高一数学集合间的基本关系的知识点

高一数学集合间的基本关系的知识点



1.1.2集合间的基本关系

图

在数学中，用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为
Venn图.

比如，中国的直辖市组成的集合为A，用Venn图表示如图所示.

【例1】试用Venn图表示集合A={x|x2-16=0}.

解：集合A是方程 x2-16=0的解集，解方程x2-16=0，得x1=4，
x2=-4，所以A={-4,4}，用 Venn图表示如图所示.

对Venn图的理解Venn图表示集合直观、明确，封闭曲线可 以是
矩形、椭圆或圆等等，没有限制.

2.子集

定义一般地，对 于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素
都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系， 称集合A
为集合B的子集.记法

与读法记作AB(或BA)，读作“A含于B”(或 “B包含A”).图示
或示例具有北京市东城区户口的人组成集合M，具有北京市户口的
人组成 集合P，由于任意一个具有北京市东城区户口的人都具有北
京市户口，所以有MP.结论(1)任何一个 集合是它本身的子集，即AA.

(2)对于集合A，B，C，若AB，且BC，则AC.对子 集的理解
(1)“AB”的含义：若xA就能推出xB.

(2)集合A是集合B的子 集不能理解为集合A是由集合B中的
“部分元素”组成的，因为集合A可能是空集，也可能是集合B.< br>
(3)如果集合A中存在着不是集合B的元素，那么集合A不包含
于B，或B不包含A .此时记作AB或BA.

(4)注意符号“”与“”的区别：“”只用于集合 与集合之间，
如{0}N，而不能写成{0}N;“”只能用于元素与集合之间，如0N，
而不 能写成0N.

【例2-1】已知集合M={0,1}，集合N={0,2,1-m}，若MN ，则实
数m=__________.

解析：由题意知MN，又集合M={0,1}，因此1N，即1-m=1.故
m=0.

答案：0

【例2-2】已知集合M={xZ|-1≤x<3}，N={x|x=|y |，yM}，试判
断集合M，N的关系.

解：∵xZ，且-1≤x<3，

∴x的可能取值为-1,0,1,2.

∴M={-1,0,1,2}.

又∵yM，

∴|y|分别是0,1,2.

∴N={0,1,2}.

∴NM.

3.集合相等
如果集合A是集合B的子集(AB)，且集合B是集合A的子集(BA)，
那么集合A与集合B相等 ，记作A=B.用Venn图表示如图所示.

对集合相等的理解(1)A=BAB，且BA，这是证明两个集合相等的
重要依据;

(2)集合相等还可以用元素的观点来定义：只要构成两个集合的
元素是一样的，即这两个集合 中的元素完全相同，就称这两个集合
相等;

(3)同一个集合，可以 有不同的表示方法，这也是定义两个集合
相等的意义所在;

(4)集合中的关系与实数中的结论类比

实数集合a≤b包含两层含义：a=b，或a

A.P={1,4,7}，Q={1,4,6}

B.P={x|2x+2=0}，Q={-1}

C.3P,3Q



解析：对于A项，7P，而7Q，故P≠Q;对于B项，
P={x|2x+ 2=0}={-1}=Q;对于C项，由3P,3Q，不能确定PQ，QP是否
同时成立;对于D项，仅 由PQ无法确定P与Q是否相等.

答案：B

【例3-2】设集合A={x ，y}，B={0，x2}，若A=B，求实数x，y
的值.

解：由集合相等的定义，得或

(1)由得x=0，y=0，不满足集合中元素的互异性，故舍去;

(2)由得x= 0，y=0或x=1，y=0，由(1)知x=0，y=0应舍去，x=1，
y=0符合集合中元素的互 异性.

综上，可得x=1，y=0.

4.真子集

定义 如果集合AB，但存在元素xB，且xA，我们称集合A是集合
B的真子集.记法记作AB(或BA). 图示结论(1)AB且BC，则AC;

(2)AB且A≠B，则AB.对真子集的理解(1) 若集合A是集合B的
子集，则集合A中所有元素都属于集合B，并且集合B中至少有一
个元素不 属于集合A;

(2)子集包括集合相等与真子集两种情况，真子集是以子集为 前
提的.若集合A不是集合B的子集，则集合A一定不是集合B的真子
集;

(3)与任何集合是它自身的子集不同，任何集合都不是它自身的
真子集.

【例4】已知集合P={2012,2013}，Q={2011,2012，2013，2014}，
则有()

A.P=



解析：很明显，集合P中的元素都 属于集合Q，则PQ，但是
2014Q,2014P，所以PQ.

答案：C

5.空集

定义我们把不含任何元素的集合，叫做空集.记法规定空集是任
何 集合的子集，即A特性(1)空集只有一个子集，即它本身，

(2)是任何非空集合的真子集，即若A≠，则A{0}与的区别

{0}与

的区别{0}是含有一个元素的集合是不含任何元素的集合，因此
{0}，注意不能写成={0 }，{0}【例5-1】下列集合为空集的是()

A.{0}B.{1}

C.{x|x<0}D.{x|1+x2=0}

解析：很明显{0}和{1}都不是 空集;因为{x|x<0}是全体负数组成
的集合，所以{x|x<0}也不是空集;集合{x|1+x 2=0}是一元二次方程
1+x2=0的解集，但是方程1+x2=0无实数解，所以{x|1+x2= 0}=.

答案：D

【例5-2】有下列命题：①空集没有 子集;②任一集合至少有两
个子集;③空集是任何集合的真子集;④若A，则A≠.其中正确的有()< br>
A.0个B.1个C.2个D.3个

解析：对于①，空集是任何集合的子集 ，故，①错;对于②，只
有一个子集，是其自身，②错;对于③，空集不是空集的真子集，③
错 ;空集是任何非空集合的真子集，④正确.

答案：B

6.集合间的关系判断

(1)集合A，B间的关系

(2)判断两 集合间关系的关键是弄清所给集合是由哪些元素组成
的，也就是把抽象的集合具体化，这就要求熟练地用 自然语言、符
号语言(列举法和描述法)、图形语言(Venn图)来表示集合.

(3)判断集合间的关系，其方法主要有三种：

①一一列举观察;

②集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素
的特征，再利用集合元素的特征判断关 系.

一般地，设集合A={x|p(x)}，B={x|q(x)}，若p(x)推出q(x )，
则AB;若q(x)推出p(x)，则BA;若p(x)，q(x)互相推出，则A=B;若
p(x)推不出q(x)，q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系.

③数形结合法：利用数轴或Venn图.

(4)当MN和MN均成立时，MN比MN 更准确地反映了集合M和N
的关系.当MN和M=N均成立时，M=N比MN更准确地反映了集合M和< br>N的关系.

例如，集合M={1}，集合N={1,2}，这时MN和MN均成立，M N比
MN更准确地反映了集合M={1}和集合N={1,2}的关系.又例如，集合
M={3 }，集合N={3}，这时MN，NM，M=N均成立，M=N比MN更准确地

反映了集 合M={3}和集合N={3}的关系.【例6-1】指出下列各对集
合之间的关系：

(1)A={-1,1}，B={(-1，-1)，(-1,1)，(1，-1)，(1,1)};

(2)A={x|x是等边三角形}，B={x|x是等腰三角形};

(3)A={x|-1

(4)M={x|x=2n-1，nN*}，N={x|x=2n+1，nN*}.

分析：先找到集合中元素的特征，再由特征判断集合之间的关系.

解：(1)集合A 的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数
对，故A与B之间无包含关系.

(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的
三角形，故AB.

(3)集合B={x|x<5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知
AB.

(4)由列举法知M={1,3,5,7，…}，N={3,5,7,9，…}，故NM.
< br>怎样用数轴表示集合对于连续实数组成的集合，通常用数轴来表
示，这也属于集合表示的图示法. 注意在数轴上，若端点值是集合的
元素，则用实心点表示;若端点值不是集合的元素，则用空心点表示.

【例6-2】已知集合，，则集合M，N的关系是()





解析：设n=2m或2m+1，mZ，

则有

.

又∵，

∴MN.

答案：B

7.求已知集合的子集(或真子集)

(1)在写出某个 集合的子集时，可以按照集合中元素的个数从无
到有、从少到多的顺序依次写出，要做到不重不漏.一定 要考虑这一
特殊的集合，因为是任何集合的子集;若是要求写出某个集合的真子
集，则不能将集 合自身计算在内，因为任何一个集合都是它自身的
子集，但不是它自身的真子集.

例 如：写出集合{1,2,3}的所有子集和真子集.我们可以按照元素
个数从少到多依次写出，其中元素 个数分别为0,1,2,3.可以得到集
合{1,2,3}的所有子集为，{1}，{2}，{3}，{ 1,2}，{1,3}，{2,3}，
{1,2,3};所有真子集为，{1}，{2}，{3}，{1 ,2}，{1,3}，{2,3}.

(2)当集合A中含有n个元素时，其子集的个数为2n ，真子集的
个数为2n-1，非空子集的个数为2n-1，非空真子集的个数为2n-2.

【例7-1】已知集合M满足{1,2}M{1,2,3,4,5}，请写出集合M.

分析：根据题目给出的条件可知，集合M中至少含有元素1,2，
至多含有元素1,2,3,4,5， 且M中必须含有元素1,2，故可按M中所
含元素的个数分类写出集合M.

解：(1)当M中含有两个元素时，M为{1,2};

(2)当M中含有三个元素时，M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1，2,5};
< br>(3)当M中含有四个元素时，M为{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，
{1,2,4, 5};

(4)当M中含有五个元素时，M为{1,2,3,4,5}.

因 此满足条件的集合M为：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，
{1,2, 3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}.

有限集合子集的确定技巧(1)确定所求的集合;

(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出;

(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合自身，看它们是否能取
到.

【例7-2】设集合A={a，b，c}，B={T|TA}，求集合B.

解：∵A={a，b，c}，又TA，

∴T可能为，{a}，{b}，{c}，{a ，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，
c}.

∴B={，{a}，{b}， {c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}}.

【例7-3】已知集合A={1,3,5}，求集合A的所有子集的元素之
和.
解：集合A的子集分别是：，{1}，{3}，{5}，{1,3}，{1,5}，
{3,5}，{ 1,3,5}.注意到A中的每个元素分别出现在A的4个子集中，
即在其和中出现4次.故所求之和为 (1+3+5)×4=36.

集合所有子集的元素之和的计算公式若集合A={a1，a2， a3，…，
an}，则A的所有子集的元素之和为(a1+a2+…+an)·2n-1.

8.集合间的基本关系与方程的综合问题

集合间的基本关系与方程的综合问题，通常 是已知两个表示方程
解集的集合间的关系，求方程中未知参数的取值范围.解决此类问题
应注意 ：

(1)要明确表示方程解集的集合中哪个字母是方程中的未知数.集
合{x|f( x)=0}表示关于x的方程的解集，x是未知数，其他字母是
常数.例如集合{x|mx2-x+23 =0}表示关于x的方程mx2-x+23=0的解
集，其中x是未知数，m是常数.此方程易错认为是 一元二次方程，
其原因是忽视了其中的参数m的取值.当m=0时，该方程为-x+23=0，
是一元一次方程;当m≠0时，该方程为mx2-x+23=0，此时才是关于
x的一元二次方程.

(2)正确理解集合包含关系的含义，特别是AB的含义.当B≠时，
对 于AB，通常要分A=和A≠两种情况进行讨论，此时，容易忽视A=
的情况.

(3 )对于二次项系数中含有参数的方程的解集问题，注意要对二
次项系数是否为零进行讨论.【例8-1】 若集合A={x|x2+x-6=0}，
B={x|mx+1=0}且BA，求m的值.
分析：由于BA，因此集合B的所有元素都是集合A的元素，但
由于集合B的元素x满足mx+1= 0，又字母m的范围不明确，m是否
为0题目没有明示，因此要进行分类讨论.本题应弄清楚两个问题：
一是集合B有没有元素;二是集合B有元素时，元素是什么.

解：A={x|x2+x-6=0}={-3,2}.

因为BA，所以方程mx+1=0的解可以是-3或2或无解.

当mx+1=0的解为-3时，由-3m+1=0得;

当mx+1=0的解为2时，由2m+1=0得;

当mx+1=0无解时，m=0.

综上可知，m的值为或或0.

【例8-2】设集合A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}，
若BA，求实数a的值或取值范围.

解：由题意得A={0，-4}，BA.

(1)当A=B时，即B={0，-4}.

由此知，0，-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两根，

由韦达定理知解得a=1.

(2)当B=时，Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0，解得a<-1.

(3)当B为单元素集时，Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0，解得a=-1.

当a=-1时，B={x|x2=0}={0}A，满足条件.

综上 所述，所求实数a的取值范围为a≤-1或a=1.9.集合间的
基本关系与不等式的综合问题

用图形来表示数，形象而直观，因此数形结合的思想在数学中广
泛应用.数轴是表示实数的，任 何一个实数在数轴上均可用一个点来
表示，反之，数轴上任何一点都代表一个实数，在数轴上表示一个< br>不等式的取值范围，形象而直观.

在数轴上表示集合时，要注意端点用实心点还是空心 点，若包含
端点，则用实心点表示，若不包含端点，则用空心点表示.

集合间的基本 关系与不等式的综合问题，通常是已知两个不等式
解集的关系，求不等式中参数的值(或取值范围)，解 决此类问题应
注意：

(1)要明确表示不等式解集的集合中哪个字母是不等式的未知 数.
集合{x|f(x)>0}，{x|f(x)<0}，{x|f(x)≥0}，{x|f(x)≤0 }均表示
关于x的不等式的解集，x是未知数，其他字母是常数.例如，集合
{x|-nx+3 <0}表示关于x的不等式-nx+3<0的解集，x是未知数，n
是常数.这个方程易错认为是一元一 次不等式，其原因是忽视了其中
的参数n的取值.当n=0时，该不等式为3<0，不是一元一次不等式 ;
当n≠0时，该不等式才是关于x的一元一次不等式.

(2)用不等号连接的式子 称为不等式，例如2<3和3<2都是不等
式，有了这种对不等式概念的正确理解就不会认为m+1
分析：集合A中是一个用具体数字表示的不等式，集合B中是一
个用字母m表示的不等式 ，集合A给出的不等式在数轴上表示为-2
到5的线段(去掉两个端点)，集合B给出的不等式，m+1 与2m-1的
大小关系有两种情形：当m+1≥2m-1时x，所以BA一定成立;当
m+1< 2m-1时，可借助于数轴来分析解决.

解：∵BA，A≠，∴B=或B≠.

当B=时，m+1≥2m-1，解得m≤2.

B≠时，如数轴所示.

则有解得

因此2

综上所述，m的取值范围为m≤2或2

【例9-2】已知集合A={x|x<-1， 或x>4}，B={x|2a≤x≤a+3}，
若BA，求实数a的取值范围.

分析：对集合B是否为空集进行分类讨论求解.

解：当B=时，只需2a>a+3，即a>3;

当B≠时，根据题意作出如图所示的数轴，

可得或解得a<-4或2

综上可得，实数a的取值范围为a<-4或a>2.

利用子集关系求参数时易疏忽端 点的验证利用子集关系求参数的
问题，在借助数轴分析时，要注意验证参数能否取到端点值.例如本题中在B≠时，解得a<-4或2