高中数学拓展性课程-高中数学逆否命题知识点总结
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------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点----------
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3.2数学证明（北京师大版选修1-2）
建议用时
45分钟
一、 选择题（每小题8分，共24分）
x
1.
设
a
＝l
g2＋lg5，
b
＝e(
x
＜0)，则
a
与
b的大小
实际用时
满分
100分
实际得分
关系为( )
A．
a
＞
b
C．
a
＝
b
其中能推出：“
a
，<
br>b
中至少有一个大于1”的条件
是______．(填序号)
6.
设
a?0，b?0，c?0
，若
a?b?c?1
，则
B．
a<
br>＜
b
D．
a
≤
b
π
2
.
若
0?
?
?
?
?
，
sin
?<
br>?cos
?
?a
4
sin
?
?cos
??b
，则（ ）
，
111
??
≥
． abc
7．
不共面的三条直线
a，b，c
相交于
P，A?a，B
?a，C?b，D?c
，则直线
AD
与
BC
的位置关系是 ．
三、解答题（共48分）
8.（10分）
在△
ABC
中，三个内角
A
、
B
、
C
的对边
Ａ．
a?b
Ｂ．
a?b
Ｃ．
ab?1
Ｄ．
ab?2
3.设
a，b，c
都是正数，则三个数
111
a?，b?，c?（ ）
bca
Ａ．都大于2
Ｂ．至少有一个大于2
Ｃ．至少有一个不小于2
Ｄ．至少有一个不大于2
二、
填空题（每小题7分，共28分）
4.
已知点
A
n
(
n<
br>，
a
n
)为函数
y
＝
x
＋1图象上的点，<
br>2
113
＋＝，试问
A
，
a
＋
bb
＋
ca
＋
b
＋
c
B
，
C
是否成等
差数列?若不成等差数列，请说明理
由；若成等差数列，请给出证明．
分别为
a
、
b
、
c
，若
9.（10分）
已知函数
f
(
x
)＝log2
(
x
＋2)，
a
，
b
，
c
B
n
(
n
，
b
n
)为函数
y
＝<
br>x
图象上的点，其中
n
∈N
*
，设
c
n＝
a
n
－
b
n
，则
c
n
与<
br>c
n
＋1
的大小关系为________．
5.
设
a
，
b
是两个实数，给出下列条件：
22
①
a
＋
b
>1；②
a
＋
b
＝2；
③
a
＋
b
>2；④
a
＋
b
>2；
⑤
ab
>1.
信达
是两两不相等的正数，且
a
，
b
，
c
成等比数列，试
判断
f
(
a)＋
f
(
c
)与2
f
(
b
)的大小关
系，并证明你的
结论．
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------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点----------------------
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信达
-----------------
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奋斗没有终点任何时候都是一个起点----------------------------------
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10.（10分
）
已知
a，b，c?R
?
，且
a?b?c?1
，求
?
1
??
1
??
1
?
证：
?
?1
??
?1
??
?1
?
≥
8
.
?
a
??
b
??
c
?
11.（10分）
设函数
f(x)
对任意<
br>x，y?R
，都有
（2）证明：
f(x)
在
R
上是减函数．
12.（8分）设
k
∈Ｒ，当
k
变化时，（2
k
－１）
x
－（
k＋3）
y
－（
k
－1）＝0有什么不变的性质？
信达
f(x?
y)?f(x)?f(y)
，且
x?0
时，
f(x)?0
．
（1）证明：
f(x)
是奇函数；
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---奋斗没有终点任何时候都是一个起点-------------------------------
----------------------
信达
----------------------
---------------------------------------------奋斗没有终
点任何时候都是一个起点---------------------------------------
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3.2数学证明（北京师大版选修1-2）
答题纸
得分：
一、 选择题
题号 1
答案
二、填空题
2
3
4． 5． 6．
7．
三、解答题
8.
9.
信达
<
br>-----------------------------------------------
--------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点--------------
---------------------------------------
10.
11.
12.
信达
----------------------
---------------------------------------------奋斗没有终
点任何时候都是一个起点---------------------------------------
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3.2数学证明（北京师大版选修1-2）
参考答案
一、选择题
1.
A
2.A3.C
二、填空题
4.
c
n＋1
<
c
n
5.③6.97.
异面
三、解答题
8.解：
A
、
B
、
C
成等差数列．
证明如下：
113
∵＋＝，
a
＋
bb
＋
ca
＋
b
＋
c
a
＋
b
＋
ca<
br>＋
b
＋
c
∴＋＝3.
a
＋
bb
＋
c
a
＋
bb
＋
c
∴
c
(
b
＋
c
)＋
a
(
a
＋
b
)＝(<
br>a
＋
b
)(
b
＋
c
)，
222<
br>∴
b
＝
a
＋
c
－
ac
.
在△
ABC
中，由余弦定理，得
a
2
＋
c
2
－
b
2
ac
1
cos
B
＝＝＝. <
br>2
ac
2
ac
2
∵0°<
B
<180°，∴
B
＝60°.
∴
A
＋
C
＝2
B
＝120°.
∴
A
、
B
、
C
成等差数列．
9.解：<
br>f
(
a
)＋
f
(
c
)>2
f
(
b
)．
证明如下：因为
a
，
b
，
c
是两两不相等的正数，
所以
a
＋
c
>2
ac
.
22
因
为
b
＝
ac
，所以
ac
＋2(
a
＋
c
)>
b
＋4
b
.
2
即
ac
＋2(
a
＋
c
)＋4>
b
＋4
b
＋4.
2
从而(
a
＋2)(
c
＋2)>(
b
＋2
).
因为
f
(
x
)＝log
2
x
是增函数，
2
所以log
2
(
a
＋2)(
c
＋2)>
log
2
(
b
＋2).
即log
2
(
a
＋2)＋log
2
(
c
＋2)>2log
2
(b
＋2)．
故
f
(
a
)＋
f
(c
)>2
f
(
b
)．
10.证明：
∵
a，b，c?R
?
，且
a?b?c?1
，
1b?c
1a
?c1a?b
∴???1??0
，
?1??0
，
?1??0
，
aa
bbcc
?
1
??
1
??
1?
b?c
a?ca?b
∴??
?
?1
??
?1
??
?1
?
?
·
·
a
bc
?
a
??
b
??
c
?
2bc·2ac·2ab
?8
，
abc
当且仅当
a?b?c
时取等号，
∴
不等式成立．
11.
证明：（1）
∵
x，y?R
，
f(x?y)?f(x)?f(y)
，
∴
c
＋
a
＝1，
≥
信达
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------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点----------------
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f(0)?0
.
∴
令
x?y?0
，
f(0)?f(0)?f(0)
，
∴
令
y??x
，代入
f
(x?y)?f(x)?f(y)
，
得
f(0)?f(x)?f(?x)
，
而
f(0)?0
，
∴
f(?x)??f(x)
(x?R)
，
∴ f(x)
是奇函数.
（2）任取
x
1
，x
2
?R
，且
x
1?x
2
，则
?x?x
2
?x
1
?0
，
∴ ?f(?x)?f(x
2
?x
1
)?0
．
又
f(x
2
?x
1
)?f(x
2
)?f(?x
1
)
，
且f(x)
为奇函数，
∴??f(?x
1
)??f(x
1
)
，
∴??f(x
2
?x
1<
br>)?f(x
2
)?f(x
1
)?0
，即
f(x
2
)?f(x
1
)?0
，
∴??f(x)
在
R
上是减函数．
12.解：（归纳的方案）
当
k
＝１时，方程为
x
－4
y
＝０；
当
k
＝２时，方程为3
x
－5
y
－1＝０，联立解得，
x
＝，
y
＝；
当
k
＝３时，方程为５
x
－６
y
－２＝０，经过点
（
，
）
．
故猜想（２
k
－１）
x
－（
k
＋３）
y
－（
k
－１）＝０恒过定点
（
，
）
．
信达