高中数学随机数题解法-有关高中数学的参考文献
章末检测试卷(二)
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.根据偶函数定义可推得“函数f(x)=x
2
在R上是偶函数”的推理过程是(
)
A.归纳推理
C.演绎推理
答案 C
解析
根据演绎推理的定义知,推理过程是演绎推理.
2.用反证法证明命题“2+3是无理数”时,假设正确的是( )
A.假设2是有理数
C.假设2或3是有理数
答案 D
解析
应对结论进行否定,则2+3不是无理数,
即2+3是有理数.
3.下列说法中运用了类比思想的是( )
1
A.人们通过大量试验得出掷硬币出现正面向上的概率为
2
B.科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼
C.通过检测溶液的pH值得出溶液的酸碱性
D.数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数
答案 B
解析
A为归纳推理,C,D为演绎推理.
4.设a,b,c都是非零实数,则关于a,bc,ac,-b四个数有以下说法:
①四个数可能都是正数;
②四个数可能都是负数;
③四个数中既有正数又有负数.
以上说法中正确的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案
B
B.假设3是有理数
D.假设2+3是有理数
B.类比推理
D.以上答案都不对
解析
可用反证法推出①②不正确,因此③正确.
5.在等差数列{a
n
}中,若a
n
<0,公差d>0,则有a
4
·a
6
>a
3
·
a
7
,类比上述性质,在等比数列{b
n
}
中,若b
n>0,q>1,则下列有关b
4
,b
5
,b
7
,b8
的不等关系正确的是( )
A.b
4
+b
8
>b
5
+b
7
C.b
4
+b
7
>b
5
+b
8
答案 A
6.求证:2+3>5.
证明:因为2+3和5都是正数,
所以为了证明2+3>5,
只需证明(2+3)
2
>(5)
2
,展开得5+26>5,
即证26>0,此式显然成立,所以不等式2+3>5成立.
上述证明过程应用了( )
A.综合法
B.分析法
C.综合法、分析法配合使用
D.间接证法
答案 B
解析
证明过程中的“为了证明…”,“只需证明…”这样的语句是分析法所特有的,是分
析法的证明模式.
7.某同学在纸上画出如下若干个三角形:
△▲△△▲△△△▲△△△△▲△△△△△▲……
若依此规律,得到一系列的三角形,则在前2 015个三角形中▲的个数是( )
A.62 B.63 C.64 D.61
答案 A
n?n+3?n?n+3?
解析
前n个▲中所包含的所有三角形的个数是1+2+3+…+n+n=,由=
22
2
015,解得n=62.
8.已知f(x)=a
x
1
(01
,x
2
∈R,且x
1
≠x
2
,则(
)
f?x
1
?+f?x
2
?
x
1
+x<
br>2
?
A.≤f
?
2
?
2
?
+
B.b
5
+b
7
>b
4
+b
8
D.b
4
+b
5
>b
7
+b
8
f?x
1
?+f?x
2
?
?x
1
+x
2
?
B.
?
2
?
f?x
1
?+f?x
2
?
x
1
+x
2
?
C.≥f
?
2
?
2
?
f?x
1
?+f?
x
2
?
?
x
1
+x
2
?
D.>f
2
?
2
?
答案 D
解析
∵x
1
≠x
2
,
f?x
1
?+f?x
2
?
a
∴=
2
=
a
即
x
1
?x
2
?1
2
x
1
?1
?a
x
2
?1
x?1x?1
>
a
1
?a
2
2
=f
?
x
1
+x
2
?
?2
?
,
f?x
1
?+f?x
2
?
?
x
1
+x
2
?
>f
2
?
2
?
.
9.对于“a,b,c是不全相等的正数”,给出下列说法:
①(a-b)
2
+(b-c)
2
+(c-a)
2
≠0;
②a=b,b=c,a=c中至少有一个成立;
③a≠c,b≠c,a≠b不能同时成立.
其中正确说法的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 B
解析 若(a-b)
2
+(b-c)
2
+(c-a)
2=0,则a=b=c,与“a,b,c是不全相等的正数”矛盾,
故①正确.a=b,b=c,a=
c中最多只能有一个成立,故②不正确.由于“a,b,c是不全
相等的正数”有两种情形:只有两个相
等或三个数都互不相等,故③不正确.
1
10.在数列{a
n
}中,a1
=,且S
n
=n(2n-1)a
n
,通过求a
2,a
3
,a
4
,猜想a
n
的表达式为( )
3
1
A.
?n-1??n+1?
1
C.
?2n-1??2n+1?
答案 C
111
解析 由a
1
=,S
n
=n(2n-1)a
n
,求得a
2
==,
315
3×5
1111
a
3
==,a
4
==.
35
5×7
63
7×9
1
猜想a
n
=.
?2n-1??2n+1?
1
B.
2n?2n+1?
1
D.
?2n+1??2n+2?
11.观察下列事实:|x|+|y|=
1的不同整数解(x,y)的个数为4,|x|+|y|=2的不同整数解(x,
y)的个数为8,|x
|+|y|=3的不同整数解(x,y)的个数为12,….则|x|+|y|=20的不同整数解(x,
y)的个数为( )
A.76 B.80 C.86 D.92
答案 B
解析 整数解个数按顺序构成首项为4,公差为4的等差数列,因此|x|+|y|=20的不同整数<
br>解(x,y)的个数为4+4×(20-1)=80,故选B.
12.设函数f(x)定义如下
表,数列{x
n
}满足x
0
=5,且对任意的自然数均有x
n
+
1
=f(x
n
),则x
2 019
等于( )
x
f(x)
A.1 B.2 C.4 D.5
答案
C
解析 x
1
=f(x
0
)=f(5)=2,x
2
=f(2)=1,x
3
=f(1)=4,x
4
=f(4)=5,x
5
=f(5)=2,x
6
=f(2)=1,
x
7
=f(1)
=4,x
8
=f(4)=5,x
9
=f(5)=2,…,所以数列{x
n
}是周期为4的数列,所以x
2 019
=x
3
=4,故选C.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知x,y∈R,且x+y<
2,则x,y中至多有一个大于1,在用反证法证明时,假设应为
________.
答案
x,y都大于1
解析
“至多有一个大于1”包括“都不大于1和有且仅有一个大于1”,故其对立面为“x,
y都大于1”.
14.已知a>0,b>0,m=lg
答案 m>n
解析 ab>0?ab>0?a
+b+2ab>a+b?(a+b)
2
>(a+b)
2
?a+b>a+b?<
br>a+ba+ba+ba+b
>?lg>lg.
2222
a+ba+b
,n=lg,则m,n的大小关系是________.
22
1
4
2
1
3
3
4
5
5
2
x
2
y
2
15.已知圆x+y=r在点(x
0
,y
0
)处的切线方程x
0
x+y
0
y=r,类似地,可以求得椭圆+
328
2222=1在点(4,2)处的切线方程为________________________________
___.
xy
答案 +=1
84
解析 圆的方程可写成x·x+y·y=
r
2
,圆在点(x
0
,y
0
)处的切线方程为x
0
x+y
0
y=r
2
,类似地,
x·xy·yx
0<
br>·xy
0
·yx
2
y
2
椭圆的方程可写成+=1,椭
圆在点(x
0
,y
0
)处的切线方程为+=1,故椭圆+
32832
8328
=1在点(4,2)处的切线方程为
4x2yxy
+=1,即+=1. 32884
16.如图所示,有一个六边形的点阵,它的中心是1个点(算第1层),第2层每边有
2个点,
第3层每边有3个点,…,依此类推,如果一个六边形点阵共有169个点,那么它的层数为<
br>__________.
答案 8
解析 由题意知,第1层的点数为1,
第2层的点数为6,第3层的点数为2×6,第4层的
点数为3×6,第5层的点数为4×6,…,第n
(n≥2,n∈N
*
)层的点数为6(n-1).设一个六
6+6?n-1?
边形点阵有n(n≥2,n∈N
*
)层,则共有的点数为1+6+6×2+…+6(n-1)=
1+
2
×(n-1)=3n
2
-3n+1.由题意得3n
2
-3n+1=169,即(n+7)(n-8)=0,所以n=8,故共有8层.
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(10分)1,3,2能否为同一等差数列中的三项?说明理由.
解 假设1,3,2
能为同一等差数列中的三项,但不一定是连续的三项,设公差为d,则1
=3-md,2=3+nd,m
,n为两个正整数,消去d得m=(3+1)n.
∵m为有理数,(3+1)n为无理数.
∴左边为有理数,右边为无理数,m=(3+1)n不成立,矛盾.
∴假设不成立,即1,3,2不可能为同一等差数列中的三项.
18.(12分)下面图形都是由小正三角形构成的,设第n个图形中的黑点总数为f(n).
(1)求f(2),f(3),f(4),f(5)的值;
(2)找出f(n)与f(n+1)的关系,并求出f(n)的表达式.
解
(1)由题意知f(1)=3,
f(2)=f(1)+3+3×2=12,
f(3)=f(2)+3+3×4=27,
f(4)=f(3)+3+3×6=48,
f(5)=f(4)+3+3×8=75.
(2)由(1)知,f(n+1)=f(n)+3+3×2n=f(n)+6n+3,
即f(n+1)-f(n)=6n+3,
故f(2)-f(1)=6×1+3,
f(3)-f(2)=6×2+3,
f(4)-f(3)=6×3+3,
…
f(n)-f(n-1)=6(n-1)+3,n≥2.
将上面(n-1)个式子相加,得
?1+n-1??n-1?
f(n)-f(1)=6[1+2+3+…+(n-1)]+3(n
-1)=6×+3(n-1)=3n
2
-3,
2
又f(1)=3,所以f(
n)=3n
2
,n≥2.当n=1时,f(1)=3也满足上式,故f(n)=3n
2
,n∈N
*
.
19.(12分)已知A,B都是锐角,且A+B≠90°,(1+tan A)·(1+tan
B)=2.求证:A+B=45°.
证明 因为(1+tan A)(1+tan B)=2,
展开化简为tan A+tan B=1-tan Atan B.
因为A+B≠90°,tan(A+B)=
又因为A,B都是锐角,
所以0°20.(12分)某同学在研究相邻三
个正整数的算术平方根之间的关系时,发现以下三个式子均
是正确的:
①1+3<22;②2+4<23;③3+5<24.
(1)已知2∈(1.41,1.42
),3∈(1.73,1.74),5∈(2.23,2.24),请从以上三个式子中任选一个,
结合
此范围,验证其正确性(注意不能近似计算);
(2)请将此规律推广至一般情形,并证明.
解 (1)验证①式成立:∵3<1.74,∴1+3<2.74,
∵2>1.41,∴22>2.82,∴1+3<22.
(2)一般结论为:若n∈N
*
,
则n+n+2<2n+1,证明如下:
要证n+n+2<2n+1,
只需证(n+n+2)
2
<(2n+1)
2
,
即证2n+2+2n·n+2<4n+4,
即证n·n+2
+2n+1,即证0<1,显然成立.
故n+n+2<2n+1.
x
2
y
2
21.(12分)(
1)椭圆C:
2
+
2
=1(a>b>0)与x轴交于A,B两点,点P是椭圆
C上异于A,B
ab
→→
的任意一点,直线PA,PB分别与y轴交于点M,N,求证
:AN·BM为定值b
2
-a
2
.
x
2
y
2
(2)双曲线C:
2
-
2
=1(a>0,b>0)与x轴交于A
,B两点,点P是双曲线C上异于A,B的
ab
→→
任意一点,直线PA,PB分别与
y轴交于点M,N,类比(1)中的结论,试判断AN·BM是否为
定值?若是,请写出这个定值(不要
求写出解题过程).
(1)证明 设点P(x
0
,y
0
)(x0
≠±a).依题意,不妨令A(-a,0),B(a,0),
tan A+tan
B
=1,
1-tan Atan B
y
0
ay
0
则直线PA的方程为y=(x+a),令x=0,得y
M
=. x
0
+ax
0
+a
ay
0
a
2
y
2
x
2
y
2
000
同理得y
N
=-,所以y
M
y
N
=
22
.又点P(x
0,y
0
)在椭圆C上,所以
2
+
2
=1,因此y
2
0
=
ab
x
0
-aa-x
0
2
b
2
22
a
2
y
0
→→→→
=b
2
.因为AN=(a,y
N
),BM=(-a,y
M
),所以AN
·BM=-a
2
+
2
(a-x
0
),所以y
My
N
=
22
a
a-x
0
y
M
y
N
=b
2
-a
2
.
→→
(2)AN·
BM为定值,该定值为-(a
2
+b
2
).
22.(12分)已知函数f(x)=x
2
-2x.
1
?
(1)当x∈
?
?
2
,3
?
时,求函数f(x)的值域;
(2)若定义在R上的奇函数g(x)对任意实数x,恒有g(x+4)=g(x),且当x∈[0,2
]时,g(x)=f(x),
求g(1)+g(2)+…+g(2 017)的值.
解
(1)f(x)=x
2
-2x=(x-1)
2
-1,
1
?
∵x∈
?
?
2
,3
?
,
∴当x=1时,f(x)
min
=-1;
当x=3时,f(x)
max
=3.
1
?
即当x∈
?
?
2
,3
?
时,函数f(x)的值域是[-1,3].
(2)由g(x+4)=g(x)可得,函数g(x)的周期T=4,
g(1)=f(1)=-1,g(2)=f(2)=0,
g(3)=g(-1)=-g(1)=1,
g(4)=g(0)=f(0)=0,
∴g(1)+g(2)+g(3)+g(4)=0,
故g(1)+g(2)+…+g(2
017)=g(1)+504×0=-1.