上海高中数学教师资格证面试题库-高中数学课改专家组组长
高中数学必修2知识点总结
第二章 直线与平面的位置关系
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1
1
平面含义:平面是无限延展的
2 平面的画法及表示
(1)平面的画法:水平放置的平面通
常画成一个平行四边形,锐角画成45,且横边画成邻边的
2倍长(如图)
(2)平面通常用
希腊字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的
两个顶点的大写字母来表示,如平面AC、平面ABCD等。
3 三个公理:
(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内
符号表示为
A∈L
B∈L => L α
A∈α
B∈α
公理1作用:判断直线是否在平面内
(2)公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
符号表示为:A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α,
使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2作用:确定一个平面的依据。
(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为:P∈α∩β =>α∩β=L,且P∈L
公理3作用:判定两个平面是否相交的依据
0
D
α
A B
C
A
α
·
L
α
·
C
·
·
A B
β
·
L
P
α
2.1.2
空间中直线与直线之间的位置关系
1 空间的两条直线有如下三种关系:
相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;
共面直线
平行直线:同一平面内,没有公共点;
异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。
2 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为:设a、b、c是三条直线
a∥b
c∥b
强调:公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。
3
等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补
4 注意点:
① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定,与O的选择无关,为简便,点O一般取在
两直线中的一条上;
② 两条异面直线所成的角θ∈(0, );
=>a∥c
?
③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a⊥b;
2
④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;
⑤
计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
1
2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系:
(1)直线在平面内 —— 有无数个公共点
(2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
(3)直线在平面平行 ——
没有公共点
指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用a α来表示
a α a∩α=A a∥α
2.2.直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。
简记为:线线平行,则线面平行。
符号表示:
a α
b β
=> a∥α
a∥b
2.2.2 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。
符号表示:
a β
b β
a∩b = P
β∥α
a∥α
b∥α
2、判断两平面平行的方法有三种:
(1)用定义;
(2)判定定理;
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
1、定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为:线面平行则线线平行。
符号表示:
a∥α
a β
a∥b
α∩β= b
作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。
符号表示:
2
α∥β
α∩γ= a a∥b
β∩γ= b
作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定
1、定义
如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线L与平面α互相垂直,记作L⊥α,直线L
叫做平面α的
垂线,平面α叫做直线L的垂面。如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。
L
p
α
2、判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。
注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭 l β
B
α
2、二面角的记法:二面角α-l-β或α-AB-β
3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。
2.3.3 — 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。
2性质定理:
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
3
一、直线与平面平行
1.判定方法
(1)定义法:直线与平面无公共点。
a?
?
(2)判定定理:
b?
?
ab
(3)其他方法:
a
?
?
?
a
?
a?
?
a
?
2.性质定理:
a?
?
ab
?
?
?
?b
二、平面与平面平行
1.判定方法
(1)定义法:两平面无公共点。
a
?
b
?
(2)判定定理:
a?
?
?
?
b?
?
a?b?P
a?
?
a
?
(3)其他方法:
?
?
;
?
?
a?
?
?
?
?<
br>
?
2.性质定理:
?
?
?
?a
ab
?
?
?
?b
三、直线与平面垂直
(1)定义:如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直,则这条直线和这个平面垂直。
(2)判定方法
① 用定义.
a?b
a?c
②
判定定理:
b?c?A
a?
?
b?
?
c?
?
③ 推论:
a?
?
b?
?
ab
4
(3)性质
①
四、平面与平面垂直
(1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直线二面角,就说这两个平面互相垂直。
a?
?
a?
?
a?b
②
ab
b?
?
b?
?
a?
?
(2)判定定理
?
?
?
a?
?
(3)性质
?
?
?
?
?
?
?l
①性质定理
?
?
?
a?
?
a?l
?
??
?
?
?
?l
②
A?l
P?
?
PA?
?
垂足为A
?
?
?
??
?
?l
④
PA?
?
P?
?
PA?
?
? “转化思想”
面面平行 线面平行 线线平行
面面垂直
线面垂直 线线垂直
5
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