高一数学知识点：函数的定义域、幂函数

高一数学知识点：函数的定义域、幂函数
高一数学知识点：函数的定义域、幂函数
定义域
（高中函数定义）设A，B是两个非空的数集，如果按某个
确定的对应关 系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集
合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f： A--B
为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x属于集合A。
其中，x叫作自变 量，x的取值范围A叫作函数的定义域；
值域
名称定义
函数中，应变量的取值范 围叫做这个函数的值域函数的值
域，在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合
常用的求值域的方法
（1）化归法；（2）图象法（数形结合），
（3）函数单调性法，
（4）配方法，（5）换元法，（6）反函数法（逆求法），（7）< br>判别式法，（8）复合函数法，（9）三角代换法，（10）基本
不等式法等
关于函数值域误区
定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。
平时数 学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。然而
事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往 就削弱
或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手
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“软”，使学生对函数的掌握时好时 坏，事实上，定义域与
值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄皮，何况它们二者
随时处于互相 转化之中（典型的例子是互为反函数定义域与
值域的相互转化）。如果函数的值域是无限集的话，那么求
函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能
奏效，还必须联系函数的奇偶性、单 调性、有界性、周期性
来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案，从这个角度来
讲，求值域的 问题有时比求定义域问题难，实践证明，如果
加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函的理
解，从而深化对函数本质的认识。
“范围”与“值域”相同吗？
“范围”与“值域 ”是我们在学习中经常遇到的两个概念，
许多同学常常将它们混为一谈，实际上这是两个不同的概
念。“值域”是所有函数值的集合（即集合中每一个元素都
是这个函数的取值），而“范围”则只是满 足某个条件的一
些值所在的集合（即集合中的元素不一定都满足这个条件）。
也就是说：“值域 ”是一个“范围”，而“范围”却不一定
是“值域”。
幂函数
掌握幂函数的内部规 律及本质是学好幂函数的关键所在，下
面是精品学习网高中频道为大家整理的幂函数公式大全，希
望对广大朋友有所帮助。
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定义：
形如y=x^a( a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变
量，指数为常量的函数称为幂函数。
定义域和值域：
当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如
果a为任 意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；如
果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义 域还
必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x
不能小于0，这时函数的定义域 为大于0的所有实数；如果
同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。当
x为不同 的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大
于0时，函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时 ，则
只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为
正数，0才进入函数的值域
性质：
对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各
自的特性： 首先我们知道如果a=pq，q和p都是整数，则x^(pq)=q
次根号(x的p次方)，如果q 是奇数，函数的定义域是R，
如果q是偶数，函数的定义域是[0，+∞)。当指数n是负整
数 时，设a=-k，则x=1(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是
(-∞，0)∪(0，+∞).因 此可以看到x所受到的限制来源于
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两点，一是有可能作为分母而不能是 0，一是有可能在偶数
次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：
排除了为0与负数两种可能，即对于x0，则a可以是任意实
数；
排除了为0这种可能，即对于x0和x0的所有实数，q不能
是偶数；
排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实
数，a就不能是负数。
总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义
域的不同情况如下：
如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；
如果a为负数，则x肯定不能为0 ，不过这时函数的定义域
还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x
不能小于0 ，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果
同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。
在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。
在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的
实数。
而只有a为正数，0才进入函数的值域。
由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出
幂函数在第一象限的各自情况.
可以看到：
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(1)所有的图形都通过(1，1)这点。
(2)当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，
幂函数为单调递减函数。
(3)当a大于1时，幂函数图形下凹；当a小于1大于0时，
幂函数图形上凸。
(4)当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。

(5)a大于0，函数过(0，0)；a小于0，函数不过(0，

(6)显然幂函数无界。

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0)点。