高中数学必修3经典题-高中数学偏科记忆
第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的
概念：对于函数
y?f(x)(x?D)
，把使
f(x)?0
成立的实数x
叫做函
数
y?f(x)(x?D)
的零点。
2、
函数零点的意义：函数
y?f(x)
的零点就是方程
f(x)?0
实数根，亦
即函数
y?f(x)
的图象与
x
轴交点的横坐标。
即：方程
f(x)?0
有实数根
?
函数
y?f(x)
的图象与
x<
br>轴有交点
?
函数
y?f(x)
有零点．
3、函数零点的求法：
1 （代数法）求方程
f(x)?0
的实数根；
○
2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数
y?f(x)
的图象联系起来，
○
并利用函数的性质找出零点．
4、基本初等函数的零点：
①正比例函数
y?kx(k?0)
仅有一个零点。
k
(k?0)
没有零点。
x
③一次函数
y?kx?b(k?0)
仅有一个零点。
2
④二次函数
y?ax?bx?c(a?0)
．
②反比例函数y?
（1）△＞０，方程
ax?bx?c?0(a?0)
有两不等实根，二次函数
的图象与
x
轴有两
个交点，二次函数有两个零点．
（2）△＝０，方程ax?bx?c?0(a?0)
有两相等实根，二次函数的图象与
x
轴有一
个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
（3）△＜０，方程
ax?bx?c?0(
a?0)
无实根，二次函数的图象与
x
轴无交点，二
次函数无零点．
⑤指数函数
y?a(a?0,且a?1)
没有零点。
⑥对数函数
y?log
a
x(a?0,且a?1)
仅有一个零点1.
⑦幂函数
y?x
，当
n?0
时，仅有一个零点0，当
n?0
时，没有零点。
5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数
先把
f
?
x
?
转化成
?
x
2
2<
br>2
f
?
x
?
?0
，再把复杂的函数拆分成两个我们常
见的函数
y
1
,y
2
（基本初等函数），这另
个函数图像的
交点个数就是函数
f
?
x
?
零点的个数。
6、
选择题判断区间
?
a,b
?
上是否含有零点，只需满足
f
?
a
?
f
?
b
?
?0
。
Eg：试
判断方程
x?x?2x?1?0在区间
[0,2]内是否有实数解？并说明理由。
42
8、函数零点的性质：
从“数”的角度看：即是使
f(x)?0
的实数；
从“形”的角度看：即是函数
f(x)
的图象与
x
轴交点的横坐标；
若函数
f(x)
的图象在
x?x
0
处与
x
轴相切，则零点
x
0
通常称为不变号零点；
若函数
f(x)
的图象在
x?x
0
处与
x
轴相交，则零点
x
0<
br>通常称为变号零点．
一元二次方程根的分布的基本类型
2
设一元二次方程
ax?bx?c?0
（
a?0
）的两实根为
x
1
，
x
2
，且x
1
?x
2
.
k
为常数，则一元二次方程根的
k
分布（即
x
1
，
x
2
相对于
k
的位置）或根在区间上的
分布主要有以下基本类型：
表一：（两根与0的大小比较）
分
布
情
况
两个负根即两根都小于0 两个正根即两根都大于0 一正根一负根即一个根
小于0，一个大于
0
?
x
1
?0
,x
2
?0
?
?
x
1
?0,x
2
?0
?
?
x
1
?0?x
2
?
a?0
）
a?0
）
大
致
图
象
（
得
出
的
结
论
?
??0
?
b
?
?0
?<
br>?
2a
?
?
?
f
?
0
?
?
0
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??0
?
b
?
?0
?
?<
br>2a
?
?
?
f
?
0
?
?0
f
?
0
?
?0
大
致
图
象
（
得
出
的
结
论
?
??0?
b
?
?0
?
?
?
2a
?
?
f
?
0
?
?0
?
??0
?b
?
?0
?
?
?
2a
?
?
f
?
0
?
?0
f
?
0
?
?0
（不
综
讨
合
论
结
a
论
）
???0
?
b
?
?0
?
?
2a
?
?
?
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0
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?0
?
?
?0
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b
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?0
?
?
2a
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?<
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0
?
?0
a?f
?
0
?
?0
表二：（两根与
k
的大小比较）
分
布
情
况
两根都小于
k
即
两根都大于
k
即
一个根小于
k
，一个大
于
k
即
x
1
?k,x
2
?k
x
1
?k,x
2
?k
x
1
?k?x
2
a?0
）
a?0
）
（
不综
讨
合
论
结
a
论
）
大
致
图
象
（
k
k
k
得
出的
结
论
?
??0
?
b
?
?k
?
?
2a
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f
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k
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?0
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b
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f
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k
?
?0
f
?
k
?
?0
大
致<
br>图
象
（
得
出
的
结
论
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0
?
b
?
?k
?
?
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2a
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f
?
k
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?0
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??0
?
b
?
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a?
f
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k
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??0
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k
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b
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k<
br>?
?0
f
?
k
?
?0
a?f
?
k
?
?0
表三：（根在区间上的分布）
分
布
情
况
两根都在
?
m,n
?
内
两根有且仅有一根在
?
m,n
?
一根在
?
m,n<
br>?
内，另一根在
?
p,q
?
内（有两种情况，只画了一种）
内，
m?n?p?q
a?0
）
a?0
）
）
讨结
论论
a
不合
大
致
图
象
（
得
出
的
结
论
?
??0
?
?
f
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m
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或
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大
致
图
象
（
得
出
的
结
论
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br>?
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或
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f
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br>q
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?0
（综
——————
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