高中数学文科高考试题-支教高中数学导师引领 总结
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第三章 导数及其应用
一、变化率与导数
1、定义：设
y?f
?
x
?
在x?x
0
处取得一个增量?x
?<
br>?x?0
?
.
?y
为从x
0
到x
0
??x
?x
的平均变化率.若当时?x?0时，有极限存在，
函数值也得到一个增量?
y,称
则称此极限值为函数y在x?x
0
处的瞬时变化率，
记为lim
f
?
x
0
??x
?
?f
?
x
0
?
?y
?lim，也称为函
?x?0
?x
?x?0
?x
f
?
x
0
??x
?
?f
?
x
0
?
.
?x
数y在x?x
0
处的导数，记作f＇
?
x
0
?
或y
＇
x?x
0
,
即f
＇
?
x
0
?
?lim
?x?0
说明：导数即为函数y?f
?
x
?
在x
?x
0
处的瞬时变化率.
2、几何意义:?x?0时
，Q沿f
?
x
?
图像无限趋近于点P时，切线PT的斜率.
即f＇
?
x
0
?
?k
PT
.
3、导函数（简称为导数）
y?f
＇
?
x
?
称为导
函数，记作y
＇
，即f
＇
?
x
?
=y
＇<
br>=lim
f
?
x??x
?
?f
?
x
?
?y
?lim.
?x?0
?x
?x?0
?x
二、常见函数的导数公式
1若
f(x)?c
(c为常数)，则
f<
br>?
(x)?0
；
?
?
?1
2
若
f(x)?x
,则
f
?
(x)?
?
x
;
3
若
f(x)?sinx
,则
f
?
(x)?cosx
4
若
f(x)?cosx
,则
f
?
(x)??sinx
;
xx
5
若
f(x)?a
,则
f
?
(x)?alna
xx
6
若
f(x)?e
,则
f
?
(x)?e
x
7 若
f(x)?log
a
,则
f
?
(
x)?
1
xlna
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8
若
f(x)?lnx
,则
f
?
(x)?
1
x
三、导数的运算法则
1.
[f(x)?g(x)]
?
?f
?
(x)?g
?
(x)
2.
[f(x)?
g(x)]
?
?f
?
(x)?g(x)?f(x)?g
?
(
x)
3.
[
f(x)f
?
(x)?g(x)?f(x)
?g
?
(x)
]
?
?
g(x)[g(x)]
2
四、复合函数求导
y?f(u)
和
u?g(x)
,称则
y
可以表示成为
x
的函数,即
y?f(g(x))
为
一个复合函数，则
y
?
?f
?
(g(x))?g
?
(x)
五、导数在研究函数中的应用
1.函数的单调性与导数:
（1）在某个
区间
(a,b)
内，如果
f
?
(x)?0
，那么函数
y?f(x)
在这个区间单调递增；
如果
f
?
(x)?0
，那么函数
y?f(x)
在这个区间单调递减.
说明：①若f
?
x
?
在定义域区间上不是单调的，则常常用f
＇
?
x
?
=0的点划分f
?
x
?
的单调
区间.
②若f
＇
?
x
?
在某个区间恒有f
＇
?
x
?
?0，则f
?
x
?
是常函数；若f
＇
?
x
?
在某个区间内只有有
限个点使f
＇
?<
br>x
?
?0，其余恒有f
＇
?
x
?
?0,则f
?
x
?
仍为增函数.
例如：f
?
x
??x
3
在R上有f
＇
?
0
?
?0，其余恒有f
＇
?
x
?
?0,，f
?
x
?
?x
3
仍为R上的增函数，
其函数图像为：
（2）求单调区间的步骤：
①求f
?
x
?
的定义
域；
②求导f
＇
?
x
?
；
③令f
＇
?
x
?
?0，解集在定义域内的部分为增区间.
④令f
＇
?
x
?
?0，解集在定义域内的部分为减区间.
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说明：当函数有多个递增区间或递减区间时，不能用“U”、“或”
相连，应该用“，”隔开或用“和”.
（3）一种常见的题型：
已知函数的单调性求参数的取值范围，利用
“
若f
?
x
?
单调递增，则f
＇
?
x
?
?
0
；若f
?<
br>x
?
单调递减，
则f
＇
?
x
?
?0
?来求解，注意等号不能省略，否则可能漏解！
2.函数的极值与导数
（1）极大、极小值得定义：
①若对x
0
附近的所有的点，都有f
?
x
?
?f<
br>?
x
0
?
且f
?
x
0
?
=
0，则称f
?
x
0
?
是函数f
?
x
?的一个极
大值.称x
0
是极大值点.
<
br>②若对x
0
附近的所有的点，都有f
?
x
?
?f?
x
0
?
且f
?
x
0
?
=0
，则称f
?
x
0
?
是函数f
?
x
?
的一个极
小值.称x
0
是极小值点.
说明：极大值与极小值统称为极值，极大值与极小值点统称为极值点，极值点是实数而不是点.
（2）求函数的极值的步骤：
①确定定义区间，求导f
＇
?x
?
；
②求方程f
＇
?
x
?
=0的解
x
0
；
③检查x
0
左右两边f
＇
?
x?
的符号：
I、如果在x
0
附近的左侧f
＇
?
x
?
?0,右侧f
＇
?
x
?
?0,那么f
?
x
0
?
是极大值;
II、如果在x
0
附近的左侧
f
＇
?
x
?
?0,右侧f
＇
?
x
?
?0,那么f
?
x
0
?
是极小值;
III、如果
在x
0
左右两侧导函数不改变符号，那么f
?
x
?
在x0
处无极值.
说明：在解答过程中通常用列表：
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3、函数的最值与导数
求函数
y?f(x)
在
[a,b]
上的最大值与最小值的步骤
①求函数
y?f(x)
在
(a,b)
内的极值；
②将函数
y?f(x)
的各极值与端点处的函数值
f(a)
，
f(b)
比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.
说明：“最值”是整体概念，“极值”是个局部概念.
4、生活中的优化问题
解决优化问题的基本思路：
扩展：常见的导函数构造函数型：
1、关系式为
“
加
”<
br>型
xx
??
efx?ef
?
1
?
f
?
x
?
?f
?
x
?
?0构造
?<
br>??
???
?
x
?
?f
?
x
??
?
?
2
?
xf
?
x
?
?f
?
x
?
?0
构造
?
?<
br>xf
?
x
?
?
?
?xf
?
x
?
?f
?
x
?
nnn?1n?1
??<
br>xfx?xfx?nxfx?xxf
?
3
?
xf
?<
br>x
?
?nf
?
x
?
?0构造
?
??
????
???
?
x
?
?nf
?
x
??
?
?
注意对x的符号进行讨论
?
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2、关系式为
“
减
”
型
?
1
?
f
?
x
?
?f
?
x
?
?0
?
fx
?
f
xe
x?fxe
x
f
x?fx
??
?
?
??
??
?
????
构造
?
x
x
2
?
?
e
x
?
2
?
e
?
e
?
??
xf
?
x
?
?f
?
x
?
?
f
?
x
?
?
?
2
?
xf
?
x
?
?f
?
x
?
?0构
造
??
?
x
2
?
x
?
x
n
f
?
x
?
?nx
n?1
f
?
x
?
xf
?
x
?
?nf
?
x
?
?
f
?
x
?
?
?
?
3
?
xf
?
x
?
?nf
?
x
?<
br>?0构造
?
n
?
?
n?1
n
2
xx
??
?
x
?
?
注意对x的符号进行讨论
?