高一数学上册集合知识点的总结北师大版

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高一数学上册《集合》知识点总结北
师大版
集合具有某种特定性质的事物的总体 。这里的
“事物”可以是人，物品，也可以是数学元素。例
如：1、分散的人或事物聚集到一起 ;使聚集：紧急～。
2、数学名词。一组具有某种共同性质的数学元素：
有理数的～。3、口号 等等。集合在数学概念中有好
多概念，如集合论：集合是现代数学的基本概念，
专门研究集合的 理论叫做集合论。康托，这一整体
就是集合。组成一集合的那些对象称为这一集合的
元素。
元素与集合的关系
元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两
种。
集合与集合之间的关系
某些指定的对象集在一起就成为一个集合集合
符号， 含有有限个元素叫有限集，含有无限个元素
叫无限集，空集是不含任何元素的集，记做Φ。空
集 是任何集合的子集，是任何非空集的真子集。任
何集合是它本身的子集。子集，真子集都具有传递
性。『说明一下：如果集合A的所有元素同时都是集

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合B的 元素，则A称作是B的子集，写作A?B。若A
是B的子集，且A不等于B，则A称作是B的真子
集，一般写作A?B。中学教材课本里将?符号下加了
一个≠符号，不要混淆，考试时还是要以课本为 准。
所有男人的集合是所有人的集合的真子集。』
集合的几种运算法则
并 集：以属于A或属于B的元素为元素的集合
称为A与B的并，记作A∪B，读作“A并B”，即A
∪B={x|x∈A，或x∈B}交集：以属于A且属于B的
元差集表示
素为元素的集 合称为A与B的交，记作A∩B，
读作“A交B”，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}例如，
全集U={1，2，3，4，5}A={1，3，5}B={1，2，5}。
那么因为A和B中都有1 ，5，所以A∩B={1，5}。
再来看看，他们两个中含有1，2，3，5这些个元素，
不管 多少，反正不是你有，就是我有。那么说A∪
B={1，2，3，5}。图中的阴影部分就是A∩B。有 趣
的是;例如在1到105中不是3，5，7的整倍数的数
有多少个。结果是3，5，7每项减 集合
再相乘。48个。对称差集：设A，B为集合，A
与B的对称差集A?B定义为：A ?B=∪例如：A={a，b，

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c}， B={b，d}，则A?B={a，c，d}对称差运算的另
一种定义是：A?B=-无限集：定义：集 合里含有无限
个元素的集合叫做无限集有限集：令N*是正整数的
全体，且N_n={1，2， 3，……，n}，如果存在一个
正整数n，使得集合A与N_n一一对应，那么A叫
做有限集合 。差：以属于A而不属于B的元素为元
素的集合称为A与B的差。记作：AB={x│x∈A，x
不属于B}。注：空集包含于任何集合，但不能说“空
集属于任何集合”.补集：是从差集中引出的概 念，
指属于全集U不属于集合A的元素组成的集合称为
集合A的补集，记作cuA，即cuA= {x|x∈U，且x
不属于A}空集也被认为是有限集合。例如，全集
U={1，2，3，4， 5}而A={1，2，5}那么全集有而A
中没有的3，4就是cuA，是A的补集。cuA={3，4 }。
在信息技术当中，常常把cuA写成~A。
集合元素的性质
.确定性 ：每一个对象都能确定是不是某一集合
的元素，没有确定性就不能成为集合，例如“个子
高的同 学”“很小的数”都不能构成集合。这个性质
主要用于判断一个集合是否能形成集合。2.独立性：集合中的元素的个数、集合本身的个数必须为自然

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数。3 .互异性：集合中任意两个元素都是不同的对
象。如写成{1，1，2}，等同于{1，2}。互异性使 集
合中的元素是没有重复，两个相同的对象在同一个
集合中时，只能算作这个集合的一个元素。 4.无序
性：{a，b，c}{c，b，a}是同一个集合。5.纯粹性：
所谓集合的纯粹性， 用个例子来表示。集合
A={x|x<2}，集合A中所有的元素都要符合
x<2 ，这就是集合纯粹性。6.完备性：仍用上面
的例子，所有符合x<2的数都在集合A中，这就< br>是集合完备性。完备性与纯粹性是遥相呼应的。
集合有以下性质
若A包含于B，则A∩B=A，A∪B=B
集合的表示方法
集合常用大写拉丁字母 来表示，如：A，B，c…
而对于集合中的元素则用小写的拉丁字母来表示，
如：a，b，c… 拉丁字母只是相当于集合的名字，没
有任何实际的意义。将拉丁字母赋给集合的方法是
用一个等 式来表示的，例如：A={…}的形式。等号
左边是大写的拉丁字母，右边花括号括起来的，括
号内部是具有某种共同性质的数学元素。
常用的有列举法和描述法。1.列举法﹕常用于

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来
﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做列举法 。
{1，2，3，……}2.描述法﹕常用于表示无限集合，
把集合中元素的公共属性用文字﹐ 符号或式子等描
述出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做
描述法。{x|P}如：小于 π的正实数组成的集合表示
为：{x|0
4.自然语言常用数集的符号：全体非负整数的
集合通常简称非负整数集，记作N;不包括0的自然
数集合，记作N*非负整数集内排除0的集 ，也称正
整数集，记作Z+;负整数集内也排除0的集，称负
整数集，记作Z-全体整数的集合 通常称作整数集，
记作Z全体有理数的集合通常简称有理数集，记作
Q。Q={pq|p∈Z， q∈N，且p，q互质}全体实数的
集合通常简称实数集，记作R复数集合计作c集合
的运算： 集合交换律A∩B=B∩AA∪B=B∪A集合结合
律∩c=A∩∪c=A∪集合分配律A∩=∪A∪= ∩集合
德.摩根律集合
cu=cuA∪cuBcu=cuA∩cuB集合“容斥原理”在
研究集合时，会遇到有关集合中的元素个数问题，
我们把有限集合A的元素个数记为card。 例如A={a，

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b，c}，则
card=3card=card+card- cardcard=card+card+card
-card-card-card+card188 5年德国数学家，集合论
创始人康托尔谈到集合一词，列举法和描述法是表
示集合的常用方式。 集合吸收律A∪=AA∩=A集合求
补律A∪cuA=UA∩cuA=Φ设A为集合，把A的全部
子集构成的集合叫做A的幂集德摩根律A-=∩
A-=U～=~B∩~c～=~BU~c~Φ=E~E =Φ特殊集合的表
示复数集c实数集R正实数集R+负实数集R- 整数集
Z正整数集Z+负整数集Z-有理数集Q正有理数集Q+
负有理数集Q- 不含0的有理数集Q

集合具有某种特定性质的事物的总体。这里的
“事物”可 以是人，物品，也可以是数学元素。例
如：1、分散的人或事物聚集到一起;使聚集：紧急～。
2、数学名词。一组具有某种共同性质的数学元素：
有理数的～。3、口号等等。集合在数学概念中有好
多概念，如集合论：集合是现代数学的基本概念，
专门研究集合的理论叫做集合论。康托，这一 整体
就是集合。组成一集合的那些对象称为这一集合的
元素。

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元素与集合的关系
元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两
种。
集合与集合之间的关系
某些指定的对象集在一起就成为一个集合集合
符号，含有有限个元 素叫有限集，含有无限个元素
叫无限集，空集是不含任何元素的集，记做Φ。空
集是任何集合的 子集，是任何非空集的真子集。任
何集合是它本身的子集。子集，真子集都具有传递
性。『说明 一下：如果集合A的所有元素同时都是集
合B的元素，则A称作是B的子集，写作A?B。若A
是B的子集，且A不等于B，则A称作是B的真子
集，一般写作A?B。中学教材课本里将?符号下加了
一个≠符号，不要混淆，考试时还是要以课本为准。
所有男人的集合是所有人的集合的真子集。 』
集合的几种运算法则
并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合
称为 A与B的并，记作A∪B，读作“A并B”，即A
∪B={x|x∈A，或x∈B}交集：以属于A且属 于B的
元差集表示
素为元素的集合称为A与B的交，记作A∩B，

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读作“ A交B”，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}例如，
全集U={1，2，3，4，5}A={1，3 ，5}B={1，2，5}。
那么因为A和B中都有1，5，所以A∩B={1，5}。
再来看 看，他们两个中含有1，2，3，5这些个元素，
不管多少，反正不是你有，就是我有。那么说A∪B={1，2，3，5}。图中的阴影部分就是A∩B。有趣
的是;例如在1到105中不是3，5 ，7的整倍数的数
有多少个。结果是3，5，7每项减集合
再相乘。48个。对称差集： 设A，B为集合，A
与B的对称差集A?B定义为：A?B=∪例如：A={a，b，
c}，B ={b，d}，则A?B={a，c，d}对称差运算的另
一种定义是：A?B=-无限集：定义：集合 里含有无限
个元素的集合叫做无限集有限集：令N*是正整数的
全体，且N_n={1，2，3 ，……，n}，如果存在一个
正整数n，使得集合A与N_n一一对应，那么A叫
做有限集合。 差：以属于A而不属于B的元素为元
素的集合称为A与B的差。记作：AB={x│x∈A，x
不属于B}。注：空集包含于任何集合，但不能说“空
集属于任何集合”.补集：是从差集中引出的概念 ，
指属于全集U不属于集合A的元素组成的集合称为
集合A的补集，记作cuA，即cuA={ x|x∈U，且x

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不属于 A}空集也被认为是有限集合。例如，全集
U={1，2，3，4，5}而A={1，2，5}那么全集 有而A
中没有的3，4就是cuA，是A的补集。cuA={3，4}。
在信息技术当中，常常 把cuA写成~A。
集合元素的性质
.确定性：每一个对象都能确定是不是某一集 合
的元素，没有确定性就不能成为集合，例如“个子
高的同学”“很小的数”都不能构成集合。 这个性质
主要用于判断一个集合是否能形成集合。2.独立性：
集合中的元素的个数、集合本身 的个数必须为自然
数。3.互异性：集合中任意两个元素都是不同的对
象。如写成{1，1，2 }，等同于{1，2}。互异性使集
合中的元素是没有重复，两个相同的对象在同一个
集合中时 ，只能算作这个集合的一个元素。4.无序
性：{a，b，c}{c，b，a}是同一个集合。5.纯粹 性：
所谓集合的纯粹性，用个例子来表示。集合
A={x|x<2}，集合A中所有的元 素都要符合
x<2，这就是集合纯粹性。6.完备性：仍用上面
的例子，所有符合x&l t;2的数都在集合A中，这就
是集合完备性。完备性与纯粹性是遥相呼应的。
集合有以下性质

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
若A包含于B，则A∩B=A，A∪B=B
集合的表示方法
集合常用大写拉丁字母 来表示，如：A，B，c…
而对于集合中的元素则用小写的拉丁字母来表示，
如：a，b，c… 拉丁字母只是相当于集合的名字，没
有任何实际的意义。将拉丁字母赋给集合的方法是
用一个等 式来表示的，例如：A={…}的形式。等号
左边是大写的拉丁字母，右边花括号括起来的，括
号内部是具有某种共同性质的数学元素。
常用的有列举法和描述法。1.列举法﹕常用于
表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来
﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做列举法。< br>{1，2，3，……}2.描述法﹕常用于表示无限集合，
把集合中元素的公共属性用文字﹐符号 或式子等描
述出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做
描述法。{x|P}如：小于π的 正实数组成的集合表示
为：{x|0
4.自然语言常用数集的符号：全体非负整数的集合通常简称非负整数集，记作N;不包括0的自然
数集合，记作N*非负整数集内排除0的集，也 称正
整数集，记作Z+;负整数集内也排除0的集，称负

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整数集，记作Z-全体整数的集合通常称作整数集，
记作Z全体有理数的集合通常简称有理数集 ，记作
Q。Q={pq|p∈Z，q∈N，且p，q互质}全体实数的
集合通常简称实数集，记 作R复数集合计作c集合
的运算：集合交换律A∩B=B∩AA∪B=B∪A集合结合
律∩c= A∩∪c=A∪集合分配律A∩=∪A∪=∩集合
德.摩根律集合
cu=cuA∪cuB cu=cuA∩cuB集合“容斥原理”在
研究集合时，会遇到有关集合中的元素个数问题，
我 们把有限集合A的元素个数记为card。例如A={a，
b，c}，则
card=3card =card+card-cardcard=card+card+card
-card-card-c ard+card1885年德国数学家，集合论
创始人康托尔谈到集合一词，列举法和描述法是表示集合的常用方式。集合吸收律A∪=AA∩=A集合求
补律A∪cuA=UA∩cuA=Φ设A为 集合，把A的全部
子集构成的集合叫做A的幂集德摩根律A-=∩
A-=U～=~B∩~c～= ~BU~c~Φ=E~E=Φ特殊集合的表
示复数集c实数集R正实数集R+负实数集R- 整数集
Z正整数集Z+负整数集Z-有理数集Q正有理数集Q+
负有理数集Q- 不含0的有理数集Q

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集合具有某种特定性质的事物的总体。这里的
“事物”可以是人，物品，也可以是数学元素 。例
如：1、分散的人或事物聚集到一起;使聚集：紧急～。
2、数学名词。一组具有某种共同 性质的数学元素：
有理数的～。3、口号等等。集合在数学概念中有好
多概念，如集合论：集合 是现代数学的基本概念，
专门研究集合的理论叫做集合论。康托，这一整体
就是集合。组成一集 合的那些对象称为这一集合的
元素。
元素与集合的关系
元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两
种。
集合与集合之间的关系
某些指定的对象集在一起就成为一个集合集合
符号，含有有限个元素叫有限集，含有无限个元素
叫无限集，空集是不含任何元素的集，记做Φ。空
集是任何集合的子集，是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。子集，真子集都具有传递
性。『说明一下：如果集合A的所有元素同时都是 集
合B的元素，则A称作是B的子集，写作A?B。若A

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
是B的 子集，且A不等于B，则A称作是B的真子
集，一般写作A?B。中学教材课本里将?符号下加了
一个≠符号，不要混淆，考试时还是要以课本为准。
所有男人的集合是所有人的集合的真子集。』
集合的几种运算法则
并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合
称为A与 B的并，记作A∪B，读作“A并B”，即A
∪B={x|x∈A，或x∈B}交集：以属于A且属于B 的
元差集表示
素为元素的集合称为A与B的交，记作A∩B，
读作“A交B”， 即A∩B={x|x∈A，且x∈B}例如，
全集U={1，2，3，4，5}A={1，3，5}B= {1，2，5}。
那么因为A和B中都有1，5，所以A∩B={1，5}。
再来看看，他们两 个中含有1，2，3，5这些个元素，
不管多少，反正不是你有，就是我有。那么说A∪
B={ 1，2，3，5}。图中的阴影部分就是A∩B。有趣
的是;例如在1到105中不是3，5，7的整倍 数的数
有多少个。结果是3，5，7每项减集合
再相乘。48个。对称差集：设A，B为 集合，A
与B的对称差集A?B定义为：A?B=∪例如：A={a，b，
c}，B={b，d }，则A?B={a，c，d}对称差运算的另

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
一种定 义是：A?B=-无限集：定义：集合里含有无限
个元素的集合叫做无限集有限集：令N*是正整数的< br>全体，且N_n={1，2，3，……，n}，如果存在一个
正整数n，使得集合A与N_n一一 对应，那么A叫
做有限集合。差：以属于A而不属于B的元素为元
素的集合称为A与B的差。记 作：AB={x│x∈A，x
不属于B}。注：空集包含于任何集合，但不能说“空
集属于任何 集合”.补集：是从差集中引出的概念，
指属于全集U不属于集合A的元素组成的集合称为
集合 A的补集，记作cuA，即cuA={x|x∈U，且x
不属于A}空集也被认为是有限集合。例如，全 集
U={1，2，3，4，5}而A={1，2，5}那么全集有而A
中没有的3，4就是cu A，是A的补集。cuA={3，4}。
在信息技术当中，常常把cuA写成~A。
集合元素的性质
.确定性：每一个对象都能确定是不是某一集合
的元素，没有确定性就不 能成为集合，例如“个子
高的同学”“很小的数”都不能构成集合。这个性质
主要用于判断一个 集合是否能形成集合。2.独立性：
集合中的元素的个数、集合本身的个数必须为自然
数。3. 互异性：集合中任意两个元素都是不同的对

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
象。如 写成{1，1，2}，等同于{1，2}。互异性使集
合中的元素是没有重复，两个相同的对象在同一个
集合中时，只能算作这个集合的一个元素。4.无序
性：{a，b，c}{c，b，a}是同一 个集合。5.纯粹性：
所谓集合的纯粹性，用个例子来表示。集合
A={x|x<2}， 集合A中所有的元素都要符合
x<2，这就是集合纯粹性。6.完备性：仍用上面
的例子 ，所有符合x<2的数都在集合A中，这就
是集合完备性。完备性与纯粹性是遥相呼应的。
集合有以下性质
若A包含于B，则A∩B=A，A∪B=B
集合的表示方法
集合常用大写拉丁字母来表示，如：A，B，c…
而对于集合中的元素则 用小写的拉丁字母来表示，
如：a，b，c…拉丁字母只是相当于集合的名字，没
有任何实际的 意义。将拉丁字母赋给集合的方法是
用一个等式来表示的，例如：A={…}的形式。等号
左边 是大写的拉丁字母，右边花括号括起来的，括
号内部是具有某种共同性质的数学元素。
常 用的有列举法和描述法。1.列举法﹕常用于
表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. ﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做列举法。
{1，2，3，……}2.描述法﹕常用于表示 无限集合，
把集合中元素的公共属性用文字﹐符号或式子等描
述出来﹐写在大括号内﹐这种表示 集合的方法叫做
描述法。{x|P}如：小于π的正实数组成的集合表示
为：{x|0
4.自然语言常用数集的符号：全体非负整数的
集合通常简称非负整数集，记作N;不包括 0的自然
数集合，记作N*非负整数集内排除0的集，也称正
整数集，记作Z+;负整数集内也 排除0的集，称负
整数集，记作Z-全体整数的集合通常称作整数集，
记作Z全体有理数的集合 通常简称有理数集，记作
Q。Q={pq|p∈Z，q∈N，且p，q互质}全体实数的
集合通 常简称实数集，记作R复数集合计作c集合
的运算：集合交换律A∩B=B∩AA∪B=B∪A集合结合
律∩c=A∩∪c=A∪集合分配律A∩=∪A∪=∩集合
德.摩根律集合
cu =cuA∪cuBcu=cuA∩cuB集合“容斥原理”在
研究集合时，会遇到有关集合中的元素个数 问题，
我们把有限集合A的元素个数记为card。例如A={a，
b

< br>，c}，则

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
card=3card=card+card- cardcard=card+card+card
-card-card-card+card188 5年德国数学家，集合论
创始人康托尔谈到集合一词，列举法和描述法是表
示集合的常用方式。 集合吸收律A∪=AA∩=A集合求
补律A∪cuA=UA∩cuA=Φ设A为集合，把A的全部
子集构成的集合叫做A的幂集德摩根律A-=∩
A-=U～=~B∩~c～=~BU~c~Φ=E~E =Φ特殊集合的表
示复数集c实数集R正实数集R+负实数集R- 整数集
Z正整数集Z+负整数集Z-有理数集Q正有理数集Q+
负有理数集Q- 不含0的有理数集Q