高中数学知识点总结 计数原理-高中数学4-4的知识点总结

高中数学知识点总结 计数原理
一、分类加法计数原理和分步乘法计数原理

1
．分类加法计数原理和分步乘法计数原理


条
分类加法计数原理
完成一件事有两类方案，在第1类方案中有m种
分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m
种不同的方法，做第2步有n种不同的方
法
完成这件事共有
N?m?n
种不同的方法
件 不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法
结
论
完成这件事共有
N?m?n
种不同的方法
【注意】区分分类与分步的依据在 于“一次性”完成．若能“一次性”完成，则不需分步，
只需分类；否则就分步处理．
2
．两个计数原理的区别与联系

原理
联系
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
两个计数原理都是对完成一件事的方法种数而言 每类办法都能独立完成这件事，它是独立每一步得到的只是中间结果，任何一步都
不能独立完成这件 事，缺少任何一步都不
可，只有各步骤都完成了才能完成这件事
各步之间是相互依存的，并且既不能重复
也不能遗漏
区别一 的、一次的，且每次得到的是最后结果，只
需一种方法就可完成这件事
区别二 各类办法之间是互斥的、并列的、独立的
特别提醒
（1）利用两个原理解决涂色问题 解决着色问题主要有两种思路：一是按位置考虑，关键是处理好相交线端点的颜色问
题；二是按使用 颜色的种数考虑，关键是正确判断颜色的种数．
解决此类应用题，一般优先完成彼此相邻的三部分或两 部分，再分类完成其余部
分．要切实做到合理分类，正确分步，才能正确地解决问题．
（2）利用两个原理解决集合问题
解决集合问题时，常以有特殊要求的集合为标准进行分类， 常用的结论有

{a
1
,a
2
,a
3
,?,a
n
}
的子集有
2
n
个，真子集有
2
n
?1
个．
二、排列

1．排列的定义
一般地，从< br>n
个不同元素中取出
m(m?n)
个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的一个排列.
特别提醒
确定一个具体问题是否为排列问题的方法：
(1)首先要保证元素的无重复性，即是从n个不 同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，否
则不是排列问题．
(2)其次要保证元素的有序 性，即安排这
m
个元素时是有顺序的，有序的就是排列，
无序的不是排列．而检验它是 否有顺序的依据是变换元素的位置，看结果是否发生变
化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序．
2．解决排列应用问题的步骤：
(1)分清问题是否与元素的顺序有关，若与顺序有关则是排列问题．
(2)注意对元素或位置有无特殊要求．
(3)借助排列数公式计算．
特别提醒
当问题的正面分类较多或计算较复杂，而问题的反面分类较少或计算更简便时往往使
用
“
间接法
”
．含
“
至多
”
、
“
至 少
”
类词语的排列
(
组合
)
问题，是需要分类问题，常用间 接法
(
即排除法
)
解答．这时可以先不考虑特殊元素
(
位置
)
，而列出所有元素的全排列数，从中再
减去不满足特殊元素
(
位置
)
要求的排列数，即排除法．

3．排列数、排列数公式

< br>从
n
个不同元素中取出
m(m?n)
个元素的所有不同排列的个数叫做 从
n
个不同元
素中取出
m
个元素的排列数，用符号
A
m
n
表示.
?
公式
A
m
n
?
n(n?1)(n?2)L(n?m?1)
，其中
m,n?N
，且
m?n，叫做排列数公
式.
n
个不同元素全部取出的一个排列，叫做
n
个元素的一个全排列，这时公式中
m?n
，即有
A
n
n
? n?(n?1)?(n?2)?L?3?2?1
，就是说，
n
个不同元素全部取
出的排列数，等于正整数1到
n
的连乘积.正整数1到
n
的连乘积，叫做< br>n
的阶乘，
用
n!
表示.所以
n
个不同元素的全排列 数公式可以写成
A
n
n
?n
!
.另外，我们规定
0 !?
1.
于是排列数公式写成阶乘的形式为
A
m
n
?n!
，其中
m,n
?N
?
，且
m?n
.
(n?m)!
特别提醒
排列与排列数是两个不同的概念，一个排列是指
“< br>按照一定的顺序排成一列
”
，它是具
体的一件事，排列数是指
“
从
n
个不同元素中取出
m(m?n)
个元素的所有不同排列的个数
”
，
它是一个数
.
三、组合

1
．组合的定义

一般地，从
n
个不同元素中取出
m(m?n)
个元素合成一组，叫做从
n
个不同元素
中取出
m
个元素的一个组合.
特别提醒
解答排列、组合综合问题的一般思路和注意点：
（1）一般思路：“先选后排”，也就是把符合题意的元素都选出来，再对元素或位
置进行排列．

（2）注意点：①元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，元素无序是组合问
题 ，元素有序是排列问题．
②对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是 分
类还是分步，这是处理排列、组合的综合问题的一般方法．
2
．组合数、组合数公式

从
n
个不同元素中取出
m(m?n)
个元素的所有不同组合的个数，叫做从
n
个不同
元素中取出m
个元素的组合数，用符号
C
m
n
表示.
A
m
n(n?1)(n?2)L(n?m?1)
?
，其中
，且
m?n< br>.这个公式叫做
C?
n
?
m,n
?N
m
A< br>m
m!
m
n
组合数公式.
因为
A
m
n
?
n!n!
，所以组合数公式还可以写成
C
m
，其中< br>m,n
?N
?
，
?
n
(n?m)!m!(n?m)!
且
m?n
.另外，我们规定
C
0
n
?1
.
3．组合数的性质
n?m
性质1：
C
m
.
n< br>?
C
n
性质1表明从
n
个不同元素中取出
m
个元素的组合，与剩下的
n?m
个元素的组合
是一一对应关系.
mm?1
性质2：
C
m
.
n?1
?C
n
?C
n
性质2表明从
n?1
个不同元素中任取
m
个 元素的组合，可以分为两类：第1类，
取出的
m
个元素中不含某个元素
a的组合，只需在除去元素
a
的其余
n
个元素中任
取
m< br>个即可，有
C
m
n
个组合；第2类，取出的
m
个元素 中含有某个元素
a
的组合，
?1
只需在除去
a
的其余
n
个元素中任取
m?1
个后再取出元素
a
即可，有
Cm
个组合.
n

四、二项式定理

1．二项式定理
n1n?1kn?kknn?
(a?b)
n
?C< br>0
a?Cab?L?Cab?L?Cb(n?N)
，这个公式叫做二项
nnnn
式定理，等号右边的多项式叫做
(
a?b
)
n
的二项展开式 ，共有
n
+1项，其中各项的
系数
C
k
n
(
k?
{0,1,2,
L
,
n
})
叫做二项式系数. 二项展开式中的
C
n
a
kn?k
b
k
叫做二项 展开式的通项，用
T
k?1
表示，即通项为展开式的第
kn?kk
a b
.
k?1
项：
T
k?1
?C
n
2．二项式系数的性质
（1）对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接
n?m
由公式
C
m
得到.
n
?
C
n
（ 2）增减性与最大值.当
k?
n?1n?1
时，二项式系数是逐渐增大的；当
k?
时，
22
二项式系数是逐渐减小的，因此二项式系数在中间取得最大值.当
n
是偶数时，中间
的一项的二项式系数
C
最大；当
n
是奇 数时，中间的两项的二项式系数
C
相等且最大.
122kknn
（3）各二 项式系数的和.已知
(1?x)
n
?C
0
n
?C
n
x?C
n
x?L?C
n
x?L?C
n
x
. 令
n
2
n
n?1
2
n
,C
n?1
2
n
n
12n
x?1
，则
2
n
?C
0
.也就是说，的展开式的各个二项式系
(a?b)
?C?C?L?C
nn nn
数的和为
2
n
.
（4）奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即
213n?1
. < br>C
0
n
?C
n
?L?C
n
?C
n< br>?L?2
特别提醒

求二项展开式的特定项问题
,
实质 是考查通项的特点
,
一般需要建立方程求
k
,
再将
k
的值代回通项求解
,
注意
k
的取值范围（
k?0,1,2,L,n
）
.
（
1
）第
m
项：：此时
k
+1=
m
,
直接代入通项
.
（
2
）常数项：即这 项中不含
“
变元
”,
令通项中
“
变元
”
的 幂指数为
0
建立方程
.
（
3
）有理项：令通项中
“
变元
”
的幂指数为整数建立方程
.