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高中数学考试必备的知识点

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-22 08:16
tags:高中数学的知识点

学高中数学网站-高中数学竞赛 联赛 教学视频

2020年9月22日发(作者:郭廷以)


高中数学考试必备的知识点整理
温馨提示:在复习的同时,也要结合课本上的例题去复 习,重点是课本,而不是题目应
该怎样去做,所以在考前的一天必须回归课本复习,心中无公式,是解不 出任何题目来
的,只要心中有公式,中等的题目都可以解决。
必修一:
一、集合的运算:
交集:定义:由集合A和集合B中的公共元素组成的集合叫交集,记为
AIB

并集:定义:由属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫并集,记为 AUB
补集: 定义:在全集U中,由所有不属于集合A的元素组成的集合叫补集,记为C
U
A

二、指数与指数函数
1、幂的运算法则:

(1)
a
m

a

n
=
a

m + n
, (2)
a
m
?a
n
?a
m?n
, (3)(
a
m
)
n
=
a

m n
(4)(
ab
)
n
=
a

n
b
n

n
?
1
1< br>a
n
?
a
?
0
m
n
?n
m
m
a?a

(5)
??
?
n
(6)a = 1 ( a≠0) (7)
a?
n
(8)(9)
a?
m
n
a
b
b
??
a

2、根式的性质
?
a,a?0
(1)
(
n
a )
n
?a
.(2)当
n
为奇数时,
n
a
n
?a
; 当
n
为偶数时,
n
a
n
?|a|?
?
.
?
?a,a?0
5.指数式与对数式的互化:

log
a< br>N?b?a
b
?N
(a?0,a?1,N?0)
.

6、对数的运算法则:
(1)
a

b
= N <=> b = log
a
N (2)log
a
1 = 0 (3)log
a

a
=
1
(4)log
a

a

b
= b (5)
a

log
a
N
= N (6)log
a
(MN) = log
a
M
+ log
a
N
M
(7)log
a
() = log
a
M -log
a
N (8)log
a

N
b
= b log
a

N
(9)换底公式:
N
n
n
log
a

N
=
log
b
N

log
b
a
n
log
a
b
(
a?0
,且
a?1
,
m,n?0
,且
m?1
,
n?1
,

N?0
).
m
(10)推论 :
log
a
m
b
n
?
(11)log
a

N
=
1
(12)常用对数:lg N = log
10

N
(13)自然对数:ln A =
log
N
a
log
e
A
必修4:
1、特殊角的三角函数值
角α 0° 30° 45° 60° 90°
角α的
0

弧度数
180°
π

270° 360°


Sinα
Cosα
tanα
0
1
0





1



1
0
不存在
0
-1
0
-1
0
不存在
0
1
0
2、诱导公式:函数名不变,符号看象限(把α看成锐角)
公式一:Sin(α+2kπ)=Sinα 公式二:Sin(α+π)=-Sinα
Cos(α+2kπ)=Cosα Cos(α+π)=-Cosα
tan(α+2kπ)=tanα tan(α+π)=tanα
公式三:Sin(-α)=-Sinα 公式四:Sin(π-α)=Sinα
Cos(-α)= Cosα Cos(π-α)=-Cosα
tan(-α)=-tanα tan(π-α)=-tanα
ππ
公式五:Sin(-α)=Cosα 公式六:Sin(+α)=Cosα
22
ππ
Cos(-α)=Sinα Cos(+α)=-Sinα
22
3、两角和与角差的正弦、余弦和正切公式
①< br>sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
??cos
?
sin
?

sin(
?
?< br>?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?


cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?


tan(
?
?< br>?
)?
tan
?
?tan
?
tan
?
?tan
?

tan(
?
?
?
)?

1?tan
?< br>tan
?
1?tan
?
tan
?
4.二倍角的正弦、 余弦和正切公式

sin2
?
?2sin
?
cos
?

cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?1?2sin
2
?
?2cos
?
2
?1

1?cos2
?
1?cos2
?
2tan
?
22< br> ④ ⑤⑥
sin
?
?cos
?
?
221?tan
2
?
1
sin
?
cos
?
?sin2
?

2
5、向量公式:

tan2
?
?

a

b
??
????
x
1< br>y
1
??(x
2
,y
2
?0)

a

b
?x
1
y
2
?x
2
,y1
?0

x
2
y
2

a?b?(a ?b)?a?2a?b?b?

cos
?
?
a?b
?
??
a?b
??
??
2
?
2
??
?2
?
2
a?2a?b?cos
?
?b

???
2
x
1
x
2
?y
1
y
2
x
1
?y
1
22
(求向量的夹角)
2
x
2
?y
2
2

a?b?a?b?0
⑥平面内两点间的距 离公式:设
a?(x,y),

????
?


?
2
a?x?y或a?x
2
?y
2

?
22
?
⑦平面内两点间的距离公式:
a?(x
1
?x
2
)?( y
1
?y
2
)

2222
高中数学必修5知识点归纳
第一章 解三角形
1、正弦定理: 在
???C
中,
a

b

c
分别为角?

?

C
的对边,
R

???C< br>的外接
abc
圆的半径,则有
???2R

sin?sin ?sinC
2、正弦定理的变形公式:①
a?2Rsin?

b?2Rsin ?

c?2RsinC

abc

sin??

sin??

sinC?
;③
a:b:c?sin?:sin?:s inC

2R2R2R
a?b?cabc
④.
???
s in??sin??sinCsin?sin?sinC
(正弦定理用来解决两类问题:1、已知两边和 其中一边所对的角,求其余的量。2、已
知两角和一边,求其余的量。)
⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。(一解、两解、无解三中情
况)
3、余弦定理:在
???C
中,有
a
2
?b
2?c
2
?2bccos?

b
2
?a
2
?c
2
?2accos?

c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC

b
2
?c
2
?a
2
a
2
?c
2
?b
2
a
2< br>?b
2
?c
2
4、余弦定理的推论:
cos??
,< br>cos??

cosC?

2bc2ac2ab
(余弦定理 解决的题型:1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角,求第三边和其
他两角.)
1 11
5、三角形面积公式:
S
???C
?bcsin??absinC?ac sin?

222
6、如何判断三角形的形状:设
a

b< br>、
c

???C
的角
?

?
C
的对边,则:①若
a
2
?b
2
?c
2
,则
C?90
o
;②若
a
2
?b
2
?c
2
,则
C?90
o
;③若
a
2
?b
2
?c
2
,则
C?90
o

附:三角形的五个“心”;
重心:三角形三条中线交点.
外心:三角形三边垂直平分线相交于一点.
内心:三角形三内角的平分线相交于一点.
垂心:三角形三边上的高相交于一点
7、(1)测量角度问题是指无法直接用量角器测量角度 的求解问题.在实际生活中,要测
量角的大小,求三角形中角度的大小,求不能直接测得的角,求轮船航 行时航速与航向
等问题均可结合正弦定理及余弦定理,通过解三角形求解.在解决与测量问题有关的题< br>目时,要搞清楚仰角、俯角、方位角与方向角的含义,合理的构造三角形求解,即把实
际问题数学 化.
(2)解三角形的应用题时,通常会遇到两种情况,如下:
①已知量与未知量全部集中在一个三角形中,依次利用正弦定理或余弦定理解之
②已知量与未 知量涉及两个或几个三角形,这时需要选择条件足够的三角形优先研究,


再逐步在其余的 三角形中求出问题的解.
第二章 数列
1、数列:按照一定顺序的一列数称为数列。
2、项:①首项:数列中每一项都和它的序号有关,排在第一位的数(a
1

②数列记为
?
a
n
}

a
1
、a
2
、a
3
?a
n
?

③通项:
a
n

?
s
1
?a
1
(n?1)
a?
4、已知
S
n

a
n
的公式:
n
?

s?s(n?2)
n?1
?
n
[注]: ①
a
n
?a
1
?
?
n?1
?
d?nd?
?
a
1
?d
?

d
可为零也可不为零→为等差数列充要条件 (即常
数列也是等差数列)→若
d
不为0,则是等差数列充分条件).
d< br>?
2
?
d
?
d
②等差{
a
n
}前
n
项和
S
n
?An
2
?Bn?
?< br>??
n?
?
a
1
?
?
n
→可以 为零也可不为零→为等差的
?
2
??
2
?
2
充要条 件→若
d
为零,则是等差数列的充分条件;若
d
不为零,则是等差数列的充分 条件.
③非零常数列既可为等比数列,也可为等差数列.(不是非零,即不可能有等比数列)
..
5、数列:按照一定顺序排列着的一列数.
6、数列的项:数列中的每一个数.
7、有穷数列:项数有限的数列.
8、无穷数列:项数无限的数列.
9、递增数列 :从第2项起,每一项都不小于它的前一项的数列(即:a
n+1
>a
n
).
10、递减数列:从第2项起,每一项都不大于它的前一项的数列(即:a
n+1
n
).
11、常数列:各项相等的数列(即:a
n+1
=a
n
).
12、摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列
13、 数列的通项公式:表示数列
?
a
n
?
的第
n
项与序 号
n
之间的关系的公式.
14、数列的递推公式:表示任一项
a
n
与它的前一项
a
n?1
(或前几项)间的关系的公

式.< br>a
n
?2a
n?1
?1(n>1

15、结论:n是奇数,2n是偶数,2n-1和2n+1是奇数。
等差数列
1、
等差数列
定义:一般地如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同
一个 常数。这个常数叫做等差数列的公差;
符号表示:
a
n?1
?a
n< br>?d

2、看数列是不是等差数列有以下三种方法:

a
n
?a
n?1
?d(n?2,d为常数)

②2
a
n
?a
n?1
?a
n?1
(
n?2
) ③
a
n
?kn?b
(
n,k
为常数 3、等差中项:由三个数
a

?

b
组成的等差数列可 以看成最简单的等差数列,则
?



a

b
的等差中项.若
b?
4、通项公式:若等差数列
a?c
,则称
b

a

c
的等差中项.
2
1
?a
n
?
的首项是
a
,公差是
d
,则
a ?a?
?
n?1
?
d

5、等差数列通项公式的变形:①
a
n
?a
m
?
?
n?m
?
d;②
a
1
?a
n
?
?
n?1
?
d

n1
a
n
?a
1

d?
n?1
a
n
?a
m
a
n
?a
1
? 1
;⑤
d?
;④
n?

n?m
d
?ap
?a
q
?a
p
?a
q

6、结论 :若
?
a
n
?
是等差数列,且
m?n?p?q
(< br>m

n

p

q??
*
),则a
m
?a
n

?
a
n
?
等差 数列,且
2n?p?q

n

p

q??
*
),则
2a
n
n
?
a
1
?a
n
?
n
?
n?1
?
S?
d
. 7、等差数列 的前
n
项和的公式:①
n
;②
S
n
?na
1
?
2
2

s
n
?a
1
?a2
?L?a
n

?n
?
a
n
?an?1
?
,且
S

a
?
n

S

a
n?1
*
8、等差数列的前
n
项和的性质 :①若项数为
2n
?
n??
*
?
,则
S
2 n
S

?S

?nd

S

n< br>②若项数为
2n?1
?
n??
?
,则
S
2n ?1
?
?
2n?1
?
a
n
,且
S

?S

?a
n
,(其中
?
S

n?1
S

?na
n

S

?
?
n?1
?
a
n
).
?
a
m
?0
9、在等差数列{
a
n
}中,有关S
n
的最值问题:(1 )当
a
1
>0,d<0时,满足
?
的项数
?
am?1
?0
?
a
m
?0
m使得
s
m< br>取最大值. (2)当
a
1
<0,d>0时,满足
?
的项数m 使得
s
m
取最小值。在解
a?0
?
m?1
含绝对值 的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
等比数列
1、如果一个数列从第
2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称
a
为等比数列,这个常数称 为等比数列的公比.符号表示:
n?1
?q
(注:①等比数列中不
a
n
会出现值为0的项;②同号位上的值同号)
注:看数列是不是等比数列有以下四种方法:
2
?a
n?1
?a
n?1
(
n?2
a
n
a
n?1
a
n?1
?0
) ①
a
n
?a
n?1
q(n?2,q为常数,且?0)


a
n

a
n
?cq
n
(
c,q
为非零常数). ④正数列{
a
n
}成等比的充要条件是数列{log
x
a
n
}(
n>1

成等比数列.
2、等比中项:在
a

b
中间插入一个数
G
,使
a

G

b
成等比数列,则
G
称为< br>a

b

等比中项.若
G
2
?ab
,则称
G

a

b
的等比中项.(注:由
G
2
?ab
不能得出
a

G

b
成等比, 由
a

G

b
?
G
2
?ab


3、通项公式:若等比数列
?
a
n
?
的首项是
a
1
,公比是
q
,则
a
n
?a
1
q
n?1

4、通项公式的变形:①
a
n
?a
m
q
n?m
;②
a
1
?a
n
q
?
?
n?1
?
;③
q
n?1
?
a
n
;④
a
1
q
n?m
?
a
n

a
m
5、性质:若
?
a
n
?
是等比数列,且
m?n?p?q

m

n

p
q??
*
),则
a
m
?a
n
?a< br>p
?a
q


?
a
n
?
是 等比数列,且
2n?p?q

n

p

q??*
),则
a
n
2
?a
p
?a
q

?
na
1
?
q?1
?
?
6、等比数列
?
a
n
?
的前
n
项和的公式:①
S
n
?
?
a
1
?
1?q
n
?
a? aq

1n
?
?
q?1
?
?
1?q1? q
?

s
n
?a
1
?a
2
?L? a
n

d
2
d
n?(a
1
?)n
利用二次
22
7、几种常见的数列的思想方法:
①等差数列的前
n
项和为
S
n
,在
d<0
时,有最大值. 如何确定使
Sn
取最大值时的
n
值,
有两种方法:一是求使
a
n?0,a
n?1
<0
,成立的
n
值;二是由
S
n
?
函数的性质求
n
的值.
②数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下:
数列 通项公式
对应函数

y?dx?b

d?C
时为一次函
等差数列

数)
等比数列
数列

前n项和公式

y?aq
x
(指数型函数)

对应函数
y?ax
2
?bx

a?0
时为二次函
等差数列

数)
等比数列

y?aq
x
?b
(指数型函数)

综合数列的知识点部分
1、判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法:(1)定义法:对于n≥2的任意自
a
然数,验证
a
n
?a
n?1
(
n
)
为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证
a
n?1


2
2a
n?1
?a
n
?a
n?2
(a
n? 1
?a
n
a
n?2
)n?N
都成立。
2、数列求和的常用方法
①公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
?
c
?
②裂项相消法:适用于
??
其中{
an
}是各项不为0的等差数列,c为常数;部分无
aa
?
nn?1
?
理数列、含阶乘的数列等。
③错位相减法:适用于
?
a
nb
n
?
其中{
a
n
}是等差数列,
?
b
n
?
是各项不为0的等比数列。
④倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法.
3、常用结论:
n(n?1)
①1+2+3+...+n = ②1+3+5+...+(2n-1) =
n
2

2
?1
?
1?2???n?
?
n(n?1)
?

?
2
?
1

1
2
?2
2
?3< br>2
???n
2
?n(n?1)(2n?1)
6
1111
?(?)

n(n?2)2nn?2
1111
?(?)(p?q)

pqq?ppq

333
2

111
??

n(n?1)nn?1
4、求通项的方法:①累 加法,如:
a
n?1
?a
n
?f(n)
②累乘法,如:< br>③构造法:如:
a
n?1
?Aa
n
?B?a
n?1< br>?
a
n?1
?f(n)

a
n
BB
?A(a
n
?)

A?1A?1
第三章 不等式
1、常见用语的符号表示:“不超过”:≤ “超过”:> “超不过”:<
2、比较大小的方法:
a?b?0?a?b
a?b?0?a?b

a?b?0?a?b
.(利用作
差法)
技巧:优先考虑加减,后考虑两边平方。
回顾:作差法的步骤:作差;变形;定正负;得出结论。
3、不等式的8条性质(利用生活上 的一些事情去记忆,例如两(三)人比谁有钱;比谁
高…):

a?b?b?a
;(两个的游戏)

a?b,b?c?a?c
;(第三个是中间人时)

a?b?a?c?b?c
;(C无需任何条件)(三个游戏)

a?b,c?0?ac?bc

a?b,c?0?ac?bc


a?b,c?d?a?c?b?d
;(四人游戏,大+大,小+小)

a?b?0,c?d?0?ac?bd
;(大×大,小×小)

a?b?0?a
n
?b
n
?
n??,n?1
?
;( 分身术)



a?b?0?
n
a?
n
b?
n??,n?1
?

关于等式的事实和性质是解决不等式问题的基本依据。
4、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是
2
的不等式.
5、一元二次不等式的求解:
特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论;
②一元二次不等式ax
2
+bx+c>0(a>0)解的讨论.


二次函数

a?0
)的图象



一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

无实根


R







对于a<0的不等式可以先把a化为正后用上表来做即可。
二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是
1
的不等式.
6、二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组.
7、二元一次不等式(组) 的解集:满足二元一次不等式组的
x

y
的取值构成有序数对
?x,y
?
,所有这样的有序数对
?
x,y
?
构成的集合 .
8、在平面直角坐标系中,已知直线
?x??y?C?0
,坐标平面内的点
?
?
x
0
,y
0
?

①若
? ?0

?x
0
??y
0
?C?0
,则点
?
?
x
0
,y
0
?
在直线
?x??y?C? 0
的上方.
②若
??0

?x
0
??y
0
?C?0
,则点
?
?
x
0
,y
0
?
在直线
?x??y?C?0
的下方.
9、线性规划:①、画直线(边界) ②虚、实线区别:虚线:>< 实线:≥≤
③分边:取特殊点(在线内外)检验
注意:直线未经过原点时,优先使用(0,0)判定;直线过原点则选择数轴上的点。
10、 线性约束条件:由
x

y
的不等式(或方程)组成的不等式组,是
x

y
的线性约束
条件。
目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量
x

y
的解析式。
线性目标函数:目标函数为
x

y
的一次解析式。


线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题。
可行解:满足线性约束条件的解
?
x,y
?

可行域:所有可行解组成的集合。
最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解。 a?b
11、设
a

b
是两个正数,则称为正数
a
b
的算术平均数,
ab
称为正数
a

b
2
几何平均数.
a?b
12、均值不等式定理: 若
a?0

b?0
,则
a?b?2ab
,即
?ab
2
a
2
?b
2
22
13、常用的基本不等式:①
a?b?2ab
?
a,b?R
?
;②
ab?
?
a ,b?R
?

2
a
2
?b
2
?
a?b
??
a?b
?

ab?
?
?
??< br>?
a?0,b?0
?


?
?
a,b?R< br>?


2
?
2
??
2
?
2 2
高中数学选修1—1知识点归纳
第一章 常用逻辑用语
1、命题:可以判断真 假的陈述句叫做命题。其中判断为真的语句叫做真命题;判断为假
的语句叫做假命题;
(注意 :疑问句、祈使句、感叹句。一般都不是命题;要判断一个命题是真命题,一般
需要经过严格的推理论证 ,在判断时,要有推理依据,有时应综合各种情况作出正确的
判断,而判断一个命题是假命题,只需举出 一个反例即可.
2、命题的条件与结论:“若p,则q”的形式的命题中的p称为命题的条件,q称为 命题
的结论。
注意:有些命题虽然表面上不是“若
p
,则
q
”的形式,但是把它的表述作适当改变,也
可以写成“若
p
,则
q
”的形式.
3、四种命题:
①原命题为:若p,则q,
②逆命题为:若q,则p,即交换原命题的条件和结论即得其逆命题.
③否命题为:若┐p,则┐q,即同时否定原命题的条件和结论,即得其否命题.
④逆否命题 为:若┐q,则┐p,即交换原命题的条件和结论,并且同时否定,则得其逆
否命题.
4、四种命题的相互关系:
(一)四种命题之间的相互关系
结论:互为逆否的两个命题是等价的。(对角线命题真假性统一)
(二)四种命题的真假性 (三)四种命题的真假性之间的关系:
①两个命题互为逆否命题,它们有相同的
逆否命
原命题 逆命题 否命题
的真假性

②两个命题为互逆命题或互否命题,它们
真 真 真 真
的真假性
真 假 假 真
没有关系
假 真 真 真
5、充分条件与必要条件定义:
假 假 假 假
若p?q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件



6、充要条件定 义:如果p是q的充分条件,p又是q的必要条件,则称p是q的充分必
要条件,简称充要条件,记作< br>p?q

注意①充要条件的证明:证明充要条件应从两个方面证明,一是充分性;二是必要性。
②充要条件的判断方法
(1)定义法:直接利用定义进行判断.:
(2)等价法“ pq”表示p等价于q,要证pq,只需证它的逆否命题非q非p即可,同
理要证pq,只需证非q非p 即可,所以pq,只需非q非p.
(3)集合法:利用集合间的包含关系进行判断.
①若AB,则p是q的充分条件,由x∈A,可得x∈B;
②若
AB
,则< br>p

q
的必要条件,要使
x

B
,则
x

A
是必不可少的;
③若A=B,则p是q的充要条件;
④若AB,且BA,则p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件.
7、常见的几种条件:


p?q
,但
q
?
p
,则
p< br>是
q
的充分不必要条件(也可以说
q
的充分条件不
必要条件是
p



p?q
,但
q
?
p< br>,则
p

q
的必要不充分条件(也可以说
q
的必要不 充分
条件条是
p
);


p?q
,且
q
?
p
,则
p

q
的充要条件(也可以说
q

p
的充要条件),
记作
p?q



p?q
,且
q
?
p
,则
p

q< br>的既不充分也不必要条件;
※重要结论与注意:小范围
?
大范围,但是大范围不能推出小范围
8、逻辑联结词:且、或、非
且:p且q
(p?q)
“同真为真;一假即假”
或:p或q
(p?q)
“同假为假;一真即真”
非:非p
(
?
p)
:“
?
p

p
的真假相反”
注 意:若
(p?q)
为真,
(p?q)
为假,则你所得到的结论是“p、q一真 一假”
9、①全称命题:陈述某集合中的所有元素都具有(不具有)某种性质的命题,无一
例 外,强调“整体、全部”.
全称命题
p

?x?M,p(x)
, 它的否定:
?
p

?x
0
?M,
?
p(x
0
)

常见的全称量词:对所有的、对任意一个、对一切、对每一个、任给、所有的
②特称命题:陈 述某集合中有(存在)一个元素具有(不具有)某种性质的命题,强
调“个别、部分”的特殊性. 特称命题
p

?x
0
?M,p(x
0
)
, 它的否定
?
p

?x?M,
?
p(x)


常见的特殊量词:存在一个、至少有一个、有些、有一个、对某个、有的
结论:全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题。
10、如何判定全称命题和特称命题的真假
①对全称命题,若要判定为真命题,需对每一个< br>x
都验证使
p
(
x
)成立;若要判定
为假命题,只需 举一个反例.
②对特称命题,若要判定为真命题,只需找一个元素
x
0使
p
(
x
0)成立;若要判定
为假命题,需证明对每一个
x
,< br>p
(
x
)不成立.
11、常见词语的否定
词语 词语的否定
等于 不等于
大于 ≤
小于 ≥
是 不是
都是 不都是(都不是要区分)
至多一个 至少两个
至少一个 一个都没有
任意 某个
所有的 某些
第二章 圆锥曲线与方程
(一)椭圆
1、
椭圆方程的第一定义:
MF
1
?MF
2
=2a(固定)
F
1
F
2
=2c(焦距)
a
2
?b
2
?c
2
(a最大)
注:定义中要重视“括号”内的限制条件
2、椭圆的几何性质:
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形

标准方程

?a?x?a

?b?y?b


?b?x?b

?a?y?a

范围
?
1
?
?a,0
?

?
2
?
a,0
?

顶点
?
1
?
0,?a
?

?
2
?
0,a
?

?
1
?
?b,0
?

?
2
?
b,0
?

?
1< br>?
0,?b
?

?
2
?
0,b
?< br>


轴长
焦点
短轴的长
?2b
长轴的长
?2a

F
1
?
?c,0
?
、< br>F
2
?
c,0
?

F
1
?
0,?c
?

F
2
?
0,c
?

焦距
对称性
离心率

关于
x
轴、
y
轴、原点对称


注意:标准方程是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上。
如果知道两点坐标,确不知道焦点在什么轴上,我们为了方便计算,就设一般方
程为
3、
焦半径:
x
2
y
2
①设
P(x0
,y
0
)
为椭圆
2
?
2
?1(a? b?0)
上的一点,
F
1
,F
2
为左、右焦点,则由椭圆< br>ab
方程的第二定义可以推出:
PF
1
?a?ex
0

PF
2
?a?ex
0

x
2
y
2
②设
P(x
0
,y
0
)
为椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
上的一点,
F
1
,F
2
为上、下焦点,则由椭圆
ba
方程的第二定义可以推出:
PF
1?a?ey
0

PF
2
?a?ey
0
归结起来为“左加
右减”、“下加上减”.
(二)双曲线
1、
双曲线的第一定义:
MF
1
?MF
2
?F< br>1
F
2
方程为双曲线
MF
1
?MF
2
?F
1
F
2
无轨迹
MF
1
?MF
2?F
1
F
2
以F
1
,F
2
的一个端点 的一条射线

MF
1
?MF
2
=2a<2c(固定)
F
1
F
2
=2c(焦距)

焦距:
c
2
?b
2
?a
2
(c最大)
注:定义中要重视“括号”内的限制条件
2、双曲线的几何性质:
焦点的位置 焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上


图形
标准方程
范围
顶点
轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
准线方程
渐近线方程


x??a

x?a

y?R

?
1
?
?a,0
?

?
2
?
a,0
?



y??a

y?a

x?R
< br>?
1
?
0,?a
?

?
2
?
0,a
?

虚轴的长
?2b
实轴的长
?2a

F
1
?
?c,0
?
、< br>F
2
?
c,0
?

F
1
?
0,?c
?

F
2
?
0,c
?


关于
x
轴、
y
轴对称,关于原点中心对称





实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线.
3、等轴双曲线 :双曲线
x
2
?y
2
??a
2
称为等轴双曲线,其 渐近线方程为
y??x
,离心率
e?2
.
4、一般方程:
一般方程:
Ax
2
?By
2
?1(AB?0)
.
(三)抛物线
标准方程
图形
顶点









对称轴
x

y

焦点

准线方程

离心率


范围

3、求轨迹方程的步骤:①设题干中的点的坐标②寻找等式③得到有关x、y的等式④说
明轨迹
4、求轨迹的方法有:①直接法:当所求动点的要满足的条件简单明确时,直接按“建系
设点、 列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直
接法.
②待定系数法:已知轨迹是什么图形,先设出其标准方程,再求出参数。
③定义法
: 定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线(如圆、椭圆、
双曲线、抛物线等)的定义或特征 ,再求出该曲线的相关参量,从而得到轨迹方
程.

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