高中数学 第三章 导数及其应用 阶段复习课学案 苏教版选修1-1

-------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的 勤奋------------------------------

第三课 导数及其应用
[体系构建]

[题型探究]
利用导数的几何意义求曲线的切线方程
运用导数的几何意义，可以求过曲线上任一点的切线的 斜率，从而进一步求出过此点的
切线方程．还可以结合几何的有关知识，求解某些点的坐标、三角形面积 等．导数的几何意
义是近几年高考的要点和热点之一，常结合导数的运算进行考查，常以选择题、填空题 的形
式出现．
对于较为复杂的此类问题，一般要利用
k
＝
f
′(
x
0
)((
x
0
，
f
(
x
0
))为切点)及切点的坐标满
足切线方程和曲线方程列方程组求解．
求过曲线
y
＝
x
－2
x
上的点(1，－1)的切线方程.
[思路探究] 切线过曲线上一点(1，－1)，并不代表(1，－1)就是切点，故需先设出切
点，再求解.
【规范解答】 设切点为
P
(
x
0
，
y
0
)，则
y
0
＝
x
0
－2
x
0.∵
y
′＝3
x
－2，则切线的斜率
k
＝
f< br>′(
x
0
)＝3
x
0
－2，∴切线方程为
y
－(
x
0
－2
x
0
)＝(3
x
0
－2)(
x
－
x
0
)．
又∵切线过点(1，－1 )，∴－1－(
x
0
－2
x
0
)＝(3
x
0
－2)(1－
x
0
)，整理，得(
x
0
－1)( 2
x
0
1
?
17
?
＋1)＝0，解得
x< br>0
＝1或
x
0
＝－.∴切点为(1，－1)或
?
－，
?
，相应的切线斜率为
k
＝1或
2
?
28
?
322
232
32
3
k
＝－.
75
?
1
?
故所求切线方程为
y
－(－1)＝
x
－1或< br>y
－＝－·
?
x
＋
?
，即
x
－y
－2＝0或5
x
＋4
y
84
?
2
?
－1＝0.
5
4
金戈铁制卷

--------- ----------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋-------------- ----------------

[跟踪训练]
1．已知函数
f(
x
)＝
x
＋
ax
＋
bx
＋
c
在
x
＝2处取得极值，并且它的图象与直线
y
＝－3
x< br>＋3在点(1,0)处相切，则函数
f
(
x
)的表达式为______ __.
【导学号：95902257】
【解析】
f
′(
x< br>)＝3
x
＋2
ax
＋
b
.∵
f
(< br>x
)与直线
y
＝－3
x
＋3在点(1,0)处相切，
?
?
f
′1＝－3，
∴
?
?
?
f
1＝0.
2
32

?
?
3＋2
a
＋b
＝－3，①
即
?
?
?
1＋
a
＋b
＋
c
＝0.②


∵
f
(
x
)在
x
＝2处取得极值，∴
f
′(2)＝12＋4
a< br>＋
b
＝0.③
a
＝－3，
?
?
由①② ③解得
?
b
＝0，
?
?
c
＝2.
3

2
∴
f
(
x
)＝
x
－3
x< br>＋2.
32
【答案】
f
(
x
)＝
x
－3
x
＋2
利用导数研究函数的单调性
1．求函数的单调区间应先确定函数的定义域，利用
f
′(
x
)＞0，
f
′(
x
)＜0的解集确
定单调区间，这是函数中常见问题，是考查的重点．
2．求含参数的函数的单调区间讨论时要注意的三个方面：(1)
f
′(
x
) ＝0有无根，(2)
f
′
(
x
)＝0根的大小，(3)
f< br>′(
x
)＝0的根是否在定义域内．另外当
f
′(
x
)＝0的最高次项系数
含有字母时，则要讨论系数是否为0.
3．已知函数的单调性求参数的 取值范围有两种思路：①转化为不等式在某区间上恒成
立问题，即
f
′(
x< br>)≥0(或≤0)恒成立，用分离参数求最值或函数的性质求解，注意验证使
f
′
(
x
)＝0的参数是否符合题意，②构造关于参数的不等式求解，即令
f
′ (
x
)＞0(或＜0)求得
用参数表示的单调区间，结合所给区间，利用区间端点列不 等式求参数的范围．
已知函数
f
(
x
)＝
x
－
ax
－1.
(1)讨论
f
(
x
)的单调性；
(2)若
f(
x
)在R上为增函数，求实数
a
的取值范围．
[思路探究] (1)求出
f
′(
x
)，讨论
f
′(
x
) ＝0的根是否存在，求函数的单调区间；
(2)根据题意有
f
′(
x
)≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，分离参数后可求实数
a
的取值范
围．
【规范解答】 (1)
f
′(
x
)＝3
x
－
a
.
①当
a
≤0时，
f
′(
x
)≥0，所以
f
(
x
)在(－∞，＋∞)上为增函数．
②当
a
＞0时，令3x
－
a
＝0得
x
＝±
2
2
3
3
a
3
a
3
a
；当
x
＞或
x＜－时，
f
′(
x
)＞0；
333
金戈铁制卷

-------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十 九的勤奋------------------------------

当－
3
a
3
a
＜
x
＜时，
f
′(
x< br>)＜0.
33
因此
f
(
x
)在
?
－∞，－
?
?
3
a
??
3
a
3
a
3
a
???

?
，
?
，＋∞
?< br>上为增函数，在
?
－，
?
上为减函数．
3
??
33
???
3
综上可知，当
a
≤0时，
f
(x
)在R上为增函数；
当
a
＞0时，
f
(
x
)在
?
－∞，－
减函数．
(2)因为
f
(
x
)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以
f
′(
x
)＝3
x
－
a
≥0在(－∞，＋∞)上
恒成立，
即
a
≤ 3
x
对
x
∈R恒成立．因为3
x
≥0，所以只需
a
≤0.
又因为
a
＝0时，
f
′(
x
)＝ 3
x
≥0，
f
(
x
)＝
x
－1在R上是增 函数，
所以
a
≤0，即
a
的取值范围为(－∞，0]．
[跟踪训练]
1
2
xx
2．设函数
f
(
x
)＝
x
＋e－
x
e.
2
(1)求
f
(
x
)的单调区间；
(2)若当< br>x
∈[－2,2]时，不等式
f
(
x
)＞
m
恒成立，求实数
m
的取值范围.
【导学号：95902258】
【解】 (1)函数
f
(
x
)的定义域为(－∞，＋∞)，
f
′(< br>x
)＝
x
＋e－(e＋
x
e)＝
x
(1－e )．
若
x
＜0，则1－e＞0，所以
f
′(
x
)＜0；
若
x
＞0，则1－e＜0，所以
f
′(
x
)＜0；
若
x
＝0，则
f
′(
x
)＝0.
∴f
(
x
)在(－∞，＋∞)上为减函数，即
f
(
x)的单调减区间为(－∞，＋∞)．
(2)由(1)知
f
(
x
)在[－2,2]上单调递减，
∴
f
(
x
)
min
＝
f
(2)＝2－e.
∴当
m
<2－e时，不等式
f
(
x
)＞
m
恒成立．即实数
m
的取值范围是(－∞，2－e).
22
2
23
22
2
?
?
3
a
??
3
a
3
a
3
a
???
?
，
?
，＋∞< br>?
上为增函数，在
?
－，
?
上为
3
??33
???
3
xxxx
x
x
利用导数研究函数的极值和 最值
1.利用导数研究函数极值的一般流程
金戈铁制卷

---- ---------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋--------- ---------------------


2．求函数
f
(
x
)在[
a
，
b
]上的最大值和最小值的步骤：
(1)求函数在(
a
，
b
)内的极值；
(2)求函数在区 间端点的函数值
f
(
a
)，
f
(
b
)；
(3)将函数
f
(
x
)的极值与
f
(
a< br>)，
f
(
b
)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最
小值．
3．注意事项：
(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论．
( 2)解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好
f
′(
x
)＝0 时的情况；区
分极值点和导数为0的点．
已知函数
f
(
x
)＝
x
＋
ax
＋
bx
＋
c
，曲线
y
＝
f
(
x
)在点
x
＝1处的切线为
l
：3
x
－
y
2
＋1＝0，若
x
＝时，y
＝
f
(
x
)有极值．
3
(1)求
a
，
b
，
c
的值；
(2)求
y
＝
f
(
x
)在[－3,1]上的最大值和最小值 ．
32
?
2
?
[思路探究] (1)利用
f
′( 1)＝3、
f
′
??
＝0、
f
(1)＝4构建方程组求解；
?
3
?
(2)令
f
′
x
＝0→列表→求极值和区间
→比较大小→得最大值和最小值
端点的函数值
322
【规范解答】 (1)由
f
(
x)＝
x
＋
ax
＋
bx
＋
c
，得
f
′(
x
)＝3
x
＋2
ax
＋
b
.
当
x
＝1时，切线
l
的斜率为3，可得2
a
＋
b
＝0，①
2
?
2
?
当
x
＝ 时，
y
＝
f
(
x
)有极值，则
f
′
??
＝0，可得4
a
＋3
b
＋4＝0，②
3
?
3
?
由①②，解得
a
＝2，
b
＝－4.由于切点的 横坐标为1，所以
f
(1)＝4.
所以1＋
a
＋
b
＋
c
＝4，得
c
＝5.
(2)由(1)可得
f
(
x
)＝
x
＋2
x
－4
x
＋5，
f
′(
x
)＝3
x
＋4
x
－4.令
f′(
x
)＝0，解得
x
1
＝－
2
2，
x
2
＝.
3
当
x
变化时，
f
′(
x
)，
f
(
x
)的取值及变化情况如下表所示：
322
金戈铁制卷

---------------------- ---天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋--------------------------- ---

x
f
′
(
x
)

－3

(－3，－2)

－2

?
－2，
2
?

?
3
?
??
－

2

3
0

95

27
?
2
，1
?

?
3
?
??
＋

1

8

＋

0


f
(
x
)

↗

13

↙

↗

4
95
由表可知，函数
y＝
f
(
x
)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为.
27
[跟踪训练]
1
3
1
2
3．已知函数
f
(
x
)＝
x
－
x
＋
cx
＋< br>d
有极值．
32
(1)求
c
的取值范围；
12
(2)若
f
(
x
)在
x
＝2处取得极值，且 当
x
＜0时，
f
(
x
)＜
d
＋2
d
恒成立，求
d
的取值范
6
围.
【导学号：95902259】
1
3
1
22
【解】 (1 )∵
f
(
x
)＝
x
－
x
＋
cx< br>＋
d
，∴
f
′(
x
)＝
x
－
x
＋
c
，要使
f
(
x
)有极值，
32
1
2
则方程
f
′(
x
)＝
x
－< br>x
＋
c
＝0有两个实数解，从而
Δ
＝1－4
c
＞0，∴
c
＜.
4
1
3
1
2
(2)∵
f
(
x
)在
x
＝2处取得极值，∴
f
′( 2)＝4－2＋
c
＝0，∴
c
＝－2.∴
f
(
x
)＝
x
－
x
32
－2
x
＋
d.
∵
f
′(
x
)＝
x
－
x
－2＝(
x
－2)(
x
＋1)，∴当
x
∈(－∞，－1)时 ，
f
′(
x
)＞0，函数单调
递增，
当
x
∈(－1,2]时，
f
′(
x
)＜0，函数单调递减．∴
x
＜0时，
f
(
x
)在
x
＝－1处取得最大
7值＋
d
，
6
1
2
71
2
∵
x
＜0时，
f
(
x
)＜
d
＋2
d
恒成立，∴ ＋
d
＜
d
＋2
d
，即(
d
＋ 7)(
d
－1)＞0，
666
∴
d
＜－7或
d< br>＞1，即
d
的取值范围是(－∞，－7)∪(1，＋∞).
2
分类讨论思想
利用分类讨论思想解答问题已成为高考中的热点问题，尤其是函数、 导数中的解答题，
在含参数的问题中，无论是研究单调性，还是极值、最值，一般都需要分类讨论．
已知函数
f
(
x
)＝
x
－ln(
x＋
a
)的最小值为0，其中
a
＞0.
(1)求
a
的值；
金戈铁制卷

---- ---------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋--------- ---------------------

(2)若对任意的
x
∈[ 0，＋∞)，有
f
(
x
)≤
kx
成立，求实数
k< br>的最小值.
[思路探究] (1)求出函数
f
(
x
)的最小值用
a
表示解方程可得
a
的值；
(2)构造函数
g
(
x
)＝
f
(
x
)－
kx
，分 类讨论求其在[0，＋∞)的最大值，使其最大值≤0
可得
k
的取值范围，即得其最小 值．
【规范解答】 (1)
f
(
x
)的定义域为(－
a< br>，＋∞)．
f
′(
x
)＝1－
1
x
＋
a
－1
＝.
x
＋
ax
＋
a
2
2
由
f
′(
x
)＝0，得
x
＝1－
a
＞－
a
.当
x
变化时，
f
′(
x
)，
f
(
x
)的变化情况如下表：
x
f
′
(
x
)

(－
a,
1－
a
)

－

↘

1－
a
0

极小值

(1－
a
，＋∞)
＋
↗
f
(
x
)

因此，
f
(
x
)在
x
＝1－
a
处取得最小值，故由题意
f
(1－
a
)＝1－
a
＝0，所以
a
＝1.
(2)当
k
≤0时，取
x
＝1，有
f
(1)＝1－ln 2＞0，故
k
≤0不合题意．
当
k
＞0时，令
g
(
x
)＝
f
(
x
)－
kx
，即
g
(
x
)＝
x
－ln(
x
＋1)－
kx.
22
x
－
x
[2
kx
－1－2
k
]
g
′(
x
)＝－2
kx
＝.
x＋1
x
＋1
1－2
k
令
g
′(
x)＝0，得
x
1
＝0，
x
2
＝＞－1.
2< br>k
11－2
k
①当
k
≥时，≤0，
g
′(< br>x
)＜0在(0，＋∞)上恒成立，
22
k
因此
g
(
x
)在[0，＋∞)上单调递减．从而对于任意的
x
∈[0，＋∞)，总有
g
(
x
)≤
g
(0)
1
2
＝0， 即
f
(
x
)≤
kx
在[0，＋∞)上恒成立．故
k
≥符合题意．
2
11－2
k
?
1－2
k
?
，
g
′(
x
)＞0， ②当0＜
k
＜时，＞0， 对于
x
∈
?
0，
2
k
?
22
k< br>??
?
1－2
k
?
内单调递增，因此当取
x
∈
?
0，
1－2
k
?
时， 故
g
(
x
)在
?
0，
0
?
2
k
?
2< br>k
?
????
g
(
x
0
)＞
g(0)＝0，即
f
(
x
0
)≤
kx
2
0
不成立．故0＜
k
＜不合题意.
1
综上，
k
的最小值为.
2
[跟踪训练] 4．设函数
f
(
x
)＝
a
e＋
x
1< br>2
1
＋
b
(
a
＞0)．
a
ex
(1)求
f
(
x
)在[0，＋∞)内的最小值；
3
(2)设曲线
y
＝
f
(
x
)在点(2 ，
f
(2))处的切线方程为
y
＝
x
，求
a
，
b
的值.
2
金戈铁制卷

------- ------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋------------ ------------------

【解】 (1)
f
′(
x
)＝
a
e－
x
1
，
a
e
x
当
f
′(
x
)＞0，即
x
＞－ln
a
时，
f
(
x
)在(－ln
a
，＋∞)上单调递增；
当
f
′(
x
)＜0，即
x
＜－ln
a
时，
f
(
x
)在(－∞，－ln
a
)上单调递减．
①当0＜
a
＜1时，－ln
a
＞0，
f
(
x
)在(0，－ln
a
)上单调递减，在(－ln
a
，＋∞)上
单调递增，从而
f
(
x
)在[0，＋∞)上的最小值为
f
(－ln
a
)＝2＋
b;

②当
a
≥1时，－ln
a
≤0，
f
(
x
)在[0，＋∞)上单调递增，
1
从而
f
(
x
)在[0，＋∞)上的最小值为
f
( 0)＝
a
＋＋
b
.
a
(2)依题意
f
′(2)＝
a
e－
2
1312
22
2
＝，解得
a
e＝2或
a
e＝－(舍 去)，所以
a
＝
2
，代入
a
e22e
1121原函数可得2＋＋
b
＝3，即
b
＝，故
a
＝
2
，
b
＝.
22e2
[链接高考]
1
2
1．曲线
y
＝
x
＋在点(1,2)处的切线方程是__________.
x
【导学号：95902260】
11
【解析】 因为
y
′＝2
x
－
2
，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率
k
＝2×1－
2
＝1，所
x
1
以切线方程为
y
－2＝
x
－1，即
y
＝
x
＋1.
【答案】
y
＝
x
＋1
2．已知
a
∈R，设函数
f
(
x
)＝
ax
－ln
x
的图象在点(1，
f
(1))处的切线为
l
，则
l
在
y
轴上的截距 为________．
1
【解析】 ∵
f
′(
x
)＝a
－，∴
f
′(1)＝
a
－1.
x
又∵f
(1)＝
a
，∴切线
l
的斜率为
a
－1，且 过点(1，
a
)，
∴切线
l
的方程为
y
－
a
＝(
a
－1)(
x
－1)．
令
x
＝ 0，得
y
＝1，故
l
在
y
轴上的截距为1.
【答案】 1
3．函数
f
(
x
)＝
x
x
－1
(
x
≥2)的最大值为________．
【解析】
f
′(
x
)＝
x
－1－
x
1
2
＝－
x
－1
x
－1
2
，
2
＝
2 －1
当
x
≥2时，
f
′(
x
)＜0，所以
f
(
x
)在[2，＋∞)上是减函数，故
f
(
x
)
max
＝
f
(2)＝
2.
【答案】 2
金戈铁制卷

-------------------------天才是百 分之一的灵感加百分之九十九的勤奋------------------------------

1
3
x
2
4．已知函数
f
(
x
)＝
x
－2
x
＋e－
x
，其中e是自然对数的底数 ．若
f
(
a
－1)＋
f
(2
a
)≤0，< br>e
则实数
a
的取值范围是________.
【导学号：95902261】
【解析】 因为
f
(－
x
)＝(－
x
)－2(－
x
)＋e－
1
3
x
＝－
x
＋2
x
－e＋
x
＝－
f
(
x
)，
e
1
3
x
所以
f
(
x< br>)＝
x
－2
x
＋e－
x
是奇函数．
e因为
f
(
a
－1)＋
f
(2
a
)≤0 ，
所以
f
(2
a
)≤－
f
(
a
－1)，即
f
(2
a
)≤
f
(1－
a
)．
因为
f
′(
x
)＝3
x
－2＋e＋e≥3
x
－2＋2e·e＝3
x
≥0，
所以
f
(
x
)在R上单调递增，
所以2
a
≤1－
a
，即2
a
＋
a
－1≤0，
1
所以－1≤
a
≤.
2
1
??
－1，
【答案】
??

2??
5．已知函数
f
(
x
)＝
x
＋
a x
＋
bx
＋1(
a
>0，
b
∈R)有极值，且导函 数
f
′(
x
)的极值点是
32
22
2
22
2
3－
x
1
－
x

e
x
－
x
2
x
－
x
2
f
(
x
)的零点．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)
(1)求
b
关于
a
的函数关系式，并写出定义域；
(2)证明：
b
>3
a
.
【解】 (1)由
f< br>(
x
)＝
x
＋
ax
＋
bx
＋1，得
32
2
a
?
f
′(
x
)＝3
x< br>＋2
ax
＋
b
＝3
?
x
＋
?
＋
b
－.
3
?
3
?
2
a
?< br>2
2
当
x
＝－时，
f
′(
x
)有极 小值
b
－.
33
因为
f
′(
x
)的极值 点是
f
(
x
)的零点，
aa
2
aaab
?
a
?
所以
f
?
－
?
＝－＋－＋1＝0.
2793
?
3
?
2
a
3
又
a>0，故
b
＝＋.
9
a
因为
f
(
x
)有极值，故
f
′(
x
)＝0有实根，
1
3从而
b
－＝(27－
a
)≤0，即
a
≥3.
39
a
当
a
＝3时，
f
′(
x
)>0(< br>x
≠－1)，
金戈铁制卷
33
2
a
2