高中数学必备知识点 勾股定理的应用

2013高中数学必备知识点 勾股定理的应用

勾股定理在高中有一个口诀 叫“勾三股四弦五”。什么意思呢？也就是说勾股定理的学习
按着3:4:5这个比例计算的。勾指的是 直角三角形直角边中短的那条，股市直角边稍微长的
那条，弦就不说了，那就是斜边了。这个定义具体该 怎么用呢？
一、经典证明方法细讲
方法一：
作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如
图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.
∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,
∴ ∠EGF = ∠BED，
∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，
∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，
∴ ∠BEG =180°―90°= 90°
又∵ AB = BE = EG = GA = c，
∴ ABEG是一个边长为c的正方形.
∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°
∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,
∴ ∠ABC = ∠EBD.
∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°
即 ∠CBD= 90°
又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，
BC = BD = a.
∴ BDPC是一个边长为a的正方形.
同理，HPFG是一个边长为b的正方形.
设多边形GHCBE的面积为S，则

,
∴ BDPC的面积也为S，HPFG的面积也为S由此可推出：a^2+b^2=c^2
方法二
作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做
一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形.
分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，
∵EF=DF- DE=b-a，EI=b，
∴FI=a，
∴G,I,J在同一直线上，
∵CJ=CF=a，CB=CD=c，
∠CJB = ∠CFD = 90°，
∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ，
同理，RtΔABG ≌ RtΔADE，
∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE
∴∠ABG = ∠BCJ,
∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,
∴∠ABG +∠CBJ= 90°,
∵∠ABC= 90°,
∴G,B,I,J在同一直线上，
所以a^2+b^2=c^2
二、勾股数的相关介绍
①观察3，4，5；5，12，1 3；7，24，25；…发现这些勾股数都是奇数，且从3起就没有
间断过。计算0.5(9-1），0 .5(9+1)与0.5(25-1），0.5(25+1），并根据你发现的规律写出
分别能表示7， 24，25的股和弦的算式。
②根据①的规律，用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、 弦，合情猜想他们之间
的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明。
③继续观察4， 3，5；6，8，10；8，15，17；…可以发现各组的第一个数都是偶数，且从
4起也没有间断过 ，运用上述类似的探索方法，之间用m的代数式来表示它们的股合弦。 ]
在一个三角形中，两条边的平方和等于另一条边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。

三、勾股定理的命题方向
命题1：以已知线段为边，求作一等边三角形。
命题2：求以已知点为端点，作一线段与已知线段相等。
命题3：已知大小两线段，求在大线段上截取一线段与小线段相等。
命题4：两三角形的两边及其夹角对应相等，则这两个三角形全等。
命题5：等腰三角形两底角相等。