高中数学知识点求数列的通项公式

求数列的通项公式

知识要点：
求数列的通项公式是认识数列进而研究数列的关键，实际上，当数列的各项，
如果能用项数n 的解析式 来表示即：
a
n
?f
?
n
?
，找到这个解析式就得 到了数列
的各项，又因为数列是一类特殊的函数，作为函数来研究数列的性质时，若有解
析式：
a
n
?f
?
n
?
，设法求得这个通项公式则与之有 关的问题应刃而解。由于数
列的类型多，每个数列的通项公式表现是不同的，有的是“显性”在给出的数 列
中只要认真观察，联想便可得到，有的数列实际上是等差数列或等比数列，其通
项公式已有定 式，也有的数列其
a
n
与项数n 的规律必须从题目中设法挖掘出来。
为此，依求通项公式的方法可以有以下几种。

1、观察法：
一些数列给出前n 项便可归纳出通项公式，有的数列观察前几项便可分析出
是等差数列或等比数列，由等差、等比数列的通项公式，直接写出通项公式。
如：写出下列各数列的一个通项公式：
①2，－6，18，－54，162，－486，……
这可以分析依等比数列（公比为（－3））的通项公式得到：













a
n
?2
?
?3
?

111111111
②
1?，?，?，?，?，……

223344556
n?12345……
111111111
观察规律： < br>a
n
?1?????……
223344556
11
归纳得出：
a
n
??

nn?1
③15，25，35，45，55，……
观察，数列各项间有：
a
2
?a
1
?a
3
?a
2
?a
4< br>?a
3
?…?10

这是个等差数列：
a
n
?15?
?
n?1
?
10?10n?5


2、已 知数列
?
a
n
?
的前n项的和
S
n
，求通 项公式
a
n
。
这是又一种数列的给出形式即：
S
n
?g
?
n
?
型一般是以
a
n
与
S
n
的关系考虑：
a
1
?S
1
a
n
?S
n
?S
n?1
?
n?2
?

n?1
如：已知数列
?
a
n
?
的前n项的和
S
n
?n
3
?n?1
求它的通项公式。
解法是：
a
1
?S
1
?1?1?1?1

a
n
?S
n
?S
n?1
?n
3?n?1?
?
n?1
?
?
?
n?1
?
?1
?3n
2
?3n?2
此时a
1
?2?S
1??
?
3
?

∴a
n
?3n
2
?3n?2为所求数列的通项公式

3、已知递推关系式求通项公式
如果一个数列若干项后的任一项都可以用与它相邻的前面 若干项表示出来。
则这个关系式叫数列的递推公式。如
a
n?1
?a
n
?d
（d为常数）
a
n?1
?ba
n
?d
（
b?0，b,d
为常数）等等，它又分为以下几种类型：






















①形如
a
n?1
?a
n
?d
已知
a
1
求通项公式。
∵
a
n?1
?a
n
?d

d
为常数，由等差数列的通项公式（
d
为数列的公差）
得到a
n
?a
1
?
?
n?1
?
d

②形如
a
n?1
?q·a
n
（
q
为常数且
q?0
）
a
1
也已知
a?1
?q
解法为：∵
n
∴
?
a
n
?
是以
a
1
为首项，
q
为公比的等比数列
a
n
∴
a
n
?a
1
·q
n?1

③形如
a
n?1
?ca
n
?d
（
c?1、0，d
也为常数）
a
1
已知
d
解法是：在等式两边 同时加得
c?1
dd
??
a< br>n?1
??c
?
a
n
?

?
然后设辅助数列
?
c?1c?1
?
dd
< br>b
n
?a
n
?则b
n?1
?cb
n
则
?
b
n
?
是以b
1
?a
1
?< br>c?1c?1
b
n
?b
1
c
n?1
为首项，c为公比的等比数列
dd
?
n?1
?
?
?a
1
?
∴
a
n
?b
n
?
?< br>c
为所求的通项公式
c?1
?
c?1
?

如①已知数列
?
a
n
?
中
a
1
?2,a< br>n?1
?a
n
?3
?
n?N
?
求通项公式。
解法为：∵
a
n?1
?a
n
?3

∴
a
n?1
?a
n
?3

则
?
a
n
?
是以
a
1
?2
为首项，3为公差的等差数列。


∴
a
n
?2?
?
n?1
?< br>3?3n?1
为所求的通项公式。
②又如，已知
?
a
n?
中
a
1
??3
且
a
n
?2a
n?1
?1
求此数列的，通项公式。
1
解法为：两边同加
?1则 a
n
?1?2
?
a
n?1
?1
?

2?1
设
b
n
?a
n
?1
∵即
b
n
?2b
n?1

∴
?
b
n
?
是以
b
1
?a
1
?1??2
为首项， 2为公比的等比数列

∴b
n
?
?
?2< br>?
2
n?1
∴a
n
?b
n
?1?
?
?2
?
2
n?1
?1??2?1为所求的通项公式
n


4、待定系数法求通项公式
在 数列的综合题中题解的主要方法是求数列 的通项公式但通项公式的模式
题中已答只需求出相关的待定系数便可时，使用的就是待定系数法。

5、归纳、猜想、证明。
有的数列很难用以上各法，求出通项公式时，常先由 递推公式算出前几项，
发现规律、归纳、猜想出通项公式再加以证明。
a
n
如：已知数列
?
a
n
?
中
a
1
?1且a< br>n?1
?
?
n?N
?
求数列的通项公式。
a
n
?1
a
n
解法是：由
a
n?1
?
算出前几项分别为：
a
n
?1
111

a
2
?，a
3
?，a
4
?
……
234
1
猜想：
a
n
?

n
再由数学归纳法进行证明：
①
n?1时a
1
?1
等式成立
1
②假设
n?k
时等式成立，即
a
k
?

k
1
a
1
那么
n?k?1a
k?1
?
k
?
k
?

a
k?1
1
k?1
?1
k
即
n?k?1
时等式也成立
1
综合①②对任意
n?N
都有
a
n
?
成立。
n
另外此例也可用设辅助数列方法来求
a
n
，具体解法如下：
a
∵a
n?1
?
n

a
n?1
a?1
11
∴?
n
??1
< br>a
n?1
a
n
a
n

设b
n< br>?
1
a
则b
n?1
?b
n
?1
n< br>∴
?
b
?
是以b
1
n1
?
a
?1为首项，1为公差的等差数列
1

则b
n
?1?
?< br>n?1
?
?n
∴a
n
?
1
b
?1
n
n
这个解法比用猜测证明的前面解法简便。
综上，各种数列求通项公式的方法因题设条件而定，比较灵活。