2018高中数学典型例题示例-河北省高中数学竞赛省赛获奖名额
导数的背景
（5月4日）
教学目标
理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义
教学重点 瞬时速度、切线的斜率、边际成本
教学难点 极限思想
教学过程
一、导入新课
1. 瞬时速度
问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？
析：大家知道，自由落体的运动
公式是
s?
1
2
gt
（其中g是重力加速度）.
2
当时间增量
?t
很小时，从3秒到（3＋
?t
）秒这段时间内，小球下落的
快
慢变化不大. 因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒
时的速度.
从3秒到（3＋
?t
）秒这段时间内位移的增量：
?s?s(3??t)?
s(3)?4.9(3??t)
2
?4.9?3
2
?29.4?t?4.9(
?t)
2
?s
?29.4?4.9?t
.
?t
?s
从上式可以看出，
?t
越小，越接近29.4米秒；当
?t
无限
趋近于0时，
?t
?s?s
无限趋近于29.4米秒.
此时我们说，当
?t
趋向于0时，的极限是29.4.
?t?t
?s
当
?t
趋向于0时，平均速度的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做
?t
从而，
v?
??
瞬时速度.
一般地，设物体的运动规律是s＝s（t），
则物体在t到（t＋
?t
）这段时间
?ss(t??t)?s(t)?s
?<
br>. 如果
?t
无限趋近于0时，无限趋近于
?t?t?t
?s
某个常数a，就说当
?t
趋向于0时，的极限为a，这时a就是物体在时刻t
?t内的平均速度为
的瞬时速度.
2. 切线的斜率
问
题2：P（1,1）是曲线
y?x
2
上的一点，Q是曲线上点P附近的一个点，当点<
br>Q沿曲线逐渐向点P趋近时割线PQ的斜率的变化情况.
析：设点Q的横坐标为1＋
?
x
，则点Q的纵坐标为（1＋
?x
）
2
，点Q对于点
P的纵
坐标的增量（即函数的增量）
?y?(1??x)
2
?1?2?x?(?x)
2
，
所以，割线PQ的斜率
k
PQ
?y2?x?(?x)
2
???2??x
.
?x?x
由此可知，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，
?x
变得越来越小，
k
PQ
越来
越接近2；当点Q无限接近
于点P时，即
?x
无限趋近于0时，
k
PQ
无限趋近于
2.
这表明，割线PQ无限趋近于过点P且斜率为2的直线. 我们把这条直线
叫做曲线在点P处的切线.
由点斜式，这条切线的方程为：
y?2x?1
.
一般地，已知函数
y?f(
x)
的图象是曲线C，P（
x
0
,y
0
），Q（
x
0
??x,y
0
??y
）
是曲线C上的两点，当点Q沿曲线
逐渐向点P接近时，割线PQ绕着点P转动.
当点Q沿着曲线无限接近点P，即
?x
趋向于0时，如果割线PQ无限趋近于一
个极限位置PT，那么直线PT叫做曲线在点P处的切线. 此
时，割线PQ的斜
?y
无限趋近于切线PT的斜率k，也就是说，当
?x
趋向
于0时，割线
?x
?y
PQ的斜率
k
PQ
?
的极限
为k.
?x
3. 边际成本
率
k
PQ
?
问题3
：设成本为C，产量为q，成本与产量的函数关系式为
C(q)?3q
2
?10
，
我们来研究当q＝50时，产量变化
?q
对成本的影响.在本问题中，成本的增量
为：
?C?C(50??q)?C(50)?3(50??q)
2
?10?(3?50
2
?10)?300?q?3(?q)
2
.
产量变化
?q
对成本的影响可用：
?C?C
?300?3?q
来
刻划，
?q
越小，越接近
?q?q
300；当
?q
无限趋近
于0时，
?C
的极限是300.
?q
?C
无限趋近于300，我们
就说当
?q
趋向于0时，
?q
我们把
?C
的极限300叫做
当q＝50时
C(q)?3q
2
?10
的边际成本.
?q
一般地，设C是成本，q是产量，成本与产量的函数关系式为C＝C（q），
当产量为
q
0
时，产量变化
?q
对成本的影响可用增量比
?C
C(q
0
??q)?C(q
0
)
?
?q?q
刻划. 如果
?q
无限趋近于0时，
?C
无限趋近于常数A，经济学上称A为边
?q
际成本. 它表明当产量为
q
0
时，增加单位产量需付出成本A（这是实际付出成<
br>本的一个近似值）.
二、小结
瞬时速度是平均速度
切线的斜率是割线斜率
?q
趋近于0时的极限.
?s<
br>当
?t
趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，
?t
?C
?y
当
?x
趋近于0时的极限；边际成本是平均成本当
?q
?x三、练习与作业：
1. 某物体的运动方程为
s(t)?5t
2
（位移
单位：m，时间单位：s）求它在t＝2s
时的速度.
2.
判断曲线
y?2x
2
在点P（1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.
3. 已知成本C与产量q的函数关系式为C?2q
2
?5
，求当产量q＝80时的边
际成本.
4. 一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h（
单位：m）与时间t（单
位：s）之间的函数关系为
h?t
2
，求t＝4s时
此球在垂直方向的瞬时速度.
5.
判断曲线
y?
6. 已知成本C与产量
q的函数关系为
C?4q
2
?7
，求当产量q＝30时的边际
成本.
1
2
1
x
在（1，）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.
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