高中数学知识点总结导数的定义及几何意义

导数的定义及几何意义
1．
f(x
0
)?lim
< br>?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
叫函数y?f(x)
在
x?x
0
处的导数，记作
y

|
x?x
0
。
?x
注：①函数应在点
x
0
的附近有定义，否则导数不存在。②在定义导数的极限式中，
?x
趋近
于0可正、可 负、但不为0，而
?y
可能为0。③
?y
是函数
y?f(x)
对自变量
x
在
?x
范
?x
围内的平均变化率，它的几何意 义是过曲线
y?f(x)
上点（
x
0
，
f(x
0< br>)
）及点（
x
0
+
?x
，
f(x
0
??x
0
)
）的割线斜率。④导数
f

(x
0
)?lim
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0)
是函数
y?f(x)
在
?x
点
x
0
的处瞬时变化率，它反映的函数
y?f(x)
在
x
0
点处变化的快慢 程度，它的几何意义是
曲线
y?f(x)
上点（
x
0
，f(x
0
)
）处的切线的斜率。⑤若极限
lim
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
不
?x
存在，则 称函数
y?f(x)
在点
x
0
处不可导。⑥如果函数
y?f (x)
在开区间
(a,b)
内每一点
都有导数，则称函数
y?f(x )
在开区间
(a,b)
内可导；此时对于每一个
x
∈
(a, b)
，都对应
着一个确定的导数
f
(
x
)
，从而构 成了一个新的函数
f(x)
，称这个函数
f(x)
为函数

y ?f(x)
在开区间
(a,b)
内的导函数，简称导数；导数与导函数都称为导数，这 要加以区分：
求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。
[举例1]若
f(x
0
)?2
，则
lim
k? 0
f(x
0
?k)?f(x
0
)
等于：
2k
(A) -1 (B) -2 (C) 1 (D) 12

解析：∵
f(x
0
)?2
，即
lim
?k?0
f[x
0
?(?k)]?f(x
0
)f(x
0
?k)?f(x
0
)
=2
?
lim
=-1。
k?0
?k2k
nn?1
[举例2] 已 知
a?0,n
为正整数设
y?(x?a)
，证明
y'?n(x?a)
n

解析：本题可以对
y?(x?a)
展开后“逐项”求导证明；这里用导数的定义证明：
(x??x?a)
n
?(x?a)
n
y?lim
=
?x?0
?x

12n
(x?a)
n
?C< br>n
(x?a)
n?1
?x?C
n
(x?a)
n?2< br>(?x)
2
???C
n
(?x)
n
?(x?a)n
lim
=
?x?0
?x
2n
n(x?a)
n?1
?x?C
n
(x?a)
n?2
(?x)
2
? ??C
n
(?x)
n
lim
=
?x?0
?x?x?0
23n
lim[n(x?a)
n?1
?C
n
( x?a)
n?2
?x?C
n
(x?a)
n?3
(?x)2
???C
n
(?x)
n?1
]
=
n(x?a )
n?1
。
[巩固1]一质点作曲线运动，它的位移S与时间
t
的 关系为：
S?
定义求
t
=3时的速度。
t?1
2
，试用导数的
?2t
2
t
[巩固2]设 C是成本，q是产量，成本与产量的函数关系式为C＝C（q），当产量为
q
0
时，< br>产量变化
?q
对成本的影响可用增量比
?C
C(q
0
??q)?C(q
0
)
?
刻划. 如果
?q
无限趋
?q?q
近于0时，
?C
无限趋近于常数A，经济学上称A为边际成本. 它表明当产 量为
q
0
时，增
?q
加单位产量需付出成本A（这是实际付出成本的 一个近似值）。设生产x个单位产品的总成
x
2
本函数是C(x)＝8＋，则生产8个 单位产品时，边际成本是： （ ）
8
A．2 B．8 C．10 D．16
2．常用导数公式：
c'?0,
(x)'?nx
nn?1

,
(e)?e
，
( lnx)?
xx
1
；
x
导数的运算法则：若函数
f(x)
与
g(x)
的导数存在，则
[f(x)?g(x)]'?f'(x)?g'( x)
,
[cf(x)]'?c?f'(x)
，
[f(x)g(x)]

?f

(x)g(x)?f(x)g

(x)
；
f (x)

f

(x)g(x)?f(x)g

(x)
（这 个公式很容易记错，注意和“积的导数”对比）；
()?
g(x)
g
2(x)
复合函数的导数：由
y?f(u)
与
u
=
?(x)
得到复合函数
y?f
?
?
(x)
?
，则
y
x
=
y
u
.
u
x
。
'''
[举例1]已知
f(x)?x?xf(1)?x
，则
f(2)
= 。
解析：
f(1)
是常数，∴
f(x)?3x?2x f(1)?1
?
f(1)
=3+2
f(1)
-1
?
f(1)
= -2
∴
f(x)?3x?4x?1
，故
f(2)
=3。
123 n
[举例2]
n?N
?
，
C
n
?2C
n< br>?3C
n
???nC
n
= 。
32
22
解析：本题可以用“倒序相加”法，也可以用“通项变化”法（k
C
n
= n
C
n?1
）；这里，我
n012233nnkk
们观察
(1?x)?C
n
?C
n
x?C
n
x?C
nx???C
n
x
①，不难发现其通项
C
n
x求
k
k?1
导后的系数正是所求“项”；故考虑对①式两边同求导数，得：

1232nn?1
n(1?x)
n
?C
n
?2C
n
x?3C
n
x???nC
n
x
，令
x< br>=1得：
123n
n
C
n
?2C
n
?3C
n
???nC
n
=
n?2

[巩固1] 已知f(x)?x?1?ln
2
x?2alnx(x?0)
．令
F(x)?x f
?
(x)
，则
F(x)
= 。
[巩固2] 已知函数
f(x)?(x?1)(2x?1)(3x?1)?(nx?1)
，则
f(0 )
的值为：
A．
C
n
B．
C
n?1
C．
A
n
D．
A
n?1

3．函数
f(x)
在
x?x
0
处的导数
f'(x
0
)
的几何意义：曲线
C:y?f( x)
在其上点
P(x
0
，
y
0
)
处的切线 的斜率。用导数研究切线问题，
切点
是关键（切点在切线上、切点在曲线上、切点
横坐 标的导函数值为切线斜率）。
[举例1]曲线
y?e
Ａ．
1
x2
22
22


在点
(4，e)
处的切线与坐标轴 所围三角形的面积为（ ）
2
2
9
2
e

2

1
x
2
Ｂ．
4e

1
Ｃ．
2e

2
Ｄ．
e
（07高考海南理10）
2
解析：
y?e
1
2
x
1
?
y?e
，则]曲线在点
(4，e
2
)
处的切线 斜率为：
e
2
，
2
2

∴切线方程为：
y?e?
2
1
2
2
（2，0），（0，-
e
）；
e
(
x?
4)
，它与坐标轴的交点分别为：
2
2< br>∴切线与坐标轴所围三角形的面积为：
e
，选D。
[举例2]函数
y ?f(x)
的图象在点P处的切线方程是：
y??x?8
，若点P的横坐标为5，
则
f(5)?f(5)
= 。
解析：本题没有函数表达式，但有切线方程
y??x?8
，注意到“切点在切线上”，
∴P（5，3）；又“切点在曲线上”，∴
f(5)?3
；而曲线
y?f(x )
在点P处的切线斜率为
f(5)
，

即
f(5)
=-1，故
f(5)?f(5)
=2。



[举例3]已知直线
x?y?1?0
与抛物线
y?ax< br>相切，则
a?______.

解析：本题固然可以将直线方程带入抛物线方程 中，使得到的一元二次方程的判别式
?
=0，
从而求出
a
的值；但 这种做法只限于二次曲线，若将抛物线换成其它的非二次曲线，则此路
不通。以下用“导数”求解：“切 点”是关键，记切点P（
x
0
，
y
0
），
y?2a x
，则有：
2
x
0
?y
0
?1?0
（切点在切线上）①；
y
0
?ax
0
（切点在曲线上）②
2

1
。
4
1
，f(1))
处的切线方程 是
y?x?2
，则[巩固1]已知函数
y?f(x)
的图象在点
M( 1
2
2ax
0
=1 （切点横坐标的导函数值为切线斜率）③；由①②③解 得：
a?
f(1)?f
?
(1)?
＿＿＿＿．（07高考湖北文13 ）

[巩固2]点P是曲线
y?x?x?
围是A、
?
0,
3
2
上的动点，设点P处切线的倾斜角为
?
，则
?的取值范
3
?
?
??
?
??
3
???
?
3
?
?
?
3
?
?
0, ?,
?
,
?
B、 C、 D、
???
,
?

?
???
?
?
2
??
2
??
4
??
24
?
?
4
?
[巩固3]若直线y=x是曲线y=x
3
-3x
2
+ax 的切线，则a=___________
4、注意区分“求曲线
y?f(x)
上过点 M的切线”与“求曲线
y?f(x)
上在点M处的切
线”；
前者只要求切线过M点，M点未必是切点；而后者则很明确，切点就是M点。
[举例]求函数y=x
3
-3x
2
+x的图象上过原点的切线方程
解析：易见O（0，0）在函数y=x
3
-3x
2
+x的图象上，y
’
=3x
2
－6x+1,但O点未必是切点。
设切点A（x
0
,y
0
）∵y
’
=3x
2
－6x+1, ∴切 线斜率为3x
0
2
－6x
0
+1,又切线过原点，∴
kAO
?
y
0
=3x
0
2
－6x
0+1即：y
0
=3x
0
3
－6x
0
2
+x
0
①
x
0
又∵ 切点A（x
0
,y
0
）y=x
3
-3x
2
+x的图象上∴y
0
=x
0
3
－3x
0
2
+x
0
②
由①②得：x
0
=0或x
0
=
3
，∴切线方程为：y=x或5x+4y=0 < br>2
点评：一般地,过三次曲线的对称中心（不难证明三次曲线一定是中心对称图形，且对称中心在曲线上）的切线有且仅有一条；而过三次曲线上除对称中心外的任一点的切线有二条。
以下给出 简单证明（不要求学生掌握）：由于三次曲线都是中心对称曲线，因此，将其对称
中心移至坐标原点便可 将三次函数的解析式简化为
f(x)?ax?bx
。若M（x
1
，y
1
）是三次
曲线
f(x)?ax?bx
上的任一点，设过M的切线与曲线y= f（x）相切于（x
0
，y
0
），则切线
方程为
y?y0
?f
?
(x
0
)(x?x
0
)
，因 点M上此切线上，故
y
1
?y
0
?f
?
(x
0
)(x
1
?x
0
)
，又
3
3
y
0
?ax
0
?bx
0
,y
1
?ax1
?bx
1
，所以
ax
1
?bx
1
? (ax
0
?bx
0
)?(3ax
0
?b)(x
1< br>?x
0
)
，
2
整理得：
(x
0
?x
1
)(2x
0
?x
1
)?0
，解得，
x< br>0
?x
1
或
x
0
??
33332
x
1
。 当点M是对称中心即
x
1
=
2
-
x
1
=0时，过点M作曲线的切线切点是惟一的，且为M，故只有一条切线；当点M不是对称< br>2
中心即
x
1
?0
时，过点M作曲线的切线可产生两个不同的 切点，故必有两条切线，其中一
条就是以M为切点（亦即曲线在点M处）的切线。
，?3)
的切线方程是 ． [巩固] 曲线
y?x?2x?4x?2
上过点
(1

32

答案
3232x?2
，[巩固2]A，2、[巩固1]
F
?
(x)?1??，x?0
；[巩固2]B；
27xx
13
3、[巩固1] 3，[巩固2]B，[巩固3]1或；4、[巩固]< br>5x?y?2?0
，或
21x?4y?9?0

4
1．[巩固1]