高中数学必修点线面的位置关系知识点习题答案

第二章直线与平面的位置关系

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
1平面含义：平面是无限延展的
2平面的画法及表示
D
α
A
C
B
（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成45
0
，且横边画
成邻边的2倍长（如图）
（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面
A
的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面
·

AC、平面ABCD
α
等。
3三个公理：
（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
公理1作用：判断直线是否在平面内
A B
（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
C
·

·

α
·

符号表示为：A、B、C三点不共线=>有且只有一个平面α，
使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
推论1：一条直线与它外一点确定一个平面。
推论2：两条平行直线确定一个平面。
推论3：两条相交直线确定一个平面。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公
β
共直线。
P
α
·

L
符号表示为：P∈α∩β=>α∩β=L，且P∈L
公理3作用：判定两个平面是否相交的依据
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
1空间的两条直线有如下三种关系：

相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
共面直
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
2公理4：平行于同一条直线的两条直
ab
?
线互相平行。
?
?ac
符号表示为：设a、b、c是三条直线
cb
?
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
4异面直线：
①a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，
?< br>2
点O一般取在两直线中的一条上；
②两条异面直线所成的角θ∈(0，]；
③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；
④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
2.1.3—2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内——有无数个公共点
（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点
（3）直线在平面平行——没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用aα来表aαa∩α=Aa∥
α】< br>2.2.1直线与平面平行的判定
1、线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条 直线平行，则该直线与此平
面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
a?
?
?
符号表示：
线线平行 线面平行
?
b ?
?
?
?b
?
ab
?
?

2 .2.2平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面 平行，则这两个平
面平行。
a?
?
,b?
?
?
?
符号表示：
a?b?P
?
?
?

?

a
?
,b
?
?
?
线面平行 面面平行
2 、判断定理的推论：一个平面内的两条相交直线与另个平面内的两条相交直线互相平
行，那么这两个平面 平行。
?
?
符号表示：
a?b?A,c?d?B
?
??

?

?
ac,bd
?
a,b?
?< br>.c,d?
?
3、判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3直线与平面平行的性质
1、线面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过 这条直线的任一平面与此平面
的交线与该直线平行。
简记为：线面平行则线线平行。
?
?
符号表示：
a?
?
?
?ab

?
?
?
?b
?
?
a
?
作用：利用该定理 可解决直线间的平行问题。
2.2.4平面与平面平行的性质
2、性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
?

?
?
?
符号表示：
?
?
?
?a
?
?ab

?
?
?
?b
?
?
作用： 可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
1、定义:如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线l与平面α互相
垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面。 如图，直线与
平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。
符号表示：
l?
?
?l?m,?m?
?

2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

符号表
注意
a?b,a?c
?
?
a?c?P
?< br>?a?
?
?
b,c?
?
?
一相交，两垂直
示 ：
点：定理中的“两条相交直线”这一条件
不可忽视；
1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
2、二面角的记法：二面角或
?
?AB?
?
棱l
?
B
3、面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
符号表
2.3.3直线
?
a?
?
?
?
?
?
?
?
a?
?
?
示：
与平面垂直的性质
1、性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。符号表示：
a?
?
,b?
?
?ab

2、性质定理：一条直线与一个平行垂直，那么过这条直线的平面也与此平面垂直
符号表示：
a?
?
,a?
?
?
?
?
?

2.3.4平面与平面垂直的性质
1、性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
?
?
?
?
?
符号表示：
a?
?
,a?l
?
?a?
?

?
?
?
?l
?
?a?
?
,
?
?
?
?
?
?a
?
2、性质定理：垂直于同一平面的直线和平面平行。符
a?
?
?
号表 示：
一、异面直线所成的角
1.已知两条异面直线
a,b
，经过空间任意 一点O作直线
我们把
a
?
与
b
?
所成的锐角（或直 角）叫异面直线
a,b
所
2.角的取值范围：
0?
?
?90 ?
；
当
?
?90
0
时，异面直线a,b垂直

二、直线与平面所成的角
1.定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成
的角
2.角的取值范围：
0
?
?
?
?90
?
。
三、两个半平面所成的角即二面角：
1、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面 角。这条直线叫做二面角的棱，
这两个半平面叫做二面角的面。
2、二面角的取值范围：0
?
?
?
?180
?

a
?
a,b
?
b
，
成的角。

两个平面垂直：直二面角。
3.作二面角的平面角的常用方法有六种：
1.定义法：在棱上取一点O，然后在两个平面内分别作过棱上O点的垂线。
2.三垂线定理 法：先找到一个平面的垂线，再过垂足作棱的垂线，连结两个垂足即得二
面角的平面角。
3. 向量法：分别作出两个半平面的法向量，由向量夹角公式求得。二面角就是该夹角或
其补角。
二面角一般都是在两个平面的相交线上，取恰当的点，经常是端点和中点。
第二章点、直线、平面之间的位置关系
1、如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点．
求证：(1)直线EF∥面ACD.
(2)平面EFC⊥平面BCD.
2.在直三 棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中，
AC?3 ,BC?4,AB?5,AA
1
?4
，点
D
为
AB
的中点求异面直线
AC
1
与
B
1
C
所成角的余弦值

3．在四面体
ABCD
中，△
ABC
与△
DBC
都是边长为4的正三角形．
(1)求证：
BC
⊥
AD
；
(2)若点
D
到平面
ABC
的距离等于3，求二面角
A－
BC
－
D
的正弦值；
_

C

_

A
_ 1
_

B
_ 1
_ 1
_

C

_

B
_

A
(3)设二面角
A
－
BC
－
D
的大小为
?
，猜想
?
为何值时，四面体
A
－
BCD
的体积最 大．(不要求证明)

4、如图，在底面是直角梯形的四棱锥
Ｓ
－
ABCD
中，
AD
∥
BC
，∠
ABC
＝90°，
SA
⊥面
ABCD
，
SA
＝
AB
＝
BC
＝１，
AD
＝．
(1)求四棱锥
S
—
ABCD
的体积；
(2)求面
SCD
与面
SBA
所成的二面角的正切值．
( 提示：延长
BA
，
CD
相交于点
E
，则直线
SE< br>是所求二面角的棱.)
5．斜三棱柱的一个侧面的面积为10，这个侧面与它所对棱的距离等于 6，求
柱的体积．(提示：在
AA
1
上取一点
P
，过
P
作棱柱的截面，使
AA
1
垂直于这个

(第3题)

1
2
(第4
这个棱
截面.)
第二章点、直线平面之间的位置关系参考答案
三、解答题
(第5
(第3题)

17．证明：(1)取
BC中点
O
，连结
AO
，
DO
．
∵△
ABC
，△
BCD
都是边长为4的正三角形，
∴AO
⊥
BC
，
DO
⊥
BC
，且
AO< br>∩
DO
＝
O，
∴
BC
⊥平面
AOD
．又
AD
?
平面
AOD
，∴
BC
⊥
AD
．
解：(2)由(1)知∠
AOD
为二面角
A
－
BC
－
D
的平面角，设∠
AOD
＝?，则过点
D
作
DE
⊥
AD
，垂足为
E
．
∵
BC
⊥平面
ADO
，且
BC
?
平面
ABC
，
∴平面
ADO
⊥平面
ABC
．又平面
ADO
∩平面
ABC
＝
AO
，
∴
DE
⊥平面
ABC
．∴线段
DE
的长为点
D
到平面
ABC
的距离，即
DE
＝3．
又
DO
＝
3
2
BD
＝23
，在Rt△
DEO
中，sin?＝
DE
＝
DO
3
2
3
2
，
故二面角
A
－
BC
－
D
的正弦值为．(3)当?＝90°时，四面体
ABCD
的体积最大．
1＋
1
2
?
1＝
3
24
19*．解：(1 )直角梯形
ABCD
的面积是
M
底面
＝
1
(BC＋ AD)?AB
＝
2
，
11
31
∴四棱锥
S—AB CD
的体积是
V
＝·
SA
·
M
底面
＝×1 ×＝．
44
33
(2)如图，延长
BA
，
CD
相 交于点
E
，连结
SE
，则
SE
是所求二面角的棱．
∵
AD
∥
BC
，
BC
＝2
AD
，
∴
EA＝AB＝SA
，∴
SE
⊥
SB

∵
SA
⊥面
ABCD
，得面
SEB
⊥面
EBC
，
EB
是交线．
又
BC
⊥
EB
，∴
B C
⊥面
SEB
，故
SB
是
SC
在面
SEB
上的射影，
∴
CS
⊥
SE
，∠
BSC
是所求二面角的平面角．
∵
SB
＝
SA
2
＋AB
2
＝
2< br>，
BC
＝1，
BC
⊥
SB
，
∴tan∠
BSC
＝
BC2
，
＝
SB2
即所求二面角的正切值为
2
．
2< br>20*．解：如图，设斜三棱柱
ABC
—
A
1
B
1< br>C
1
的侧面
BB
1
C
1
C
的面积为 10，
A
1
A
和面
BB
1
C
1
C
的距离为6，在
AA
1
上取一点
P
作截面
PQR< br>，使
AA
1
⊥截面
PQR
，
AA
1
∥CC
1
，∴截面
PQR
⊥侧面
BB
1
C
1
C
，过
P
作
PO
⊥
QR
于
O< br>，则
PO
⊥侧面
BB
1
C
1
C
，且
PO
＝6．
∴
V
斜
＝
S
△
PQ R
·
AA
1
＝
＝
＝
1
·
QR·
PO
·
AA
1
2

1
·
PO
·
QR
·
BB
1
2
1
×10×6
2
＝30．