚好有1人在85分以上的概率
（Ⅲ）学校 规定：成绩不低于分的为优秀，作出分类变量成绩与教学方式的
的前提下认为成绩优秀列联表，并判断“ 能否在犯错误的概率不超过
与教学方式有关” 下面临界值表仅供参
考：

（参考公式：






复习专题一 数列
其中）

1、在等差数列（1）已知
（2）已知
（3）已知
（4）已知



2、等差数列





3、在等比数列
（1）已知
（2）已知


，
，
中：
，
，
，
，
，求；
，求．
，
，
，求a
10
和S
10
；
，求和Sn；
的前项和为，且，．求数列的通项；
中，
，求
，求
；
；

4、在等比数列中，
．

．求：
(1)首项和公比；(2)前项的和