高中数学考试必备的知识点整理

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温馨提示：在复习 的同时，也要结合课本上的例题去复习，重点是课本，而不是题目应该怎
样去做，所以在考前的一天必须 回归课本复习，心中无公式，是解不出任何题目来的，只要
心中有公式，中等的题目都可以解决。
必修一：
一、集合的运算：
交集：定义：由集合A和集合B中的公共元素组成的集合叫交集，记为
AB

并集：定义：由属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫并集，记为
AB

补集：定义：在全集U中，由所有不属于集合A的元素组成的集合叫补集，记为
C
U< br>A

二、指数与指数函数
1、幂的运算法则：

（1）
a
m
?
a

n
=
a

m + n
， （2）
a
m
?a
n
?a
m?n
， （3）(
a
m
)
n
=
a

m n
（4）(
ab
)
n
=
a

n
? b
n

n
n
n
?
1< br>1
a
n
?
a
?
0
n
m
（5）
??
?
n
（6）a = 1 ( a≠0) （7）
a
?n
?
n
（8）
a
m
?a

（9）
a
m
?

m
n
a
b
b
??
a

2、根式的性质
?
a,a?0
（1）
(
n
a )
n
?a
.（2）当
n
为奇数时，
n
a
n
?a
； 当
n
为偶数时，
n
a
n
?|a|?
?
.
?
?a,a?0
5.指数式与对数式的互化：

log
a< br>N?b?a
b
?N
(a?0,a?1,N?0)
.

6、对数的运算法则：
（1）
a

b
= N <=> b = log
a
N （2）log
a
1 = 0 （3）log
a

a
= 1
（4）log
a

a

b
= b （5）
a

log
a
N
= N （6）log
a
(MN) = log
a
M +
log
a
N
（7）log
a
(

N
=
M
) = log
a
M -log
a
N （8）log
a

N
b
= b log
a

N
（9）换底公式：log
N
a
log
b
N

log
b
a

11

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（10）推论 ：
log
a
m
b
n
?
（11）log
a

N
=
A
n
log
a
b
(
a?0
,且
a?1
,
m,n?0
,且
m?1
,
n?1
,

N?0
).
m
1
（12）常用对数：lg N = log
10

N
（13）自然对数：ln A = log
log
N
a
e
必修4：
1、特殊角的三角函数值
角α
角α的
0
弧度数
Sinα 0
0° 30° 45° 60° 90° 180°
π
270° 360°
2π
π

6
1

2
3

2
3

3
π

4
2

2
2

2
π

3
3

2
π

2
1
3π

2
-1 0 0
Cosα 1
1

2
3

0 -1 0 1
tanα 0 1 不存在 0 不存在 0
2、诱导公式：函数名不变，符号看象限（把α看成锐角）
公式一：Sin（α+2kπ）=Sinα 公式二：Sin（α+π）=-Sinα
Cos（α+2kπ）=Cosα Cos（α+π）=-Cosα
tan（α+2kπ）=tanα tan（α+π）=tanα
公式三：Sin（-α）=-Sinα 公式四：Sin（π-α）=Sinα
Cos（-α）= Cosα Cos（π-α）=-Cosα
tan（-α）=-tanα tan（π-α）=-tanα
ππ
公式五：Sin（-α）=Cosα 公式六：Sin（+α）=Cosα
22
ππ
Cos（-α）=Sinα Cos（+α）=-Sinα
22
3、两角和与角差的正弦、余弦和正切公式
①< br>sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
??cos
?
sin
?
②
sin(
?
?< br>?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?


22

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③
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?< br>?sin
?
sin
?
④
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
si n
?

⑤
tan(
?
?
?
)?
t an
?
?tan
?
tan
?
?tan
?
⑥
tan(
?
?
?
)?

1?tan
?< br>tan
?
1?tan
?
tan
?
4.二倍角的正弦、 余弦和正切公式
①
sin2
?
?2sin
?
cos
?
②
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?1?2sin
2
?
?2cos
?
2
?1

③
tan2
?
?
1?cos2
?
2tan
?
2
④
sin
?
?
2
1?tan
2
?
1
sin
?
cos
?
?sin2
?< br>
2
⑤
cos
2
?
?
1?cos2?
2
⑥
5、向量公式：
①
a
∥
b
? ?
????
x
1
y
1
??(x
2
,y2
?0)
（
a
∥
b
?x
1
y
2
?x
2
,y
1
?0
）
x
2
y
2
②
a?b?(a?b)
2
?a?2a?b?b?
????
?
2
??
?
2
?
2
a?2a?b ?cos
?
?b

???
2
③
cos
?< br>?
a?b
?
??
a?b
x
1
x
2< br>?y
1
y
2
x
1
?y
1
22
（求向量的夹角）
2
x
2
?y
2
2
④
a?b?a?b?0
⑥平面内两点间的距离公式：设
a?(x,y),
则
?
2
????
?
a?x?y或a?x
2
?y
2
?
22
?
⑦平面内两点间的距离公式：
a?(x
1< br>?x
2
)?(y
1
?y
2
)

2222
高中数学必修5知识点归纳
第一章 解三角形
1、正弦定理： 在
???C
中，
a
、
b
、
c
分别为角?
、
?
、
C
的对边，
R
为
???C< br>的外接圆的
abc
???2R
． 半径，则有
sin?sin?sin C
2、正弦定理的变形公式：①
a?2Rsin?
，
b?2Rsin?
，
c?2RsinC
；
abc
②
sin??
，
sin??
，
sinC?
；③
a:b:c?sin?:sin?:sinC< br>；
2R2R2R

33

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④
a?b?cabc
．
???
sin??sin??sinCsi n?sin?sinC
（正弦定理用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。 2、已知两
角和一边，求其余的量。）
⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）
3、余弦定理：在
???C
中，有
a
2
?b
2
?c
2
?2bccos?
，
b
2
?a
2
?c< br>2
?2accos?
，
c
2
?a
2
?b2
?2abcosC
．
b
2
?c
2
?a2
a
2
?c
2
?b
2
a
2
? b
2
?c
2
4、余弦定理的推论：
cos??
，
c os??
，
cosC?
．
2bc2ac2ab
（余弦定理解决的题 型：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他
两角.）
1115、三角形面积公式：
S
???C
?bcsin??absinC?acsin?

222
c
是
???C
的角
?
、6、如何 判断三角形的形状：设
a
、则：①若
a
2
?b
2
? c
2
，
C
的对边，
b
、
?
、
则< br>C?90
；②若
a
2
?b
2
?c
2
，则
C?90
；③若
a
2
?b
2
?c
2< br>，则
C?90
．
附：三角形的五个“心”；
重心：三角形三条中线交点.
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.
内心：三角形三内角的平分线相交于一点.
垂心：三角形三边上的高相交于一点
7 、（1）测量角度问题是指无法直接用量角器测量角度的求解问题．在实际生活中，要测量
角的大小，求 三角形中角度的大小，求不能直接测得的角，求轮船航行时航速与航向等问题
均可结合正弦定理及余弦定 理，通过解三角形求解．在解决与测量问题有关的题目时，要搞
清楚仰角、俯角、方位角与方向角的含义 ，合理的构造三角形求解，即把实际问题数学化．
（2）解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况，如下：
①已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之
②已知量与未 知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐
步在其余的三角形中求出问 题的解．
第二章 数列
1、数列：按照一定顺序的一列数称为数列。
2、项：①首项:数列中每一项都和它的序号有关，排在第一位的数（a
1
）

44

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②数列记为
?< br>a
n
}
：
a
1
、a
2
、a
3
?a
n
?

③通项：a
n

?
s
1
?a
1
(n?1)
4、已知
S< br>n
求
a
n
的公式：
a
n
?
?

?
s
n
?s
n?1
(n?2)
[注]： ①
a
n
?a
1
?
?
n?1
?
d?n d?
?
a
1
?d
?
（
d
可为零也可不为零 →为等差数列充要条件（即常数列
也是等差数列）→若
d
不为0，则是等差数列充分条 件）.
d
?
2
?
d
?
d
②等差{
a
n
}前
n
项和
S
n
?An
2
?Bn?
?
??
n?
?
a
1
?
?
n
→可以为零也可不为零→为等差的充
?
2
??
2
?< br>2
要条件→若
d
为零，则是等差数列的充分条件；若
d
不为零 ，则是等差数列的充分条件.
③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）
．．
5、数列：按照一定顺序排列着的一列数．
6、数列的项：数列中的每一个数．
7、有穷数列：项数有限的数列．
8、无穷数列：项数无限的数列．
9、递增数列 ：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列（即：a
n+1
>a
n
）．
10、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列（即：a
n+1
n
）．
11、常数列：各项相等的数列（即：a
n+1
=a
n
）．
12、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
13、 数列的通项公式：表示数列
?
a
n
?
的第
n
项与序 号
n
之间的关系的公式．
14、数列的递推公式：表示任一项
a
n
与它的前一项
a
n?1
（或前几项）间的关系的公
）
式．< br>a
n
?2a
n?1
?1(n＞1

15、结论：n是奇数，2n是偶数，2n-1和2n+1是奇数。
等差数列
1、
等差数列
定义：一般地如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一
个 常数。这个常数叫做等差数列的公差；
符号表示:
a
n?1
?a
n< br>?d

2、看数列是不是等差数列有以下三种方法：
①
a
n
?a
n?1
?d(n?2,d为常数)

②2
a
n
?a
n?1
?a
n?1
(
n?2
) ③
a
n
?kn?b
(
n,k
为常数 3、等差中项：由三个数
a
，
?
，
b
组成的等差数列可 以看成最简单的等差数列，则
?
称为
a

55

v1.0 可编辑可修改
与
b
的等差中项．若
b?
4、通项公式：若等差数列
a?c
，则称
b
为
a
与
c
的等差中项．
2
1
?
a
n
?
的首项是
a
，公差是
d
，则
a
n
?a
1< br>?
?
n?1
?
d
．
5、等差数列通项公式的变形： ①
a
n
?a
m
?
?
n?m
?
d< br>；②
a
1
?a
n
?
?
n?1
?d
；
a
n
?a
1
d?
③
n?1a
n
?a
m
a
n
?a
1
?1
；⑤
d?
；④
n?

n?m
d
?a
p?a
q
若6、结论：若
?
a
n
?
是等差数列， 且
m?n?p?q
（
m
、
n
、
p
、
q??
*
），则
a
m
?a
n
，则
2a< br>n
?a
p
?a
q
．
?
a
n
?
等差数列，且
2n?p?q
（
n
、
p
、
q??
*
）
n
?
a
1
?a
n
?
n
?
n?1
?
S?
d
． 7、等差数列的前
n
项和的公式：①
n
；②
S
n
?na
1
?
2
2
③
s
n
?a
1
?a
2??a
n

S
2n
?n
?
a
n
?a
n?1
?
，且8、等差数列的前
n
项和的性质：①若项数为< br>2n
?
n??
*
?
，则
S
偶
?S< br>奇
?nd
，
S
奇
a
?
n
．
S
偶
a
n?1
*
S
奇
n
②若项数为2n?1
?
n??
?
，则
S
2n?1
?
?
2n?1
?
a
n
，且
S
奇
?S
偶
?a
n
，
?
（其中
S
奇
?na
n
，
S
偶
n?1
．
S
偶
?
?
n?1
?
a
n
）
?
a
m
?09、在等差数列｛
a
n
｝中,有关S
n
的最值问题：(1)当
a
1
>0,d<0时，满足
?
的项数m
?
a
m?1
?0
?
a
m
?0
使得
s
m
取最大值. (2)当
a
1
<0,d>0时，满足
?
的项数m使得
s
m
取最小值。在解含绝
a?0
?
m?1
对值的数 列最值问题时,注意转化思想的应用。
等比数列
1、如果一个数列从第
2
项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为
等比数列，这个常数称为等比数列的公 比．符号表示：
现值为0的项；②同号位上的值同号）
注：看数列是不是等比数列有以下四种方法：

a
n?1
?q
（注：①等比数列中不会出
a
n
66

v1.0 可编辑可修改
2
?a
n?1
?a
n?1
(
n?2
，
a
n
a
n?1
an?1
?0
) ①
a
n
?a
n?1
q(n?2,q为常数,且?0)

②
a
n
③
a
n
?cq
n
(
c,q
为非零常数). ④正数列{
a
n
}成等比的充要条件是数列{log
x
a
n
}（
n＞1
）成等
比数列.
2、等比中项：在
a
与
b
中间插入一个数
G
，使
a
，
G
，
b
成等比数列，则
G
称为< br>a
与
b
的等
比中项．若
G
2
?ab
，则称
G
为
a
与
b
的等比中项．（注：由
G
2
?ab
不能得出
a
，
G
，
b
成等比，由
a
，
G
，
b
?
G
2
? ab
）
3、通项公式：若等比数列
?
a
n
?
的首 项是
a
1
，公比是
q
，则
a
n
?a
1
q
n?1

4、通项公式的变形：①
a
n
?< br>?
n?1
?
?a
m
q
n?m
；②
a
1
?a
n
q
；③
q
n?1
?
a< br>n?m
a
n
?
n
．；④
q

am
a
1
5、性质：若
?
a
n
?
是等比 数列，且
m?n?p?q
（
m
、
n
、
p
、
q??
*
），则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；若
，则
a
n
?
a
n< br>?
是等比数列，且
2n?p?q
（
n
、
p
、
q??
*
）
2
?a
p
?a
q
< br>?
na
1
?
q?1
?
?
6、等比数列
?
a
n
?
的前
n
项和的公式：①
S
n< br>?
?
a
1
?
1?q
n
?
a?aq< br>．
1n
?
?
q?1
?
?
1?q1?q?
②
s
n
?a
1
?a
2
??a
n

7、几种常见的数列的思想方法：
①等差数列的前
n
项和为
S
n
，在
d＜0
时，有最大值. 如何确定使
S
n
取最大值时的
n
值，有两
种方法：一是求使
a
n
? 0，a
n?1
＜0
，成立的
n
值；二是由
S
n?
质求
n
的值.
②数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下：
数列
等差数列
等比数列

数列
前n项和公式 对应函数
d
2
d
n?(a
1
?)n
利用二次函数 的性
22
通项公式
对应函数
a
n
?a
1
?(n-1)d?dn?(a
1
?d)


y?dx?b
（
d?C
时为一次函数）
a
n
?a
1
q
n?1
?
a
1
n
?q

q

y?aq
x
（指数型函数）


77

v1.0 可编辑可修改

等差数列
S
n
?na
1
?


等比数列
S
n
?
a
1
(1?q)aa
??
1
?q< br>n
?
1

1?q1?q1?q
n
n(n?1)dd< br>d?n
2
?(a
1
?)n
222
y?ax
2
?bx
（
a?0
时为二次函
数）
y?aq
x
?b
（指数型函数）


综合数列的知识点部分
1、判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法 :对于n≥2的任意自然数,
验证
a
n
?a
n?1
(
a
n
)
为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证
a
n?1
2
2a
n?1
?a
n
?a
n?2
(a
n?1
?a
n
a
n?2
)n?N
都成立。
2、数列求和的常用方法
①公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
?
c
?
②裂项相消法:适用于
??
其中{
an
}是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数
?
a
n
a
n?1
?
列、含阶乘的数列等。
③错位相减法:适用于
?
a
n
b
n
?
其中{
a
n
}是等差数列，
?
b
n
?
是各项不为0的等比数列。
④倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法.
3、常用结论：
①1+2+3+...+n =
333
n(n?1)
2
2
②1+3+5+...+(2n-1) =
n
2
③
?
1?
1?2???n?
?
n(n?1)
?

?
2
?
④
1
2
?2
2
?3
2
?? ?n
2
?
1
n(n?1)(2n?1)
6
⑤
111
??

n(n?1)nn?1
1111
?(?)

n(n?2)2nn?2

88

v1.0 可编辑可修改
⑥
1111
?(?)(p?q)
pqq?ppq

a
n?1
?f(n)

a
n
4、求通项的方法：① 累加法，如：
a
n?1
?a
n
?f(n)
②累乘法，如：
③构造法：如：
a
n?1
?Aa
n
?B?a
n?1
?
BB
?A(a
n
?)

A?1A?1
第三章 不等式
1、常见用语的符号表示：“不超过”：≤ “超过”：＞ “超不过”：＜
2、比较大小的方法：
a?b?0?a?b
；a?b?0?a?b
；
a?b?0?a?b
．（利用作差法）
技巧：优先考虑加减，后考虑两边平方。
回顾：作差法的步骤：作差；变形；定正负；得出结论。
3、不等式的8条性质（利用生活上的一些事情去记忆，例如两（三）人比谁有钱；比谁高…）：
①
a?b?b?a
；（两个的游戏）
②
a?b,b?c?a?c
；（第三个是中间人时）
③
a?b?a?c?b?c
；（C无需任何条件）（三个游戏）
④
a?b,c?0?ac?bc
，
a?b,c?0?ac?bc
；
⑤
a?b,c?d?a?c?b?d
；（四人游戏，大+大，小+小）
⑥
a?b?0,c?d?0?ac?bd
；（大×大，小×小）
⑦
a?b?0?a
n
?b
n
?
n??,n?1
?
；（ 分身术）
⑧
a?b?0?
n
a?
n
b
?
n??,n?1
?
．
关于等式的事实和性质是解决不等式问题的基本依据。
4、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是
2
的不等式．
5、一元二次不等式的求解：
特例① 一元一次不等式ax＞b解的讨论；
②一元二次不等式ax
2
+bx+c＞0(a>0)解的讨论.
??b
2
?4ac


??0

??0

??0


99

v1.0 可编辑可修改


二次函数
y?ax
2
?bx?c

（
a?0
）的图象





一元二次方程

有两相异实根
x
1
,x
2(x
1
?x
2
)

ax?bx?c?0
2
?
a?0
?
的根



有两相等实根
b

x
1
?x
2
??
2a

无实根

ax
2
?bx?c?0
(a?0)的解集
ax
2
? bx?c?0
(a?0)的解集


?
?
b
?

?
xx??
?

2a
??
xx?x
1
或x?x
2

?

R


?
xx
1
?x?x
2
?


?

?

对于a＜0的不等式可以先把a化为正后用上表来做即可。
二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是
1
的不等式．
6、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．
7、二元一次不等式（组） 的解集：满足二元一次不等式组的
x
和
y
的取值构成有序数对
?x,y
?
，
所有这样的有序数对
?
x,y
?
构 成的集合．
8、在平面直角坐标系中，已知直线
?x??y?C?0
，坐标平面内的 点
?
?
x
0
,y
0
?
．
①若< br>??0
，
?x
0
??y
0
?C?0
，则点< br>?
?
x
0
,y
0
?
在直线
?x?? y?C?0
的上方．
②若
??0
，
?x
0
??y
0
?C?0
，则点
?
?
x
0
,y
0
?
在直线
?x??y?C?0
的下方．
9、线性规划：①、画直线（边界） ②虚、实线区别：虚线：＞＜ 实线：≥≤
③分边：取特殊点（在线内外）检验
注意：直线未经过原点时，优先使用（0,0）判定；直线过原点则选择数轴上的点。
10、 线性约束条件：由
x
，
y
的不等式（或方程）组成的不等式组，是
x
，
y
的线性约束条
件。
目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量
x
，
y
的解析式。

1010

v1.0 可编辑可修改
线性目标函数：目标函数为
x
，
y
的一次解析式。
线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题。
可行解：满足线性约束条件的解
?
x,y
?
。
可行域：所有可行解组成的集合。
最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解。 a?b
11、设
a
、
b
是两个正数，则称为正数
a、
b
的算术平均数，
ab
称为正数
a
、
b的几
2
何平均数．
12、均值不等式定理： 若
a?0
，b?0
，则
a?b?2ab
，即
22
a?b
?ab．
2
a
2
?b
2
13、常用的基本不等式：①
a?b?2ab
?
a,b?R
?
；②
ab?
?
a ,b?R
?
；
2
a
2
?b
2
?
a?b
??
a?b
?
③
ab?
?
?
??< br>?
a?0,b?0
?
；
④
?
?
a,b?R< br>?
．

2
?
2
??
2
?

22
高中数学选修1—1知识点归纳
第一章 常用逻辑用语
1、命题： 可以判断真假的陈述句叫做命题。其中判断为真的语句叫做真命题；判断为假的
语句叫做假命题； （注意：疑问句、祈使句、感叹句。一般都不是命题；要判断一个命题是真命题，一般需要
经过严格 的推理论证，在判断时，要有推理依据，有时应综合各种情况作出正确的判断，而
判断一个命题是假命题 ，只需举出一个反例即可．
2、命题的条件与结论：“若p，则q”的形式的命题中的p称为命题的条 件，q称为命题的结
论。
注意：有些命题虽然表面上不是“若
p
，则
q
”的形式，但是把它的表述作适当改变，也可
以写成“若
p
，则
q
”的形式．
3、四种命题：
①原命题为：若p，则q，
②逆命题为：若q，则p，即交换原命题的条件和结论即得其逆命题.

1111

v1.0 可编辑可修改
③否命题为：若┐p，则┐q，即同时否定原命题的条件和结论，即得其否命题.
④逆否命题 为：若┐q，则┐p，即交换原命题的条件和结论，并且同时否定，则得其逆否命
题.
4、四种命题的相互关系：
（一）四种命题之间的相互关系








结论：互为逆否的两个命题是等价的。（对角线命题真假性统一）

（二）四种命题的真假性 （三）四种命题的真假性之间的关系：
逆否命
原命题
真
真
假
假


5、充分条件与必要条件定义：
若p?q,则p是q的充分条件，q是p的必要条件

6、充要条件定义：如果p是q的充分条件，p又是q的必要条件，则称p是q的充分必要条
件 ，简称充要条件，记作
p?q

注意①充要条件的证明：证明充要条件应从两个方面证明，一是充分性；二是必要性。
②充要条件的判断方法
(1)定义法：直接利用定义进行判断．：
(2)等价法“
p
?
q
”表示
p
等价于
q
，要证
p
?
q
，只需证它的逆否命题非
q
?非
p
即可，< br>
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的的
真假性
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的
真假性
没有关系


逆命题
真
假
真
假
否命题
题
真
假
真
假
真
真
真
假
1212

v1.0 可编辑可修改
同理要证
p
?
q
，只需证非
q
?非
p
即可，所以
p
?< br>q
，只需非
q
?非
p
.
(3)集合法：利用集合间的包含关系进行判断．
①若
A
?
B，则
p
是
q
的充分条件，由
x
∈
A
， 可得
x
∈
B
；
②若
A
?
B
，则
p
是
q
的必要条件，要使
x
∈
B
，则x
∈
A
是必不可少的；
③若
A
＝
B
，则
p
是
q
的充要条件；
④若
AB
，且
BA
，则
p
既不是
q
的充分条件，也不是
q
的必要 条件．
7、常见的几种条件：
①
若
p?q
，但
q
?
p
，则
p
是
q
的充分不必要条件（也可以说
q
的充分条件不必要条件是
p
）
②
若
p?q
，但< br>q
?
p
，则
p
是
q
的必要不充分条件（也可 以说
q
的必要不充分条件条是
p
）；
③
若
p?q
，且
q
?
p
，则
p
是
q
的充要条 件（也可以说
q
是
p
的充要条件），记作
p?q
；
④
若
p?q
，且
q
?
p
，则
p
是
q
的既不充分也不必要条件；
※重要结论与注意：小范围
?
大范围，但是大范围不能推出小范围
8、逻辑联结词：且、或、非
且：p且q
(p?q)
“同真为真；一假即假”
或：p或q
(p?q)
“同假为假；一真即真”
非：非p
(
?
p)
：“
?
p
与
p
的真假相反”
注 意：若
(p?q)
为真，
(p?q)
为假，则你所得到的结论是“p、q一真 一假”
9、①全称命题：陈述某集合中的所有元素都具有(不具有)某种性质的命题，无一例外，强调“整体、全部”．
全称命题
p
：
?x?M,p(x)
, 它的否定：
?
p
：
?x
0
?M,
?
p(x
0
)

常见的全称量词：对所有的、对任意一个、对一切、对每一个、任给、所有的
②特称命题：陈 述某集合中有(存在)一个元素具有(不具有)某种性质的命题，强调“个
别、部分”的特殊性． 特称命题
p
：
?x
0
?M,p(x
0
)
, 它的否定
?
p
：
?x?M,
?
p(x)

常见的特殊量词：存在一个、至少有一个、有些、有一个、对某个、有的

1313

v1.0 可编辑可修改
结论：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。
10、如何判定全称命题和特称命题的真假
①对全称命题，若要判定为真命题，需对每一个< br>x
都验证使
p
(
x
)成立；若要判定为假
命题，只需 举一个反例．
②对特称命题，若要判定为真命题，只需找一个元素
x
0使
p
(
x
0)成立；若要判定为假
命题，需证明对每一个
x
，< br>p
(
x
)不成立．
11、常见词语的否定
词语
等于
大于
小于
是
都是
至多一个
至少一个
任意
所有的

词语的否定
不等于
≤
≥
不是
不都是（都不是要区分）
至少两个
一个都没有
某个
某些
第二章 圆锥曲线与方程
（一）椭圆
1、
椭圆方程的第一定义：
MF
1
?MF
2
?F
1
F
2
方程为椭圆,
MF
1
?MF
2?F
1
F
2
无意义,
MF
1
?MF
2
?F
1
F
2
以F
1
,F
2
为端点 的线段

MF
1
?MF
2
=2a（固定）
F
1
F
2
=2c(焦距)
a
2
?b
2
?c
2
（a最大）
注：定义中要重视“括号”内的限制条件
2、椭圆的几何性质：

1414

v1.0 可编辑可修改
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形

x
2
y
2
??1
?
a?b?0
?

a
2
b
2

y
2
x
2
??1
?
a?b?0
?

a
2
b
2
标准方程
范围
?a?x?a
且
?b?y?b

?
1
?
? a,0
?
、
?
2
?
a,0
?

?b?x?b
且
?a?y?a

?
1
?
0 ,?a
?
、
?
2
?
0,a
?

?
1
?
?b,0
?
、
?
2
?
b,0
?

顶点
?
1
?
0,?b
?
、
?
2
?
0,b
?

轴长
焦点
短轴的长
?2b
长轴的长
?2a

F
1< br>?
?c,0
?
、
F
2
?
c,0
?< br>
F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?

焦距
对称性
离心率
F
1
F
2
?2c
?
c
2
?a
2
? b
2
?

关于
x
轴、
y
轴、原点对称
cb
2
e??1?
2
?
0?e?1
?

aa

注意：标准方程是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上。
如果知道两点坐标，确不知道焦点在什么轴上，我们为了方便计算，就设一般方程为
Ax
2
?By
2
?1(A?0,B?0,且A?B)

3、
焦半径：
x
2
y
2
①设
P(x0
,y
0
)
为椭圆
2
?
2
?1(a? b?0)
上的一点，
F
1
,F
2
为左、右焦点，则由椭圆方 程的第二定义
ab
可以推出：
PF
1
?a?ex
0
，
PF
2
?a?ex
0

x
2
y
2
②设
P(x
0
,y
0
)
为椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
上的一点，
F
1
,F
2
为上、下焦点，则由椭圆方程的第二定义
ba

1515

v1.0 可编辑可修改
可以推出：
PF
“下加上减”.
1
?a?ey
0
，
PF
2
?a?ey
0< br> 归结起来为“左加右减”、

（二）双曲线
1、
双曲线的第一定义：
MF
1
?MF
2
?F< br>1
F
2
方程为双曲线
MF
1
?MF
2
?F
1
F
2
无轨迹
MF
1
?MF
2?F
1
F
2
以F
1
,F
2
的一个端点 的一条射线

MF
1
?MF
2
=2a＜2c（固定）
F
1
F
2
=2c(焦距)

焦距：
c?b?a
（c最大）
222
注：定义中要重视“括号”内的限制条件
2、双曲线的几何性质：
焦点的位置 焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
图形

标准方程
范围
顶点
轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
x
2
y
2
??1
?a?0,b?0
?

a
2
b
2

y< br>2
x
2
??1
?
a?0,b?0
?

a
2
b
2
x??a
或
x?a
，
y?R< br>
y??a
或
y?a
，
x?R

?
1
?
?a,0
?
、
?
2
?
a,0
?

?
1
?
0,?a
?
、
?
2< br>?
0,a
?

虚轴的长
?2b
实轴的长
?2a

F
1
?
?c,0
?
、< br>F
2
?
c,0
?

F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?

F
1
F
2
?2c
?
c
2
?a
2< br>?b
2
?

关于
x
轴、
y
轴对称，关于原点中心对称
cb
2
e??1?
2
?
e?1
?

aa

1616

v1.0 可编辑可修改
准线方程
渐近线方程
a
2
x??

c
a
2
y??

c
y??
b
x

a
y??
a
x

b
实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．
3、等轴双曲线：双曲线
x< br>2
?y
2
??a
2
称为等轴双曲线，其渐近线方程为
y??x
，离心率
e?2
.
4、一般方程：
一般方程：
A x
2
?By
2
?1(AB?0)
.
（三）抛物线
y
2
?2px

y
2
??2px

x
2
?2py

x
2
??2py

标准方程
?
p?0
?

图形

顶点
?
p?0
?

?
p?0
?

?
p?0
?




?
0,0
?

x
轴 对称轴
y
轴
?
p
?
F
?
?,0
?

?
2
?
p
??
F
?
0,
?

2
??
p
??
F
?
0,?
?

2
??
焦点
?
p
?
F
?
,0
?

?
2
?
准线方程
x??
p

2
x?
p

2
y??
p

2
y?
p

2
离心率
e?1

范围






x?0

x?0

y?0

y?0


1717

v1.0 可编辑可修改
3、求轨迹方程的步骤：①设题干中的点的坐标②寻找等式③得到有关x、y的等式④说明轨
迹
4、求轨迹的方法有：①直接法：当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设
点、 列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法.
②待定系数法：已知轨迹是什么图形，先设出其标准方程，再求出参数。
③定义法
： 定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）
的定义或特征 ，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.


1818