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第二章 圆锥曲线与方程
一、曲线与方程的定义：
设曲线C，方程F
?
x,y
?
=0，满足以下两个条件：
①曲线C上?一点的坐标
?
x,y
?
满足F
?
x,
y
?
=0；
②方程F
?
x,y
?
=0?
解
?
x,y
?
都在曲线C上.
则曲线C称是方
程F
?
x,y
?
=0的曲线，方程F
?
x,y
?<
br>=0是曲线C的方程.
二、求曲线方程的两种类型：
1、已知曲线求方程；
?
用待定系数法
?
2、未知曲线求
方程
①设动点
?
x,y
?
;
②建立等量关系；
③用
含x,y的式子代替等量关系；
④化简；
?
别出现不等价情况
?
⑤证
明；
?
高中不要求
?
椭圆
一、椭圆及其标准方程
1、画法 2、定义：
?
PPF
1
?PF
2
?2a,F
1
F
2
?2a
?
3、方程
x
2
y
2
①
2
?
2
?1
?
a?b?0
?
ab
或
y
2
x
2
②
2
?
2
?1
?
a?b?0
?
ab
x
2
y
2
二、几何性质：
2
+
2
?1
?
a?b?0
?
ab
1、范围：x?a,y?b.
2、对称性：关于x、y、原点O对称.
3、顶点A
1
?
?a,0
?
,A
2
?
a,0
?
,B1
?
0,b
?
,B
2
?
0,?b
?<
br>.
4、a,b,c之间的关系：a
2
?b
2
?c
2
cb
2
5、离心率：e??1?
2
?
0?e?1
?
aa
1
e?0越圆,e?越扁
扩展：
x
2
y
2
x
2
y
2
①与椭圆
2
+
2
=1有相同焦点的椭圆方程为
2
+
2
=1
?
m?b
2
?
aba?mb?m
x
2
y
2
y
2
x
2
②有相同
离心率的椭圆为
2
?
2
?1
?
k?0
?
或
2
?
2
?1
?
k?0
?
kakbkakb
③椭圆上的点到焦点的最小距离是a?c，最大距离是a?c.
④P为椭圆上一动点，当点P为短轴端点时，?F
1
PF<
br>2
最大.
⑤AB为过焦点F的弦，则?ABF
2
的周长为4a.
⑥直线y?kx?b与圆锥曲线相交于A
?
x
1
,y
1
?<
br>,B
?
x
2
,y
2
?
两点，则当直线的斜率
存在时，弦长l为:
l?1?k
2
x
1
?x
2
?
2
2
?
1?kx?x
??
??
?
12
?4x
1
x
2
?
?
或当k存在且不为0时，l?1?<
br>11
2
?
y?y?1??y?y?4y
1
y
2
?
??
1212
22
??
kk
⑥当
椭圆的焦点位置不确定时，可设椭圆的方程为Ax
2
?By
2
?1
?
A?0,B?0
?
.
双曲线
一、双曲线及其标准方程
1、画法
2、定义：
?
PPF
1
?PF
2
?2a,F
1
F
2
?2a
?<
br>
3、方程：
x
2
y
2
①
2?
2
?1
?
a,b?0
?
ab
或
y<
br>2
x
2
②
2
?
2
?1
?
a
,b?0
?
ab
x
2
y
2
二、几何性质：
2
?
2
?1
?
a,b?
0
?
ab
1、范围：x?a,y?R
2、对称性：关于x轴、y轴、原点O对称.
3、顶点：A
1
?<
br>?a,0
?
,A
2
?
a,0
?
实轴A
1
A
2
=2a，虚轴B
1
B
2
?2b.
4、a、b、c之间的关系：c
2
?a
2
?b
2
.
cb
2
5、离心率:e??1?
2
?
e?1?
aa
e越大，开口越阔
b
?
y
2
x
2
a
?
6、渐近线：y??x
?
2
?
2
?1的渐近线为y??x
?
a
?
abb
?
x
2
y
2
x
2
y
2
说明：
2<
br>?
2
?1与
2
?
2
?m
?
m?0<
br>?
有相同离心率.
abab
抛物线
一、抛物线及其标准方程
?PF?
1、定义：P且F?l
??
d
P?l
??
2、标准方程及几何性质
标准方程
y
2
?2px
?
p?0
?
y
2
??2px
?
p?0
?
x
2
?2py
?
p?0
?
x
2
??2py
?
p?0
?
简图
焦点
?
p
?
?
,0
?
?
2
?
x??
p
2
?
p
?
?
?,0<
br>?
?
2
?
x?
p
2
?
p
?
?
0、
?
?
2
?
y??
p
2
p
??
0、?
??
2
?
?
y?
p
2
准线
范围
对称性
顶点
离心率
x?0
x?0
y?0
y?0
x轴
y轴
?
0,0
?
e?1
说明：①P越大，开口越阔.
②抛物线无限向外延展，但它无渐进线.
扩展：
1、设Q点分别位于抛物线开口以内，抛物线上，以及开口以外，问过Q点且
和抛物线只有一个交点的直线有几条？
答：①当Q位于抛物线开口以内，1个交点的直线只有
一条
?
主轴或其平行线
?
.
1个交点的直线有两条，即主轴或其平行线，和切线.
②当Q位于抛物线上，
1个交点的直线有3条，分别是主轴或其平行线，两条切线.
③当Q位于抛物线外，
2、过焦点的弦长
如图，AB?AF?BF
?
p<
br>??
p
?
?
?
?x
A
?
?
?
?x
B
?
?
2
??
2
?
?p?
?
x
A
?x
B
?