高中数学知识点：不等式的性质及解法

不等式的性质及解法
知识要点：
不等式与等式有许多不同，主要包括： < br>1、等式两边同乘（或除）以一个数（或式），等式仍然成立；不等式两边同乘
（或除）以一个数 （或式），不等式能否成立，要考虑该数（式）的符号，
?
ac?bc(c?0)
?
即
a?b?
?
ac?bc(c?0)

?
ac?b c(c?0)
?
2、解方程时允许出现不等价转化，出现增根时以验根弥补；解不等式要求必须
是等价转化。
3、解方程组时，方程组中的方程之间允许进行加、减等运算，以达到消元目的 ；
解不等式组时，不等式组中的不等式之间只能独立求解，再求交集。
不等式的性质可分为：
?
a?b?a?b?0
1、公理
?
这也是将不等式问题——比较两个 实数a
、
b的大小，
a?b?a?b?0
?
转化为恒等变形问题的依 据。
2、基本性质：
（1） 对称性
a?b?b?a

这个性质等式中也存在，即
a?b?b?a
，
对称性说明了每一个已知的不等式都有两种形式，如：
a?b?2ab(a,b?R)

这个基本不等式本身就有
a
2
?b
2
?2ab
及< br>2ab?a
2
?b
2
两种形式，要能灵活运
用。当然若进行等 价转化还会有许多变式。
（2） 传递性
a?b,b?c?a?c

这个性质是媒介法比较两个实数大小的依据，是放缩法证明不等式的依据。
（3） 移项法则
a?b?a?c?b?c

如：
x?3?2?x??1
,相当于在< br>x?3?2
这个不等式两边同时加上－3得到
的。

3、运算性质：
（1）加法运算：
a?b,c?d?a?c?b?d

（2）减法运算：统一成加法运算
a?b,c?d?a?b,?d??c?a?d?b?c

（3）乘法运算：
a?b?o,c?d?0?ac?bd?0

（4）除法运算：统一成乘法运算
11ab
??0???0

dcd c
111
（由
y?
在（0，+
?
）上是减函数，
c ?d?0???0
）
xdc
（5）乘方运算：
a?b?0?a
n< br>?b
n
(n?N,n?2)

a?b?0,c?d?0?a?b?0,
（6）开方运算：
a?b?0?
n
a?
n
b(n?N,n? 2)

4、函数的单调性：
（1）
a?b?a
3
?b
3
（
y?x
3
在(??,??)上是增函数
）
（2）
a?b?2
a
?2
b
（
y?2
x
在(??,??)上是增函数
）
诸如此类：
a ?b?0?log
1
a?log
1
b(y?log
1
x在( 0,??)
上是减函数)已知幂
222
函数、指数函数、对数函数等函数的单调性可做 为不等式的性质运用。
我们知道，求不等式的解集叫做解不等式，如果两个不等式的解集相等，那< br>么这两个不等式就叫做同解不等式。一个不等式变形为另一个不等式时，如果这
两个不等式是同解 不等式那么这种变形叫做不等式的同解变形。解不等式的每一
步都要求是同解变形。
一元一 次不等式（组）和一元二次不等式的解法，是解其它各种不等式（组）
的基础。高次不等式、分式不等、 无理不等式、指数对数不等式的解法都是通过
等价转化为一元一次不等式（组）和一元二次不等式后求解 。
在解不等式的过程中，要注意保持字母的允许值范围不发生变化。为此，要
注意不等式两 边同乘以一个数或式对不等式所产生的影响，要注意不等式两边同
次乘方、开方或取对数等运算的可行性 。
在解不等式或不等式组的过程中，要熟练掌握集合的交、并运算；要充分运
用数轴与图象 的直观，找全辅助不等式，把每一个解不等式问题等价转化为解不
等式组问题。
方程与函数 的思想、分类与归纳的思想、等价转化的思想及数形结合的思想
在解不等式问题中都有着广泛的应用。
解不等式的方法有：
图象法——一元二次不等式、高次不等式、三角不等式等；
转化法——分式不等式、无理不等式、指数对数不等式等。
1、一元二次不等式的解法
解一元二次不等式与一元二次方程及二次函数有密切联系——求根、画图
象、写解集




例1：解关于x的不等式
ax
2
?(a?1)x?1?0
其中
a?0

解：由一元二次方程
ax2
?(a?1)x?1?0
的根为
x
1
?1,x
2?
（1）当
1
知
a

1
?1
，即< br>0?a?1
时二次函数
y?ax
2
?(a?1)x?1
的草图 为：
a
1
故原不等式的解为
(1,)

a


1
（2）
0??1,
即
a?1时二次函数
y?ax
2
?(a?1)x?1
的草图为：
a

1
故原不等式的解为（
,1
）
a
1
（3）?1
，即a=1时二次函数
a
y?ax
2
?(a?1)x?1< br>的草图为：
故原不等式的解为
?





1
综上，当
0?a?1
时原不等式的解集为
(1,)
；
a
1
当
a?1
时原不等式解集为
(,1)
；
a
当
a?1
时原不等式解集为
?
。
11
例2：已知关于x的不等式
ax
2
?bx?c?0
的解集是
?
x|x?,或x?
?
。
32
求关于x的不等式
ax
2
?bx?c?0
的解集。
解：此题是对一元二次不等式的解进行讲行讨论——知解集求原不等式中
待定常数的值。
11
∵
ax
2
?bx?c?0
的解集是
?
x|x?,或x?
?

32

∴y=
ax
2
?bx?c
的草图应为：


故：


∴ 不等式
ax
2
?bx?c?0
可化为
x
2
?
1
??
1
解得其解集为
?
x|??x??
?

3
??
2bc51
x??0即x
2
?x??0

aa66
2、高次不等式的解法
解高次不等式的方法是图象法，具体步骤是求根、画图象、写解集。
例：解不等式
x
3
?3x
2
?x?1?0

解：方程
x
3
?3x
2
?x?1?0
可化为
(x?1)(x
2
?2x?1)?0
知其根为
x
1
?1,x
2
?1?2,x
3
?1?2



故函数
y?x
3
?3x
2
?x?1
的草图为：

因此，原不等式的解集为
x|x?1?2或1?x?1?2

??
3、分式不等式的解法
解分式不等式的方法是转化法，具体步骤是移项、通分、转化。
f(x)f(x)
?0
或
?0
（
g(x)?0
）的形式，首先将不等式经过同解变形，化成
g(x)g(x)
?
f(x)g(x)?0
f(x)f(x)
?0
?f(x)g(x)?0
或
?0
?
?
然后再利用同种变形：
g(x)g(x)
?
g(x)?0
x
2
?9x?11
?7< br> 例： 解不等式
2
x?2x?1
?6x
2
?5x?4
?0
解：移项，通分得
2
x?2x?1
2
?
(2x?1)(3x?4)( x?1)?0
(2x?1)(3x?4)
?
?0
转化为
?
∴
2
2
(x?1)
(x?1)?0
?
?
?
(2x?1)(3x?4)?0
∴
?

x?1?0
?
解得，所求不等式的解集为
说明：高次不等式中对重根的处 理分奇次重根、偶次重根两种。如
(x?x
1
)
3
(x?x
2
)(x?x
3
)?0
?(x?x
1
)(x?x
2
)(x?x
3
)?0;
?
x?x
1
4
(x ?x
1
)(x?x
2
)(x?x
3
)?0
?
?
或
x?x
1
时不等式成立（若
(x?x)(x?x)?0
23
?
为大于零，则
x?x
1
时不等式不成立）。
4、无理不等式的解法
解无理不等式的方法是通过乘方讨论的方法将其转化。
?
g(x)?0
?
g(x)?0
f(x)?g(x)?
?
或< br>?

2
f(x)?0
f(x)?[g(x)]
?
?

?
f(x)?0
?
f(x)?g(x)?
?
g(x)?0
< br>?
f(x)?[g(x)]
2
?
?
f(x)?g(x)

f(x)?g(x)?
?
g(x)?0
?

5、指数不等式和对数不等式的解法
解指对数不等式的方法是通过函数的单调性将其转化为代数不等式（组）求解。

a?1
时，
a
f(x)
?a
g(x)
?f(x)?g(x)

?
g(x)?0

log

a
f(x)?log
a
g(x)?
?
f(x)?g(x)
?
0?a?1时，
a
f(x)
?a
g(x)
?f(x)?g( x)

?
f(x)?0

log

a
f(x)?log
a
g(x)?
?f(x)?g(x)
?
注意分类与归纳思想的正确运用。若解关于x的不等式，对x进行 讨论，最
终结果应求并集，如解无理不等式。若解关于x的不等式，对除x以外的字母进
行讨论 ，最终结果不能求并集，只能分别表述，如解指数对数不等式。