《函数的对称性》高一数学知识点总结

《函数的对称性》高一数学知识点总结
一、函数自身的对称性探究
定理1.函数=f(x)的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是
f(x)+f(2a－x)=2b
证明：（必要性）设点P(x,)是=f(x)图像上 任一点，∵点P(x,)
关于点A(a,b)的对称点P'（2a－x，2b－）也在=f(x)图像上 ，∴2b
－=f(2a－x)
即+f(2a－x)=2b故f(x)+f(2a－x)=2b，必要性得证。
（充分性）设点P(x0,0)是=f(x)图像上任一点，则0=f(x0)
∵f(x )+f(2a－x)=2b∴f(x0)+f(2a－x0)=2b，即2b－0=f(2a－
x0)。
故点P'（2a－x0，2b－0）也在=f(x)图像上，而点P与点P'
关于点 A(a,b)对称，充分性得征。
推论：函数=f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是
f(x)+f(－x)=0
定理2.函数=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是
f(a+x)=f(a－x)即f(x)=f(2a－x)（证明留给读者）
推论：函数=f(x)的图像关于轴对称的充要条件是f(x)=f(－x)
定理3.① 若函数=f(x)图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中
心对称（a≠b），则=f(x) 是周期函数，且2a－b是其一个周期。
②若函数=f(x)图像同时关于直线x=a和 直线x=b成轴对称（a
≠b），则=f(x)是周期函数，且2a－b是其一个周期。

③若函数=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称又关于直线
x=b成轴对称（a≠b），则=f(x)是周期函数，且4a－b是其一个周
期。
①②的证明留给读者，以下给出③的证明：
∵函数=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称，
∴f(x)+f(2a－x)=2c，用2b－x代x得：
f(2b－x)+f[2a－(2b－x)]=2c………………（*）
又∵函数=f(x)图像直线x=b成轴对称，
∴f(2b－x)=f(x)代入（*）得：
f(x)=2c－f[2(a－b)+x]…………（**），用2（a－b）－x代
x得
f[2(a－b)+x]=2c－f[4(a－b)+x]代入（**）得：
f(x)=f[4(a－b)+x],故=f(x)是周期函数，且4a－b是其一个周
期。
二、不同函数对称性的探究
定理4.函数=f(x)与=2b－f(2a－x)的图像关于点A(a,b)成中
心对称。
定理5.①函数=f(x)与=f(2a－x)的图像关于直线x=a成轴对称。
②函数=f(x)与a－x=f(a－)的图像关于直线x+=a成轴对称。
③函数=f(x)与x－a=f(+a)的图像关于直线x－=a成轴对称。
定理4与定理5中的①②证明留给读者，现证定理5中的③

设点P(x0 ,0)是=f(x)图像上任一点，则0=f(x0)。记点P(x,)
关于直线x－=a的轴对称点为 P'（x1，1），则x1=a+0,1=x0－a，∴
x0=a+1,0=x1－a代入0=f(x0 )之中得x1－a=f(a+1)∴点P'（x1，1）
在函数x－a=f(+a)的图像上。
同理可证：函数x－a=f(+a)的图像上任一点关于直线x－=a的
轴对称点也 在函数=f(x)的图像上。故定理5中的③成立。
推论：函数=f(x)的图像与x=f()的图像关于直线x=成轴对称。
三、三角函数图像的对称性列表
注：①上表中∈Z
②=tanx 的所有对称中心坐标应该是(π2,0)，而在岑申、王
而冶主编的浙江教育出版社出版的21世纪高中 数学精编第一册（下）
及陈兆镇主编的广西师大出版社出版的高一数学新教案（修订版）中
都认 为=tanx的所有对称中心坐标是(π,0)，这明显是错的。
四、函数对称性应用举例
例1：定义在R上的非常数函数满足：f(10+x)为偶函数 ，且f(5
－x)=f(5+x),则f(x)一定是（）（第十二届希望杯高二第二试题）
(A)是偶函数，也是周期函数(B)是偶函数，但不是周期函数
(C)是奇函数，也是周期函数(D)是奇函数，但不是周期函数
解：∵f(10+x)为偶函数，∴f(10+x)=f(10－x).
∴f(x)有两 条对称轴x=5与x=10，因此f(x)是以10为其一个
周期的周期函数，∴x=0即轴也是f(x )的对称轴，因此f(x)还是一
个偶函数。

故选(A)
例2：设定义域为R的函数=f(x)、=g(x)都有反函数，并且f(x
－1) 和g-1(x－2)函数的图像关于直线=x对称，若g(5)=1999，那么
f(4)=（）。
（A）1999；（B）2000；（C）xx；（D）xx。
解：∵=f(x－1)和=g-1(x－2)函数的图像关于直线=x对称，
∴=g-1 (x－2)反函数是=f(x－1)，而=g-1(x－2)的反函数
是:=2+g(x),∴f(x－ 1)=2+g(x),∴有f(5－1)=2+g(5)=xx
故f(4)=xx,应选（C）
例3.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)=f(1－x),当－
1≤x≤0时，
f(x)=－x，则f(8.6)=_________（第八届希望杯高二第一试题）
解：∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x=0是=f(x)对称轴；
又∵f(1+x)=f(1－x)∴x=1也是=f(x)对称轴。故=f(x)是以2
为周期的周期函 数，∴f(8.6)=f(8+0.6)=f(0.6)=f(－0.6)=0.3
例4 .函数=sin(2x+)的图像的一条对称轴的方程是（）(92全国
高考理)(A)x=－(B)x =－(C)x=(D)x=
解：函数=sin(2x+)的图像的所有对称轴的方程是2x+=+
∴x=－,显然取=1时的对称轴方程是x=－故选(A)
例5.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)=－f(x),当0
≤x≤1时，
f(x)=x，则f(7.5)=（）

(A)0.5(B)－0.5(C)1.5(D)－1.5
解：∵=f(x)是定义在R上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中
心；
又∵ f(x+2)=－f(x)=f(－x)，即f(1+x)=f(1－x)，∴直线x=1
是=f(x) 对称轴，故=f(x)是周期为2的周期函数。
∴f(7.5)=f(8－0.5)=f(－0.5)=－f(0.5)=－0.5故选(B)