人教a版数学【选修1-1】作业：3.2.1-3.2.2(含答案)

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§3.2导数的计算
3.2.1 几个常用函数的导数
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)

课时目标
1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x
2
，
1
y＝的导数.2.能利 用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．
x

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1．函数y＝f(x)＝c的导数为____ ________，它表示函数y＝c图象上每一点处，切线的
斜率为0.若y＝c表示路程关于时间的 函数，则y′＝0可以解释为某物体的____________
始终为0，即一直处于_______ _状态．函数y＝f(x)＝x的导数为__________，它表示函数y
＝x图象上每一点处切线 的斜率为1.若y＝x表示路程关于时间的函数，则y′＝1可以解释
为某物体做__________ __为1的______________运动．
2．常见基本初等函数的导数公式：
(1)若f(x)＝c(c为常数)，则f′(x)＝______；
(2)若f(x)＝x
α
(α∈Q
*
)，则f′(x)＝________；
(3)若f(x)＝sin x，则f′(x)＝________；
(4)若f(x)＝cos x，则f′(x)＝________；
(5)若f(x)＝a
x
，则f′(x)＝________ (a>0)；
(6)若f(x)＝e
x
，则f′(x)＝________；
(7)若f(x)＝log
a
x，则f′(x)＝________ (a>0，且a≠1)；
(8)若f(x)＝ln x，则f′(x)＝________.
一、选择题
1．下列结论不正确的是( )
A．若y＝3，则y′＝0
11
B．若y＝，则y′＝－x
2
x
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1
C．若y＝－x，则y′＝－
2x
D．若y＝3x，则y′＝3
π
π
12
sin
?
′＝cos ；③若y＝
2
，则y′|
x
＝
3< br>＝－.2．下列结论：①(cos x)′＝sin x；②
?
?
3
?
3x27
其中正确的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．已知直线y＝kx是曲线y＝e
x
的切线，则实数k的值为( )
11
A. B．－ C．－e D．e
ee
4．正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范
围是( )
π3π
0，
?
∪
?
，π
?
B．[0，π) A．
?
?
4
??
4
?
π3π?
ππ3π
，
D．
?
0，
?
∪
?
，
?
C．
?
?
44
??
4
??
24
?
5．已知曲线y ＝x
3
在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为( )
A．(－2，－8) B．(－1，－1)或(1,1)
11
－，－
?
C．(2,8) D．
?
8
??
2
5
6．质点沿直线运动的路程s与时间t的 关系是s＝t，则质点在t＝4时的速度为( )
11
A． B．
55
22
3
102
3
2
5
1
5
3
C．2
3
D．2
510
题 号 1 2 3 4 5 6
答 案

二、填空题
π
3
7．曲线y＝cos x在点A
?
，?
处的切线方程为__________________________．
?
62
?
8．已知f(x)＝x
a
，a∈Q，若f′(－1)＝－4，则a＝
______________________________________________ __________________________.
9．若函数y＝f(x)满足f(x－1 )＝1－2x＋x
2
，则y′＝f′(x)＝________.
三、解答题
10．求下列函数的导数：
1
5
(1)y＝x
12
；(2 )y＝
4
；(3)y＝x
3
；(4)y＝10
x
.
x





11．求过点(2,0)且与曲线y＝x
3
相切的直线方程．








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能力提升
12．设曲线y＝xx轴的交点的横坐 标为x
n
，令a
n
＝lg x
n
，
则a
1
＋a
2
＋…＋a
99
的值为________．
13．求过曲线y＝e
x
上点P(1，e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程．





n
＋
1
(n∈N
*
)在点(1,1)处的切线与

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1．准确记忆八个公式是求函数导数的前提．
2．求函数的导数，要恰当选择公式，保证求导过程中变形的等价性．
3．对于一些应用问题如切线、速度等，可以结合导数的几何意义，利用公式进行计算．




§3.2 导数的计算
3．2.1 几个常用函数的导数
3．2.2 基本初等函数的导数公式及
导数的运算法则(一)
知识梳理
1．y′＝0 瞬时速度 静止 y′＝1 瞬时速度 匀速直线
－
2．(1)0 (2)αx
α
1
(3)cos x (4)－sin x
11
(5)a
x
ln a (6)e
x
(7) (8)
xln ax
作业设计
1
1131
1．B [y′＝
??
′＝(x－)′＝－x－
＝－
.]
222
?
x
?
2xx
2．B [直接利用导数公式．
因为(cos x)′＝－sin x，所以①错误；
π
3
3
sin
＝，而
??
′＝0，所以②错误；
32
?
2
?
?
1
2
?
′＝(x< br>－
2
)′＝－2x
－
3
，则y′|
x＝3
＝ －
2
，
?
x
?
27
所以③正确．]
3．D [设切点为(x
0
，y
0
)．由y′＝e
x
，
得y′|x＝x
0
＝ex
0
，
∴过切点的切线为y－ex
0
＝ex
0
(x－x
0
)，
即y＝ex
0
x＋(1－x
0
)ex
0
，又y＝kx是切线，
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??
?
k＝ex
0
，
?
x
0
＝1，
∴
?
∴
?
]
?1－x?ex＝0，k＝e.
?
00
?
??
4．A [∵y′＝cos x，而cos x∈[－1,1]．
∴直线l的斜率的范围是[－1,1]，
π
3
0，
?
∪
?
π，π
?
.]
∴直线l倾斜角的范围是
?
?
4
??
4
?
5．B [y′＝3x
2
，∵k＝3，
∴3x
2
＝3，∴x＝±1，
则P点坐标为(－1，－1)或(1,1)．]
14
6．B [s′＝t－.
55
111
当t＝4时，s′＝
·
＝
.]
555
4
4
102
3
π
7．x＋2y－3－＝0
6
解析 ∵y′＝(cos x)′＝－sin x，
ππ
1
∴y′|x＝＝－sin ＝－，
662
π
31
x－
?
， ∴在点A处的切线方程为y－＝－
?
22
?
6
?
π
即x＋2y－3－＝0.
6
8．4
解析 ∵f′(x)＝ax
a
－
1
，
∴f′(－1)＝a(－1)
a
－
1
＝－4，∴a＝4.
9．2x
解析 ∵f(x－1)＝1－2x＋x
2
＝(x－1)
2
，
∴f(x)＝x
2
，f′(x)＝2x.
10．解 (1)y′＝(x
12
)′＝12x
11
.
1
?
4
－
4
)′＝－4x
－
5
＝－
. (2)y′＝< br>?
′＝(x
?
x
4
?
x
5
3323
5
(3)y′＝(x
3
)′＝(x)′＝x－
＝
.
555
5
5x
2
(4)y′＝(10
x
)′＝10
x
ln 10.
11．解 点(2,0)不在曲线y＝x
3
上，可令切点 坐标为(x
0
，x
3
0
)．由题意，所求直线方程的
x3
0
－0
x
3
0
2
斜率k＝＝y′|x＝x< br>0
＝3x
0
，即
＝3x
2
0
，解得x
0
＝0或x
0
＝3.
x
0
－2x
0
－ 2
当x
0
＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k＝0，则所求直线方程是y＝0；
当x
0
＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k＝27，则所求直线方程是y－2 7＝27(x－3)，
即27x－y－54＝0.
综上，所求的直线方程为y＝0或27x－y－54＝0.
12．－2
解析 y′ ＝(n＋1)x
n
，曲线在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y ＝0，
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n
得x＝.
n＋1
n
a
n
＝lg x
n
＝lg＝lg n－lg(n＋1)，
n＋1
则a
1
＋a
2
＋…＋a
99
＝lg 1－lg 2＋lg 2－lg 3＋…＋lg 99－lg 100＝－lg 100＝－2.
13．解 ∵y′＝e
x
，∴曲线在点P(1，e)处的切线斜率是y′|
x＝1
＝e，
1
∴过点P且与切线垂直的直线的斜率k＝－，
e
1
∴所求直线方程为y－e＝－
(x－1)，
e
即x＋ey－e
2
－1＝0.

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