高中数学选修2-2课时作业7：2.1.1 合情推理

人教版高中数学选修2-2

2.1 合情推理与演绎推理
2.1.1 合情推理

一、基础达标
1.数列5,9,17,33，x，…中的x等于( )
A.47
C.63
[
答案
] B
[
解析
] 5＝2
2
＋1 ,9＝2
3
＋1,17＝2
4
＋1,33＝2
5
＋1，归纳 可得：x＝2
6
＋1＝65.
2.根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )
1×9＋2＝11
12×9＋3＝111
123×9＋4＝1 111
1 234×9＋5＝11 111
12 345×9＋6＝111 111
…
A.1 111 110
C.1 111 112
[
答案
] B
[
解析
] 由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1 111 111.
π
3.设0<θ<
，已知a
1
＝2cos θ，a
n
＋
1
＝2＋a
n
，猜想a
n
等于( )
2
A.2cos
θ

2
n
B.2cos
2
n
－
1

B.65
D.128
B.1 111 111
D.1 111 113
θ
θ
C.2cos
n
＋
1

2
θ
D.2 sin
n

2

1

人教版高中数学选修2-2
[
答案
] B
[
解析
] 方法一 ∵a
1
＝2cos θ，
a
2
＝2＋2cos θ＝2
1＋cos θ
θ
＝2cos ，
22
θ
1＋cos
2
θ
＝2cos ，…，
24
θ
a
3
＝2＋a
2
＝2
猜想a
n
＝2cos .
2
n
－
1
方法二 验n＝1时，排除A、C、D，故选B.
4.学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学
生甲的语 文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学
生乙成绩好”.如果一 组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相
同、数学成绩也相同的两位学生，那 么这组学生最多有( )
A.2人 B.3人 C.4人 D.5人
[
答案
] B
[
解析
] 假设满足条件的学生有4位及4 位以上，设其中4位同学分别为甲、乙、丙、丁，
则4位同学中必有两个人语文成绩一样，且这两个人数 学成绩不一样(或4位同学中必有两
个数学成绩一样，且这两个人语文成绩不一样)，那么这两个人中一 个人的成绩比另一个人
好，故满足条件的学生不能超过3人.当有3位学生时，用A，B，C表示“优秀 ”“合格”“不
合格”，则满足题意的有AC，CA，BB，所以最多有3人.
5.观察下列 等式：1
3
＋2
3
＝(1＋2)
2,
1
3
＋2
3
＋3
3
＝(1＋2＋3)
2,
1
3
＋2
3
＋3
3
＋4
3
＝(1＋2＋3＋
4)2
，…，根据上述规律，第四个等式为________.
[
答案
] 1
3
＋2
3
＋3
3
＋4
3
＋5
3
＝(1＋2＋3＋4＋5)
2

[
解析
] 观察前3个等式 发现等式左边分别是从1开始的两个数、三个数、四个数的立方和，
等式右边分别是这几个数的和的平方 ，因此可得第四个等式是：1
3
＋2
3
＋3
3
＋4
3
＋5
3
＝(1＋2
＋3＋4＋5)
2
.
6.观察下列等式
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25

2

人教版高中数学选修2-2
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
…
照此规律，第n个等式为________.
[
答案
] n＋(n＋1)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)
2

7.在△ABC中，若∠C＝ 90°，则cos
2
A＋cos
2
B＝1，用类比的方法，猜想三棱锥的类似 性质，
并证明你的猜想.
解 由平面类比到空间，有如下猜想：“在三棱锥PABC中，三个 侧面PAB，PBC，PCA两
两垂直，且与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos
2α＋cos
2
β＋cos
2
γ＝1”.
证明 设P在平面ABC的射影为O，延长CO交AB于M，记PO＝h，
由PC⊥PA，PC⊥PB得PC⊥面PAB，从而PC⊥PM，又∠PMC＝α，
hhh
cos α＝sin∠PCO＝
，cos β＝，cos γ＝
PCPAPB
11
1
PA·PBcos α＋

∵V
P
－
ABC
＝PA·PB·PC＝
?
63
?
2< br>

1
PB·
2
1
PCcos β＋PC·PAcos γ
?
·h，
2
?
cos αcos βcos γ
?
∴
?
?
PC
＋
PA
＋PB
?
h＝1
即cos
2
α＋cos
2
β＋cos
2
γ＝1.
二、能力提升
2S
8.设△ABC的三 边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝
，
a＋b＋c
类比这个结论可知：四面体SABC的四个面的面积分别为S
1
、S
2
、S< br>3
、S
4
，内切球半径为r，
四面体SABC的体积为V，则r等于( )
V
A.
S
1
＋S
2
＋S
3＋S
4
3V
C.
S
1
＋S
2
＋S
3
＋S
4
[
答案
] C
[
解析
] 设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都
是R， 所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4
1
个三棱锥体积的和.则四面体的 体积为V
四面体A-BCD
＝
(S
1
＋S
2
＋S< br>3
＋S
4
)R，
3
3V
∴R＝
.
S
1
＋S
2
＋S
3
＋S
4
2V
B .

S
1
＋S
2
＋S
3
＋S
4< br>4V
D.

S
1
＋S
2
＋S
3
＋S
4

3

人教版高中数学选修2-2
9.观察分析下表中的数据：
多面体
三棱柱
五棱锥
立方体
面数(F)
5
6
6
顶点数(V)
6
6
8
棱数(E)
9
10
12
猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是____________.
[
答案
] F＋V－E＝2
[
解析
] 观察F，V，E的变化得F＋V－E＝2.
10.观察下列等式：
错误!
照此规律， 第n个等式可为________.
[
答案
] 1
2
－2
2
＋3
2
－…＋(－1)
n
－
1?－1?
n
1
2
n
＝
n(n＋1)
2
＋
[
解析
] 分n为奇数、偶数两种情况.
当n为偶数 时，分组求和：(1
2
－2
2
)＋(3
2
－4
2< br>)＋…＋[(n－1)
2
－n
2
]＝－
n?n＋1?
.
2
n?n－1?n?n＋1?
2
当n为奇数时，第n个等式＝－＋n＝< br>.
22
综上，第n个等式：1
2
－2
2
＋3
2
－…＋(－1)
n
－
1
n
2
＝
?－1 ?
n
＋
1
n(n＋1).
2
11.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin
2
13°＋cos
2
17°－sin 13°cos 17°；
②sin
2
15°＋cos
2
15°－sin 15°cos 15°；
③sin
2
18°＋cos
2
12°－sin 18°cos 12°；
④sin
2
(－18°)＋cos
2
48°－sin(－ 18°)cos 48°；
⑤sin
2
(－25°)＋cos
2
5 5°－sin(－25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.
解 (1)选择②式，计算如下：
113
sin
2
15°＋cos
2
15°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°＝1－
＝
.
244
3
(2)三角恒等式为sin
2
α＋cos
2
(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.
4
证明如下：

4

人教版高中数学选修2-2
sin
2
α＋cos
2
(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin
2
α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
2
－sin α·(cos
30°cos α＋sin 30°sin α)
33131333
＝sin
2
α＋cos
2
α＋sin αcos α＋sin
2
α－sin αcos α－sin
2
α＝sin
2
α＋cos
2
α＝.
42422444
x
2
y
2
12.(1)椭圆C：
2
＋
2
＝1(a>b>0)与x轴交于A、B两点，点P是椭圆C上异于A、B的任意
ab
→→
一点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，求证：AN
·BM
为定值b
2
－a
2
.
x
2
y
2
(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线
2
－
2
＝1(a>0，b>0)与 x轴交于A、B两点，点P是双
ab
曲线C上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别与y 轴交于点M、N，
→→
求证AN
·BM
为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程).
解 (1)证明如下：设点P(x
0
，y
0
)，(x
0
≠±a)
依题意，得A(－a,0)，B(a,0)，
y
0
所以直线PA的方程为y＝
(x＋a).
x
0
＋a
ay
0
令x＝0，得y
M
＝
，
x
0
＋a
ay
0
a
2
y
2
0
同理得 y
N
＝－
，所以y
M
y
N
＝
22
.
x
0
－aa
－x
0
2
x
0
y
2
0
又点P(x
0
，y
0
)在椭圆上，所以
2
＋
2
＝1，
ab
因此
b
2
222< br>y
0
＝
2
(a
－x
0
)，所以
a< br>a
2
y
2
0
y
M
y
N
＝< br>22
＝b
2
.
a
－x
0
→→
因为 AN＝(a，y
N
)，BM
＝(－a，y
M
)，
→→所以AN
·BM
＝－a
2
＋y
M
y
N
＝b
2
－a
2
.
(2)－(a
2
＋b
2
).
三、探究与创新
1 3.在平面几何中，对于Rt△ABC，设BC＝a，CA＝b，AB＝c，C＝90°.则(1)a
2
＋b
2
＝c
2
；(2)cos
2
A
11< br>＋cos
2
B＝1；(3)Rt△ABC的外接圆的半径r＝a
2
＋b
2
；(4)S
△
ABC
＝
ab.把上面的结论类比到
22
空间，写出相类似的结论.
222
解 (1)设三个两两垂直的侧面的面积分 别为S
1
，S
2
，S
3
，底面面积为S，则S
2< br>1
＋S
2
＋S
3
＝S.(检

5

人教版高中数学选修2-2
1
验：设PA，PB，PC两两互相垂直 ，PA＝m，PB＝n，PC＝t，PE⊥AB于点E，则S
2
＝
(m
24
m
2
n
2
22
＋n
)·(t
＋22
)＝S
2
1
＋S
2
＋S
3
) < br>m
＋n
22
(2)设三个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则 cos
2
α＋cos
2
β＋cos
2
γ＝1.(检验：因为S
1
＝Scos α，S
2
＝Scos β，S
3
＝Scos γ)
(3)设三个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为m、n 、t，则这个直四面体的外接球半径为R
＝
m
2
＋n
2
＋t
2
.(检验：补形为长、宽、高分别为m、n、t的长方体)
2
1
(4)设三个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为m、n、t，则这个直四面体的体积为V＝mnt.
6

6