数学北师大版选修1-1 第三章3 计算导数 作业1

[基础达标]
1
1.已知函数f(x)＝
2
||，则f′(2)＝( )
x
A．4
C．－4
1
B.
4
1
D．－
4
1
解析：选D.f(x)＝x
－< br>2
||，f′(x)＝－2x
－
3
||，f′(2)＝－2×2
－
3
＝－2
－
2
＝－
.
4
2.已知函数f(x)＝cos x||，f′(x)＝－1||，则x＝( )
ππ
A. B．－
22
ππ
C.
＋2kπ||，k∈Z D．－＋2kπ||，k∈Z
22
解析：选C.f′(x)＝－sin x||，则sin x＝1||，
π
∴x＝＋2kπ||，k∈Z.
2
3.
曲线y＝x
n< br>(n∈N
＋
)在x＝2处的导数为12||，则n等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.∵y′＝nx
n
－
1< br>||，∴函数y＝x
n
(x∈N
＋
)在x＝2处的导数为n·2
n
－
1
＝12||，∴n
＝3.
4.
已知f(x)＝ln x||，则f(1)＋f′(1)＝( )
A．1 B．－2
C．0 D．2
1
解析：选A.f(1)＝ln 1＝0||，f′(x)＝
||，f′(1)＝1||，
x
∴f(1)＋f′(1)＝0＋1＝1.
5.
若对任意x∈R||，f′ (x)＝4x
3
||，f(1)＝－1||，则f(x)＝( )
A．x
4
B．x
4
－2
C．4x
3
－5 D．x
4
＋2
解析：选B.设f( x)＝x
n
＋c||，则f′(x)＝nx
n
－
1
＝4x< br>3
||，∴n＝4||，∴f(1)＝1＋c＝－1||，∴c
＝－2||，故f(x) ＝x
4
－2.
6.
设正弦曲线y＝cos x上一点P||，以点P为切点的切线为直线l||，则直线l的倾斜角的
范围是________．
解析：k
l
＝(cos x)′＝－sin x∈[－1||，1]||，又倾斜角范 围是[0||，π)||，∴倾斜角范围是[0||，
π
3π
]∪[||，π)．
44
π
3π
答案：[0||，
]∪[||，π)
447.
若指数函数f(x)＝a
x
(a＞0||，a≠1)满足f′(1)＝ln 27||，则f′(－1)＝________．
ln 3
解析：f′(x)＝a
x
ln a||，f′(1)＝aln a＝3ln 3||，∴a＝3||，故f′(－1)＝3
－
1
ln 3＝.
3
ln 3
答案：

3
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8.已知f(x)＝x
2
||，g(x)＝ln x||，若f′(x)－g′(x)＝1||，则x＝________．
111
解析：f′ (x)＝2x||，g′(x)＝
||，由题意2x－
＝1||，即2x
2
－ x－1＝0||，∴x＝1或x＝－
(舍)．
xx2
答案：1
1
9.求曲线y＝
与抛物线y＝x的交点坐标||，并分别求在交点处的两曲线的切线的斜率．
x
1
?
?
y＝
x
1
解：由
?
|| ，得
＝x||，∴x
3
＝1||，
x
?
?
y＝x
∴x＝1||，∴y＝1||，∴两曲线的交点坐标为(1||，1)．
1
由y＝< br>||，得y′＝(x
－
1
)′＝－x
－
2
||， < br>x
∴该曲线在点(1||，1)处的切线的斜率k
1
＝y′|
x
＝
1
＝－1.
1
11
又由y＝x||，得y′＝(x
2
)′＝
x－||，
22
1
∴该曲线在点(1||，1)处的切线的斜率k
2
＝y′|< br>x
＝
1
＝.
2
10.若曲线f(x)＝acos x与曲线 g(x)＝x
2
＋bx＋1在交点(0||，m)处有公切线||，求a－b的
值．
解：依题意得：f′(x)＝－asin x||，
g′(x)＝2x＋b||，于是有f′(0)＝g′(0)||，
即－asin 0＝2×0＋b||，∴b＝0.
m＝f(0)＝g(0)＝1||，即m＝a＝1||，因此a－b＝1.
[能力提升]
1.
设f
0
(x)＝sin x||，f
1
(x)＝f′< br>0
(x)||，f
2
(x)＝f′
1
(x)||，…||，f
n
＋
1
(x)＝f′
n
(x)||，n∈N||，则f2 014
(x)
等于( )
A．sin x B．－sin x
C．cos x D．－cos x
解析：选B.f
0
(x)＝sin x||，f
1
(x)＝f′
0
(x)＝cos x||，
f
2
(x)＝f′
1
(x)＝－sin x||，f
3
(x)＝f′
2
(x)＝－cos x.
f
4
(x)＝f′
3
(x)＝sin x.
∴f
2 014
(x)＝f
2
(x)＝－sin x.
x>0，
?
ln x，
2.设函数f(x)＝
?
D是由x轴 和曲线y＝f(x)及该曲线在点(1||，0)处的切
?
－2x－1，
x≤0，线所围成的封闭区域||，则z＝x－2y在D上的最大值为________．
解析：f(x) 在(1||，0)处的切线方程为y＝x－1||，如图||，可行域为阴影部分||，易求出目
标函数 z＝x－2y的最优解(0||，－1)||，即z的最大值为2.
答案：2
3.已知直线 x－2y－4＝0与抛物线y
2
＝x相交于A、B两点||，O是坐标原点||，试在抛物︵
线的弧AOB上求一点P||，使△ABP的面积最大．
解：
设P(x0
||，y
0
)||，过点P与AB平行的直线为l||，如图．由于直线x－2 y－4＝0与抛物线
y
2
＝x相交于A、B两点||，所以|AB|为定值||，要使 △ABP的面积最大||，只要P到AB的距离

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︵< br>最大||，而P点是抛物线的弧AOB上的一点||，因此点P是抛物线上平行于直线AB的切线的
11
切点||，由图知点P在x轴上方||，y＝x||，y′＝
||，由题意知k
AB
＝.
2
2x
11
∴k
l
＝
＝
||，即x
0
＝1||，∴y
0
＝1.∴P(1||，1)．
2x
0
2
4．讨论关于x的方程ln x＝kx的解的个数．
解：如图||，方程ln x＝kx的解的个数就是直线y＝kx与曲线y＝ln x的交点的个数．
设直线y＝kx与y＝ln x相切于P(x
0
||，ln x
0
)||，则kx
0
＝ln x
0
.
11
∵(ln x)′＝
||，∴k＝||，kx
0
＝1＝ln x
0
.
xx
0
1
∴x
0
＝e||，k＝.
e
1
结合图像可知：当k≤0或k＝时||，方程ln x＝kx有一解．
e
1
当0e
1
当k>时||，方程ln x＝kx无解．
e
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