高中数学高考要求学生能力-高中数学说课事情
函数的最大与最小值
（5月8日）
教学目标：1、使学生掌握可导
函数
f(x)
在闭区间
?
a,b
?
上所有点（包括端
点
a,b
）处的函数中的最大（或最小）值；
2、使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法
教学重点：掌握用导数求函数的极值及最值的方法
教学难点：提高“用导数求函数的极值及最值”的应用能力
一、复习：
1、x
n
??
?___________
；2、
?
C?f(x)?g(x)
?
?_____________
3、求y=x
3
—27x的 极值。
二、新课
在某些问题中，往往关心的是函数在一个定义区间上，哪个值最大，哪个值最小
观察下面一个
定义在区间
?
a,b
?
上的函数
y?f(x)
的图象
y
发现图中____________是极小值，_________是极大值，在区间
?
a,b
?
上的函数
y?f(x)
的最大值是______，最小值是_______
o
a
xX
2
X
3
1
在区间
?
a,b
?
上求函数
y?f(x)
的最大值与最小值
的步骤：
1、函数
y?f(x)
在
(a,b)
内有导数 ；
．．．．
2、求函数
y?f(x)
在
(a,b)
内的极值
3、将函数
y?f(x)
在
(a,b)
内的极值与
f(a)
,f(b)
比较，其中最大的一个为最大
．
值 ，最小的一个为最小值
三、
例1、求函数
y?x
4
?2x
2
?5
在区间
??2,2
?
上的最大值与最小值。
解：先求导数，得
y
?4x
3
?4x
令
y
＝0即
4x
3
?4x?0
解得
x
1
??1,x
2
?0,x
3
?1
导数
y
的正负以及
f(?2)
，
f(2)
如下表
－1
（－1，0）
X －2
（－2，－1）
0
y
0 ＋ 0
y 13 4
5
b
x
（0，1）
－
1
0
4
（1，2）
＋
2
13
从上表知，当
x??2
时，函数有最大值13，当
x??1
时，函数有最小值4
在日常生活中，常常会遇到什么条件下可以使材料最
省，时间最少，
效率最高等问题，这往往可以归结为求函数的最大值或最小值问题。
例2 用
边长为60CM的正方形铁皮做一个无盖的水箱，先在四个
角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转9
0°角，再焊接而
成，问水箱底边的长取多少时，水箱容积最大，最大容积是多少？
例3、已知某商品生产成本C与产量P的函数关系为C＝100＋4P，
价格R与产量P的函数
关系为R＝25－0.125P，求产量P为何
值时，利润L最大。
四、小结：
1
、闭区间
?
a,b
?
上的连续函数一定有最值；开区间
(a,b)<
br>内的可导函数
不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值。
2、函数
在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值
可能不止一个，也可能没有一个。 3、在解决实际应用问题中，关键在于建立数学模型和目标函数；如果函
数在区间内只有一个极值点
，那么根据实际意义判断是最大值还是最小值
即可，不必再与端点的函数值进行比较。
五、练习及作业：：
1、函数
y?x
2
?5x?4
在区间
?
?1,1
?
上的最大值与最小值
2、求函数
y?3x?x
3<
br>在区间
?3,3
上的最大值与最小值。
3、求函数
y?x
4
?2x
2
?5<
br>在区间
?
?2,2
?
上的最大值与最小值。
4、求函数
y?x
5
?5x
4?5x
3
?1
在区间
?
?1,4
?
上的最大值
与最小值。
5、给出下面四个命题
9
4
（2）函数
y?2x
2
?4x?1
（2＜X＜4）上的最大值为17，最小值为1
（3）函数
y?x
3
?12x
（－3＜X＜3）上的最大值为16
， 最小值为－16
（4）函数
y?x
3
?12x
（－2＜X＜2）上 无 最大值
也无 最小值。
其中正确的命题有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
??
（1）函数y?x
2
?5x?4
在区间
?
?1,1
?
上的
最大值为10，最小值为－
6、把长度为L
CM的线段分成四段，围成一个矩形，问怎样分法，所围成矩形
的面积最大。
7、把长度为L
CM的线段分成二段，围成一个正方形，问怎样分法，所围成正
方形的面积最小。
8、某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件X元出售，
可以卖出
(200-X)件，应该如何定价才能使利润L最大？
9、在曲线Y=1—X
2
(X
?
0，Y?
0)上找一点了(
x
0
,y
0
)，过此点作一切线，
与X、
Y轴构成一个三角形，问X
0
为何值时，此三角形面积最小？
10、要设计一个容积为V的圆柱形
水池，已知底的单位面积造价是侧面的单位
面积造价的一半，问：如何设计水池的底半径和高，才能使总
造价最少？
1
?
1
?
(提示：
??
??
2
)
x
?
x
?