高中数学直线和圆的方程知识点总结

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高中数学之直线与圆的方程
一、概念理解：
1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x轴正方向；
②平行：α=0°；
③范围：0°≤α＜180°。
2、斜率：①找k：k=tanα（α≠90°）；
②垂直：斜率k不存在；
③范围：斜率k∈R。
3、斜率与坐标：

ktan

y
1

y
2

y
2

y
1
x
1
x
2
x
2
x
1
①构造直角三角形（数形结合）；
②斜率k值于两点先后顺序无关；
③注意下标的位置对 。应
4、直线与直线的位置关系：

l
1
:ykxb,l:ykxb
11222

①相交：斜率

k
1
k（前提是斜率都存在）
2

特例----垂直时：<1>0
l
1
x轴，即k不存在，则
12
k；
<2>斜率都存在时：1
k
1
k。
2
②平行：<1> 斜率都存在时：k
1
k
2
,b
1
b
2
；
<2>斜率都不存在时：两直线都与x轴垂直。

③重合：斜率都存在时：

k
1
k,bb
212
；
二、方程与公式：
1、直线的五个方程：
①点斜式：()
yy
0
kxx将已知点(x
0
0
,y
0
)与斜率k直接带入即可；
②斜截式：ykxb将已知截距(0,b)与斜率k直接带入即可；
yyxx
1xxyy
1
③两点式：(,)
，其中将已知两点(,),(,)
x
1
yxy直接1212122
yyxx
2121
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带入即可；

xy
④截距式：1
ab
将已知截距坐标(a,0),(0,b)直接带入即可；

⑤一般式：AxByC0，其中A、B不同时为0
用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。
2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可
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3、距离公式：

①两点间距离：

P
1
P(xx)(yy)
21212

②点到直线距离：
d
22
Ax By C
0 0
2

2
A
B

③平行直线间距离：
d
C C
1 2
2 2
A B
4、中点、三分点坐标公式：已知两点(,),(,)
Ax
1
yBxy
122
x
1
xyy
①AB中点(,)
x
0
y：(,)
0
22

②AB三分点(,),(,)
s
1
tst：(,)
122
33
x
1
2xy2y )

212
(
靠近B的三分点坐标
,
33
中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。
三分点坐标公式，用得较少，多见于大题难题。
5.
直线的对称性问题
212
2x
1
x2yy
212
靠近A的三分点坐

标
已知点关于已知直线的对称:设这个点为P（x0，y0）,对称后的点坐标为P’（x，y），则
pp’的斜率与已知直线的斜率垂直，且pp’的中点坐标在已知直线上。
三、解题指导与易错辨析：
1、解析法（坐标法）：
①建立适当直角坐标系，依据几何性质关系，设出点的坐标；
②依据代数关系（点在直线或曲线上），进行有关代数运算，并得出相关结果；
③将代数运算结果，翻译成几何中“所求或所要证明”。
y2、动点P到两个定点A、B的距离“最值问题”：
①PAPB
的最小值：找对称点再连直线，如右图所示：



②PAPB
的最大值：三角形思想“两边之差小于第三边”
；
③

2PB

o

x
2
PA的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”。
3、直线必过点：①含有一个参数---- y=(a-1)x+2a+1=>y=(a-1)(x+2)+3
令：x+2=0=>必过点(-2,3)
②含有两个参数----(3m-n)x+(m+2 n)y-n=0=>m(3x+y)+n(2y-x-1)=0
令：3x+y=0、2y-x-1=0联立方程组求解=>必过点(-17,37)
4、易错辨析：
①讨论斜率的存在性：
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解题过程中用到斜率，一定要分类讨论：<1>斜率不存在时，是否满足题意；
<2>斜率存在时，斜率会有怎样关系。
②注意“截距”可正可负，不能“错认为”截距就是距离，会丢解；
（求解直线与坐标轴围成面积时，较为常见。）
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③直线到两定点距离相等，有两种情况：
<1>直线与两定点所在直线平行；
<2>直线过两定点的中点。
圆的方程
6.
定义：一个动点到一个定点以定长绕一周所形成的图形叫做圆，其中定点称
为圆的圆心，定长为圆的半径.
7.
圆的方程表示方法：
2yDxEyF

DE
2
C,
22
，
第一种：圆的一般方程——x0其中圆心
2EF
D4
2
半径r.
2
当D40时，方程表示一个圆，
2
EF
2
2
EF
2

D.
当D40时，方程表示一个点
E
,
22
2
E
2
F
当D40时，方程无图形.
第二种：圆的标准方程——

2()
22
(xaybr.其中点C(a,b)为圆心，r为半径的
)
圆
第三种：圆的参数方程——圆的参数方程：

x

a

r

cos

y b r sin
（为参数） 注：圆的直径方程：已知A(x
1
,y
1
)B(x
2
, y
2
)(xx
1
)(xx
2
)(yy
1
) (yy
2
)0
8.
点和圆的位置关系：给定点(,)

C:(xa)ybr.
2
()
2
M及圆
2
2
()
2
2
x
0
y

①M在圆C内

(xaybr
22
0

2
0)()

②M在圆C上

（

x
22
0
2
0
a)(yb)r

0

③M在圆C外

(xa)(yb)r
22 2
0

0
9.
直线和圆的位置关系：
2ybrr
22B
2
2

设圆圆C：(xa)()(0)；直线l：AxByC0(A0)；

圆心C(a,b)到直线l的距离

AaBbC
d.
2B
A
2
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①dr时，l与C相切；
②dr时，l与C相交；，
③dr时，l与C相离.
5、圆的切线方程：
①一般方程若点(x
0
,y
0
)在圆 上，则(x–a)(x
0
–a)+(y–b)(y
0
–b)=R
2
.特别地，
过圆
2yr
22
2

x
0
xyyr.(注:该点在圆上，则切线方程只
x上一点P(x
0
,y
0
)的切线方程为
有一条)
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0
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y

y

k(x

x

)
1 0 1 0
，联立求出k切线方程.（注：
②若点(x
0
,y
0
)不在圆上，圆心为(a,b)则

b

y

k(a

x

)

1 1
R
2
R1

过圆外的点引切线必定有两条,若联立的方程只有一个解，那么另外一条切线必定是垂直于
X轴的直线。）
10.
圆系方程：
过两圆的交点的圆方程：假设两圆方程为：C1:x
C2:x
+y+D+y+D
2222
2x+E2y+F2=0
则过两圆的交点圆方程可设为：
x1x+E 1y+F1+λ+y+D+y+D
2222
+y+D1x+E1y+F1=0
1x+E1y+F1=0
22
（x2x+E2y+F2）=0
22
+y+D
2222
过两圆的交点的直线方程：x1x+E1y+F1-x+y+D

+y+D2x+E2y+F2=0（两圆的方程相减得到的
22
+y+D 方
2x+E2y+F2=0（两圆的方程相减得到的
方
程就是直线方程）
11.
与圆有关的计算：
2
2
弦长的计算：AB=2*√R-d

其中R是圆的半径，d等于圆心到直线的距离
2
-d
2
AB=（√1+k）*∣X1-X2∣其中k是直线的斜率，X1与X2是直线与圆的方程联
立之后得到的两个根
过圆内的一点的最短弦长是垂直于过圆心的直线
圆内的最长弦是直径
12.
圆的一些最值问题
①圆上的点到直线的最短距离=圆心到直线的距离减去半径
②圆上的点到直线的最长距离=圆心到直线的距离加上半径
③假设P（x，y）是在某个圆上的动点，则（x-a）（y-b）的最值可以转化为圆上的点与
该点（a，b）的斜率问题，即先求过该定点的切线，得到的斜率便是该分式的
最值。
④假设（Px，y）是在某个圆上的动点，则求x+y或x- y的最值可以转化为：设T=x+y或T=x-y，
在圆上找到点(X,Y)使得以y=x+T或y=x-T在Y轴上的截距最值化。
13.
圆的对称问题
①已知圆关于已知的直线对称，则对称后的圆半径与已知圆半径是相等的，只需求出已知圆
的圆心关于该直线对称后得到的圆心坐标即可。
②若某条直线无论其如何移动都能平分一个圆，则这个直线必过某定点，且该定点是圆的圆
心坐标
圆锥曲线
椭圆
椭圆：平面内到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间距离）的点的集合

1、定义：
PFPF2a(2aFF)第二定义：(01)
1212
PFc
ee
da
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22
2、标准方程：
xy
221(ab0)
ab

22
或
yx
221(ab0)
ab

；
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3、参数方程
xa

yb
cos

sin

（为参数）几何意义：离心角
4、几何性质：（只给出焦点在x轴上的的椭圆的几何性质）
①、顶点(a,0),(0,b)
②、焦点(c,0)
c
③、离心率
e(0e1)
a
2
a
④准线：x
（课改后对准线不再要求，但题目中偶尔给出）
c

5、焦点三角形面积：

Sb（设F
1
PF
2
）(推导过程必须会)
2
tan
PFF
12
2
6、椭圆面积：Sab
椭（了解即可）
7、直线与椭圆位置关系：相离（0
）；相交（
0
）；相切（
0
）

判定方法：直线方程与椭圆方程联立，利用判别式判断根的个数
8、椭圆切线的求法

1）切点（
xy）已知时，
00

22
xy
221(ab0)
ab
22
yx
221(ab0)
ab

22
xy
221(0)
ab

ab
22
yx
221(0)
ab
ab
9、焦半径：椭圆上点到焦点的距离

22
xy
221(0)
ab

ab
22
ya
221(ab0)
ab

raey（下加上减）
0
raex（左加右减）

0

切线

ykxbka
222

xxyy
切线
00
221
ab

yyxx
切线
00
221
ab

切线

ykxakb


222
2）切线斜率k已知时，
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双曲线

PFc

1、定义：
PF
1
PF
2
2a第二定义：e(e1)
da
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22
2、标准方程：
xy
221(0,0)
ab
ab
22

yx
221(a0,b0)
ab

参数方程：
xa

yb
3、几何性质
①顶点(a,0)
②焦点(c,0)cab

c

③离心率
e
a

2
④准线
x
a
c
⑤渐近线

22
xy
221(a0,b0)
ab
22
yx
221(a0,b0)
ab

e 1
222
（焦点在x轴）


（焦点在y轴）
sec

（为参数）用法：可设曲线上任一点P(asec,btan)
tan


b
yx
a

b
yx
a


22
或
xy
220
ab

22
或
yx
220
ab
4、特殊双曲线

22
①、等轴双曲线
xy
221
aa

22
②、双曲线
xy
221
ab

e2渐近线yx

22
xy
221
的共轭双曲线
ab

性质1：双曲线与其共轭双曲线有共同渐近线
性质2：双曲线与其共轭双曲线的四个焦点在同一圆上
5、直线与双曲线的位置关系
①相离（0
）；②
相切（0
）
③相交（0
）

；
判定直线与双曲线位置关系需要与渐近线联系一起
0
时可以是相交也可以是相切

6、焦半径公式

22
xy
221(a0,b0)
ab

点P在右支上rex
0
a（左加右减）

点P在左支上

r(exa)（左加右减）
0
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22
yx
221(0,0)
ab
ab
点P在上支上rey
0
a（下加上减）


7、双曲线切线的求法

①切点P(x
0
,y
0
)已知
点P在上支上

r(eya)（下加上减）
0

22
xy
221(a0,b0)
ab
22
yx
221(a0,b0)
ab

22
xy
221
ab
22
yx
221
ab


xxyy
切线
00
221
ab

yyxx
切线
00
221
ab

22()
ykxakbk
a

ykxabkk
22(b)
a
2
2

②切线斜率K已知
b


8、焦点三角形面积：

Sb（为F
1
PF
2
）
2
cot
PFF
12
2
抛物线
1、定义：平面内与一定点和一定直线的距离相等的点的集合（轨迹）
2、几何性质：P几何意义：焦准距焦点到准线的距离设为P

标准方程：

22(0)
ypxp

22(0)
ypxp
图像：
范围：x0x0
对称轴：x轴x轴
顶点：（0，0）（0，0）
pp
焦点：（,0
）
（,0
22
离心率：e1e1
p
准线：
x
2
标准方程：

22(0)
xpyp
图像：

22(0)
xpyp
）

p
x
2

范围：y0y0
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对称轴：y轴y轴
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定点：（0，0）（0，0）

焦点：（0，
离心率：e1e1

准线：
2

y
p

p

y
2
p
2
）(0,)
p
2

3、参数方程

2
x2pt

（t为参数方程）

22(0)
y2pt
ypxp
4、通径：过焦点且垂直于对称轴的弦

2
椭圆：双曲线通径长
2b

抛物线通径长2P
a
5、直线与抛物线的位置关系
1）相交（有两个交点或一个交点）2）相切（有一个交点）；
3）相离（没有交点）
6、抛物线切线的求法

1）切点P

22(0)
(x,y)
00
已知：
ypxp的切线；y
0
yp(xx
0
)

2）切线斜率K已知：

22(0):
p
ypxpykx
2k

22(0):
p
ypxpykx
2k
2

22(0):

xpypykx
2
pk
2
pk

22(0):

xpypykx
2
此类公式填空选择或解答题中（部分）可作公式直接应用
附加：弦长公式：ykxb与曲线交与两点A、B则
12
dABxx1kyy1
21212
k
解题指导：
轨迹问题：
(一)求轨迹的步骤
1、建模：设点建立适当的坐标系，设曲线上任一点p（x，y）
2、立式：写出适条件的p点的集合
3、代换：用坐标表示集合列出方程式f（x，y）=0
4、化简：化成简单形式，并找出限制条件
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5、证明：以方程的解为坐标的点在曲线上
（二）求轨迹的方法
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1、直接法：求谁设谁，按五步去直接求出轨迹
2、定义法：利用已知或几何图形关系找到符合圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义
3、转移代入法：适用于一个动点随另一曲线上的动点变化问题
4、交轨法：适用于求两条动直线交点的轨迹问题。用一个变量分别表示两条动直线，
然后联立，消去变量即可。
5、参数法：用一个变量分别表示所求轨迹上任一点的横坐标和纵坐标，联立消参。
6、同一法：利用两种思维分别求出同一条直线，再参考参数法，找到轨迹方程。
2xx2xx。弦长问题：|AB|=(1k)[()4]
1212
弦的中点问题：中点坐标公式-----注意应用判别式。
Ⅰ.求曲线的方程
1．曲线的形状已知
这类问题一般可用待定系数法解决。
例1（1994年全国）
已知直线L过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点A（-1，0）
和点B（0，8）关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程。
分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法。

=2px(p>0)
设出它们的方程，L：y=kx(k≠0),C:y

.

设A、B关于L的对称点分别为A、B
2

2


16k8(k
A

（
k
1
,
2k
（
,
2
（
2
1 k 1
），B
2k
k
k1
1

525
2
得：k-k-1=0.解得：k= ,p=.
2
-k-1=0.解得：k=
25
所以直线L的方程为：y=
154

25
2
，则利用对称性可求得它们的坐标分别为：

1)


）。因为A、B均在抛物线上，代入，消去p，

、B均在抛物线上，代入，消去p，
1
2
x,抛物线C的方程为y=
2
=
2
5

x
.
2．曲线的形状未知-----求轨迹方程
例3（1994年全国）
已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x
2
+y=1,动
M
2
点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数（>0）,
N
求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。
分析：如图，设MN切圆C于点N，则动点M组成的
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OQ
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集合是：
P={M||MN|=|MQ|}，由平面几何知识可知：|MN|
可得：(

-1)(x+y)-4x+(1+4)=0.
当=1时它表示一条直线；当≠1时，它表示圆。
这种方法叫做直接法。
22222
=|MO|-|ON|=|MO|-1，将M点坐标代入，

2222
Ⅱ.研究圆锥曲线有关的问题
B
1．有关最值问题
C
例6(1990年全国)
设椭圆中心为坐标原点，长轴在x上，离心率，
OAx
）到这个椭圆上的点的最远距离是7，
3

已知点（P0，
2
求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P的距离等于7的点的坐标。
分析：最值问题，函数思想。关键是将点P到椭圆上点的距离表示为某一变量是函数，
然后利用函数的知识求其最大值。

22
xy
设椭圆方程为1
22
ab
，则由e=
22222

3

得：a=4b，所以x=4b-4y

.
2222
=4b，所以x=4b-4y
2
设Q(x,y)是椭圆上任意一点，则:

2)
2

3
x(y
=
2
1

1

若b< ，则-
2 2
<-b,当y=-b时|PQ|
max
=7
3b343.
解得：b=7-
得:b=1,a=2.
2．有关范围问题
例7（2001春季高考题）
已知抛物线y
2
|PQ|=

2yy2y
2
yb
2

2
39
4b4()334
(-byb).
24
2bbbb
99
2
2
3 1 1
> 与b< 矛盾；若b
2 2 2
44
1 1
2
，则当y=-
2 2
时|PQ|max=4b37,解
=2px(p>0)，过M（a,0）且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、
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B，|AB|≤2p。
（1）求a的取值范围；
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（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值。
分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于（1），可以设法得到关于a的不
等式，通过解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a表示为另一个变量
的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于（2）首先要把△NAB的面积表示为一个变
量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。
解：(1)直线L的方程为：y=x-a,将y=x-a代入抛物线方程y
2
=2px,得：设直线L与抛
2
4(ap)4a0
物线两交点的坐标分别为A（x1,y1）,B(x2,y2)，则

,又y1=x1-a,y2=x2-
x

x2(a p)

1 2
a,
2

x x
a
1 2
222
]8p(p2a)

|AB|(xx)(yy)2[(xx)4x
1
x
2

121212
0|AB|2p,8p(p2a)0,08p(p2a)2p,
pp
解得:.
a
24
(2)设AB的垂直平分线交AB与点Q，令其坐标为 （x
3
,y
3
），则由中点坐标公式得：
xxyy(xa)(xa)
121212
3,.xapy
3
p
222

2 2 22

所以|QM|
=(a+p-a) +(p-0) =2p
.又△MNQ为等腰直角三角形，所以|QM|=|QN|=2P，
1

22

|
2
2
AB||QN|p|AB|p2p2p,即△NAB面积的最大值为
22
所以S
△NAB
=
2

2P

。
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