高中数学点、直线、平面之间的位置关系知识点归纳与常考题型专题汇总(附解析)

高中数学点、直线、平面之间的位置关系
知识点归纳与常考题型专题汇总


知识点：
1、空间点、直线、平面的位置关系
（1）平面
① 平面的概念： A.描述性说明； B.平面是无限伸展的；
② 平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；
也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC。
③ 点与平面的关系：点A在平面
?
内，记作
A?
?
；点
A
不在平面
?
内 ，记作
A?
?

点与直线的关系：点A的直线l上，记作：A∈l； 点A在直线l外，记作A
?
l；
直线与平面的关系：直线l在平面α内，记作l?
α；直线l不在平面α内，记作l
?
α。
（2）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面
内。
（即直线在平面内，或者平面经过直线）
应用：检验桌面是否平； 判断直线是否在平面内
用符号语言表示公理1：
A?l,B?l,A?
?
,B?
?
?l?
?

（3）公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一
平面。
公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据
（4）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直
线
符号：平面α和β相交，交线是a，记作α∩β＝a。
符号语言：
P?AB?AB?l,P?l

公理3的作用：
①它是判定两个平面相交的方法。
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。
③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。
（5）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行
（6）空间直线与直线之间的位置关系
① 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线
② 异面直线性质：既不平行，又不相交。
③ 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线
④ 异面直线所 成角：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a’∥a，b’
∥b，则把直线a’和 b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。两条异面直线
所成角的范围是（0°，90° ]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互
相垂直。
说明：（1）判定空间直线是异面直线方法：①根据异面直线的定义；②异面直线的判定定理
（2）在异面直线所成角定义中，空间一点O是任取的，而和点O的位置无关。
②求异面直线所成角步骤：
A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移 到某个特殊的位置，顶点
选在特殊的位置上。 B、证明作出的角即为所求角 C、利用三角形来求角
（7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。

（8）空间直线与平面之间的位置关系
直线在平面内——有无数个公共点．



三种位置关系的符号表示：a
?
α a∩α＝A a∥α
（9）平面与平面之间的位置关系：平行——没有公共点；α∥β
相交——有一条公共直线。α∩β＝b
2、空间中的平行问题
（1）直线与平面平行的判定及其性质
线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。
线线平行
?
线面平行
线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，
那么这条直线和交线平行。线面平行
?
线线平行
（2）平面与平面平行的判定及其性质
两个平面平行的判定定理
（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
（线面平行→面面平行），
（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。
（线线平行→面面平行），
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行，
两个平面平行的性质定理
（1）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平 行。（面面平行→线面平
行）
（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行→线线平行）
3、空间中的垂直问题
（1）线线、面面、线面垂直的定义
①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。
②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂
直。
③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组
成的 图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。
（2）垂直关系的判定和性质定理
①线面垂直判定定理和性质定理
判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
②面面垂直的判定定理和性质定理
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
性质定理： 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一
个平面。
4、空间角问题
（1）直线与直线所成的角
①两平行直线所成的角：规定为
0
?
。
②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。
③两 条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b平行的直线
a
?
,b
?
，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。
（2）直线和平面所成的角
?
?
①平面的平行线与平面所成的角：规定为
0
。 ②平面的垂线与平面所成的角：规定为
90
。
③平面的斜线与平面所成的角：平面的 一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条
直线和这个平面所成的角。

求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。
在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，
在解题时， 注意挖掘题设中两个主要信息：（1）斜线上一点到面的垂线；（2）过斜线上的一
点或过斜线的平面与 已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。
（3）二面角和二面角的平面角
①二面角的定义： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二
面角的棱，这两个半平面叫做二 面角的面。
②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射
．．．．．
线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。
③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。
两相交平面如果所组成的二面角是直二面角 ，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平
面垂直，那么所成的二面角为直二面角
④求二面角的方法
定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角
垂面法： 已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为
二面角的平面角

常考题：
一．选择题（共11小题）

1．已知直线l⊥平面α，直线m?平面β，给出下列命题

①α∥β=l⊥m；

②α⊥β?l∥m；

③l∥m?α⊥β；

④l⊥m?α∥β．

其中正确命题的序号是（ ）

A．①②③ B．②③④ C．①③ D．②④

2．设m、n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（ ）

A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α

C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α

3．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是
（ ）

A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β

C．若m∥α，m∥β，则α∥β D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n

4．如图，在 下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在
棱的中点，则在这四个正方体中，直 线AB与平面MNQ不平行的是（ ）

A． B． C．

D．

5．直三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA
1
，则异面直线BA
1与AC
1
所成的角等于（ ）


A．30° B．45° C．60° D．90°

6．如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°， BC=2AD，△PAB和△PAD
都是等边三角形，则异面直线CD与PB所成角的大小为（ ）


A．90° B．75° C．60° D．45°

7．如 图，正棱柱ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，AA
1
=2AB，则异面直线A
1
B与AD
1
所
成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．


8．平面α过正方体 ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
的顶点A， α∥平面CB
1
D
1
，α∩平面
ABCD=m，α∩平面ABB1
A
1
=n，则m、n所成角的正弦值为（ ）

A． B． C． D．

，E为侧棱PC的中点，则PA9．正四棱锥P﹣ABCD的底面积为3，体积为

与BE所成的角为（ ）


A． B． C． D．

10．如图，在正方体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，O是底面ABCD的中心，E为CC
1
的中点，那么异 面直线OE与AD
1
所成角的余弦值等于（ ）


A． B． C． D．

11．如图，在直四棱柱（侧棱与底面垂直的四棱柱）ABCD﹣A
1< br>B
1
C
1
D
1
中，已知
DC=DD
1
=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC，给出以下结论：

（1）异面直线A
1
B
1
与CD
1
所成的角为45°；

（2）D
1
C⊥AC
1
；

（3）在棱DC上存在 一点E，使D
1
E∥平面A
1
BD，这个点为DC的中点；

（4）在棱AA
1
上不存在点F，使三棱锥F﹣BCD的体积为直四棱柱体积的．

其中正确的个数有（ ）


A．1 B．2 C．3 D．4



二．解答题（共39小题）

12．如图，已知三棱锥A﹣BP C中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为
PB中点，且△PMB为正三角形．

（1）求证：DM∥平面APC；

（2）求证：平面ABC⊥平面APC；

（3）若BC=4，AB=20，求三棱锥D﹣BCM的体积．


13．如 图，已知AA
1
⊥平面ABC，BB
1
∥AA
1
，AB=A C=3，BC=2
BB
1
=2，点E和F分别为BC和A
1
C的中点 ．

（Ⅰ）求证：EF∥平面A
1
B
1
BA；

（Ⅱ）求证：平面AEA
1
⊥平面BCB
1
；

（ Ⅲ）求直线A
1
B
1
与平面BCB
1
所成角的大小．

，AA
1
=，

14．如图，三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．

（1）求证：BD∥平面FGH；

（2）若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH．


1 5．如图，在直三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，D，E分 别为AB，BC的中点，点F
在侧棱B
1
B上，且B
1
D⊥A
1
F，A
1
C
1
⊥A
1
B
1
． 求证：

（1）直线DE∥平面A
1
C
1
F；

（2）平面B
1
DE⊥平面A
1
C
1
F．

16．如图，三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ ABC=，点D、E
在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且 EF∥BC．

（Ⅰ）证明：AB⊥平面PFE．

（Ⅱ）若四棱锥P﹣DFBC的体积为7，求线段BC的长．


17．如图 ，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已
知PA⊥AC，PA=6， BC=8，DF=5．求证：

（1）直线PA∥平面DEF；

（2）平面BDE⊥平面ABC．


18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．

（1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；

（3）设 点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说
明理由．

19．如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．

（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；

（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD的体积为
侧面积．

，求该三棱锥的

20．在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠ BAC=∠CAD=60°，PA⊥
平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2．

（1）求证：PC⊥AE；

（2）求证：CE∥平面PAB；

（3）求三棱锥P﹣ACE的体积V．

21．如图，在直三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，已知AC⊥BC，BC=CC
1
， 设AB
1
的
中点为D，B
1
C∩BC
1
=E．
求证：

（1）DE∥平面AA
1
C
1
C；

（2）BC
1
⊥AB
1
．

22．如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．

（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；

（Ⅱ）若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A﹣MBC的体积．

< br>23．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=AD=a，E
是A D的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到如图2中△A
1
BE
的位 置，得到四棱锥A
1
﹣BCDE．


（Ⅰ）证明：CD⊥平面A
1
OC；

（Ⅱ）当平面A
1< br>BE⊥平面BCDE时，四棱锥A
1
﹣BCDE的体积为36
的值．

，求a
24．如图，四棱锥P﹣ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB=BC=A D，E，
F分别为线段AD，PC的中点．

（Ⅰ）求证：AP∥平面BEF；

（Ⅱ）求证：BE⊥平面PAC．

25．在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．

（Ⅰ）已知AB=BC，AE=EC，求证：AC⊥FB；

（Ⅱ）已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥平面ABC．


26．如图，直三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，D，E分 别是AB，BB
1
的中点

（Ⅰ）证明：BC
1
∥平面A
1
CD；

（Ⅱ）A A
1
=AC=CB=2，AB=，求三棱锥C﹣A
1
DE的体积．


27．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=2，BC=CD=2，∠
ACB=∠ACD=．

（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）若侧棱PC上的点F满足PF=7FC，求三棱锥P﹣BDF的体积．

28．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC，∠AP D=90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为，求该
四棱锥的侧面积．



29．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD
⊥底面ABCD，PA⊥AD．E和F分别是CD和PC的中点，求证：

（Ⅰ）PA⊥底面ABCD；

（Ⅱ）BE∥平面PAD；

（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．

30．如图，三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，侧面BB
1
C
1
C为菱形 ，B
1
C的中点为O，
且AO⊥平面BB
1
C
1
C ．

（1）证明：B
1
C⊥AB；

（2）若AC⊥AB< br>1
，∠CBB
1
=60°，BC=1，求三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
的高．

31．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD||BC，PD⊥底
面 ABCD，

∠ADC=90°，AD=2BC，Q为AD的中点，M为棱PC的中点．

（Ⅰ）证明：PA∥平面BMQ；

（Ⅱ）已知PD=DC=AD=2，求点P到平面BMQ的距离．


32． 如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O
所在的平面，且PO=OB= 1，

（Ⅰ）若D为线段AC的中点，求证；AC⊥平面PDO；

（Ⅱ）求三棱锥P﹣ABC体积的最大值；

（Ⅲ）若BC=，点E在线段PB上，求CE+OE的最小值．


33．如 图，三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，CA=CB，AB= AA
1
，∠BAA
1
=60°

（Ⅰ）证明：AB⊥A
1
C；

（Ⅱ）若AB=CB=2，A
1
C=，求三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
的体< br>积．

34．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形 ，又PD
⊥底ABCD，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．

（1）证明：DN∥平面PMB；

（2）证明：平面PMB⊥平面PAD；

（3）求点A到平面PMB的距离．

35．如 图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，
且PA=2，E是侧棱 PA上的动点．

（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；

（2）如果E是PA的中点，求证：PC∥平面BDE；

（3）是否不论点E在侧棱PA的任何位置，都有BD⊥CE？证明你的结论．

< br>36．如图，在正方体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D< br>1
中，E、F、P、Q、M、N分别是棱AB、
AD、DD
1
、BB< br>1
、A
1
B
1
、A
1
D
1
的中点，求证：

（Ⅰ）直线BC
1
∥平面EFPQ；

（Ⅱ）直线AC
1
⊥平面PQMN．


37．如图，矩形 ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，
且BF⊥平面ACE．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；

（Ⅱ）求证；AE∥平面BFD；

（Ⅲ）求三棱锥C﹣BGF的体积．

38．如 图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2，∠
PDA=45°，点E、 F分别为棱AB、PD的中点．

（Ⅰ）求证：AF∥平面PCE；

（Ⅱ）求证：平面PCE⊥平面PCD；

（Ⅲ）求三棱锥C﹣BEP的体积．


39．如图，三棱锥ABC﹣A1
B
1
C
1
中，侧棱A
1
A⊥底面ABC，且 各棱长均相等，
D，E，F分别为棱AB，BC，A
1
C
1
的中点< br>
（Ⅰ）证明EF∥平面A
1
CD；

（Ⅱ）证明平面A1
CD⊥平面A
1
ABB
1
；

（Ⅲ）求直线 B
1
C
1
与平面A
1
CD所成角的正弦值．


40．如图，在三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1< br>中，侧棱AA
1
⊥底面ABC，AB⊥BC，D为
AC的中点，A
1< br>A=AB=2，BC=3．

（1）求证：AB
1
∥平面BC
1
D；

（2）求四棱锥B﹣AA
1
C
1
D的体积．

41．如图所示，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互 相垂直，∠ADE=90°，
AF∥DE，DE=DA=2AF=2．

（1）求证：AC∥平面BEF；

（2）求四面体BDEF的体积．


42．如图，三角形ABC中，AC=BC=，ABED是边长为1的正方形，平面
ABED⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．

（Ⅰ）求证：GF∥底面ABC；

（Ⅱ）求证：AC⊥平面EBC；

（Ⅲ）求几何体ADEBC的体积V．


43．如图，四棱柱ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
的底面ABCD是正方形 ，O为底面中心，
A
1
O⊥平面ABCD，AB=AA
1
=．

（Ⅰ） 证明：平面A
1
BD∥平面CD
1
B
1
；

（Ⅱ） 求三棱柱ABD﹣A
1
B
1
D
1
的体积．

44．如图，三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA
1
，
D是棱AA
1
的中点．

（Ⅰ）证明：平面BDC
1
⊥平面BDC

（Ⅱ）平面BDC
1
分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．


45．由四棱柱ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
截去三棱锥C
1
﹣B
1
CD
1
后得到的几何体 如图所
示，四边形ABCD为正方形，O为AC与BD 的交点，E为AD的中点，A
1
E⊥
平面ABCD，

（Ⅰ）证明：A
1
O∥平面B
1
CD
1
；

（Ⅱ）设M是OD的中点，证明：平面A
1
EM⊥平面B
1
CD1
．


46．如图，在正方体ABCD﹣A
1
B1
C
1
D
1
中，M、N、G分别是A
1
A，D
1
C，AD
的中点．求证：

（1）MN∥平面ABCD；

（2）MN⊥平面B
1
BG．

47．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，
EF∥AB ，AB=2EF，平面BCF⊥平面ABCD，BF=CF，点G为BC的中点．

（1）求证：直线OG∥平面EFCD；

（2）求证：直线AC⊥平面ODE．


48．如图，已知二面角α﹣MN ﹣β的大小为60°，菱形ABCD在面β内，A、B
两点在棱MN上，∠BAD=60°，E是AB的 中点，DO⊥面α，垂足为O．

（Ⅰ）证明：AB⊥平面ODE；

（Ⅱ）求异面直线BC与OD所成角的余弦值．


49．如图1，四边形A BCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB=1，BC=PC=2作如
图2折叠；折痕EF∥DC，其中 点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后
点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF．< br>
（1）证明：CF⊥平面MDF；

（2）求三棱锥M﹣CDE的体积．


50．如图：在四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥平
面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点 ，且PA=AB=2．

（Ⅰ）证明：BC⊥平面AMN；

（Ⅱ）求三棱锥N﹣AMC的体积；

（Ⅲ）在线段PD上是否存在一点E，使得NM ∥平面ACE；若存在，求出PE
的长；若不存在，说明理由．

必修二第二章点直线平面之间的位置关系知识点与常考
题(附解析)

参考答案与试题解析



一．选择题（共11小题）

1．已知直线l⊥平面α，直线m?平面β，给出下列命题

①α∥β=l⊥m；

②α⊥β?l∥m；

③l∥m?α⊥β；

④l⊥m?α∥β．

其中正确命题的序号是（ ）

A．①②③ B．②③④ C．①③ D．②④

【解答】解：l⊥平面α且α∥β可以得到直线l⊥平面β，又由直线m?平面β，
所以有l⊥m；即①为真命题；

因为直线l⊥平面α且α⊥β可得直线l平行与平面 β或在平面β内，又由直线
m?平面β，所以l与m，可以平行，相交，异面；故②为假命题；

因为直线l⊥平面α且l∥m可得直线m⊥平面α，又由直线m?平面β可得α⊥β；
即③为真 命题；

由直线l⊥平面α以及l⊥m可得直线m平行与平面α或在平面α内，又由直线
m?平面β得α与β可以平行也可以相交，即④为假命题．

所以真命题为①③．

故选：C．



2．设m、n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（ ）

A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α

C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α

【解答】解：A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α或m?α或m∥α，故A错误．

B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α或m?α或m∥α，故B错误．

C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α，正确．

D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α或m?α或m∥α，故D错误．

故选：C．



3．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是
（ ）

A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β

C．若m∥α，m∥β，则α∥β D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n

【解答】解： A、m，n平行于同一个平面，故m，n可能相交，可能平行，也可
能是异面直线，故A错误；

B、α，β 垂直于同一个平面γ，故α，β 可能相交，可能平行，故B错误；

C、α，β平行与同一条直线m，故α，β 可能相交，可能平行，故C错误；

D、垂直于同一个平面的两条直线平行，故D正确．

故选：D．



4．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体 的两个顶点，M，N，Q为所在
棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（ ）

A． B． C．
D．

【解答】解：对于选项B，由于AB ∥MQ，结合线面平行判定定理可知B不满
足题意；

对于选项C，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知C不满足题意；

对于选项D，由于AB∥NQ，结合线面平行判定定理可知D不满足题意；

所以选项A满足题意，

故选：A．



5．直 三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，若∠BAC=90°，A B=AC=AA
1
，则异面直线BA
1
与AC
1
所成的角等 于（ ）


A．30° B．45° C．60° D．90°

【解答】解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA
1
C
1
为平行四边 形，

∠DA
1
B就是异面直线BA
1
与AC
1< br>所成的角，

又A
1
D=A
1
B=DB=AB，

则三角形A
1
DB为等边三角形，∴∠DA
1
B=60°

故选：C．



6．如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ BAD=90°，BC=2AD，△PAB和△PAD
都是等边三角形，则异面直线CD与PB所成角的 大小为（ ）

A．90° B．75° C．60° D．45°

【解答】解：设AD=1，则BC=2，过A作AE∥CD，则AD=CE，过E 作EF∥
PB，则∠AEF为所求，如图

过F作FG∥CD，连接AG，则四边形A EFG是梯形，其中FG∥AE，EF=PB=，
AG=，AE＞FG，

过G作GH∥EF，则∠GHA=∠AEF，

在△GHA中，GH=EF=，AH= AE﹣FG=
AG
2
=GH
2
+AH
2
，

所以∠AEF=90°，

故选：A．

﹣=，AG=，




7．如图，正棱柱ABCD﹣A
1
B
1C
1
D
1
中，AA
1
=2AB，则异面直线A
1
B与AD
1
所
成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．


【解答】解．如图，连接BC
1
，A
1
C
1
，

∠A
1
BC
1
是异面直线A
1
B与AD
1
所成的角，

设AB=a，AA
1
=2a，∴A
1
B=C
1
B=a，A
1
C
1
=
∠A
1
BC
1
的余弦值为，

a，

故选：D．




8．平面α 过正方体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
的 顶点A，α∥平面CB
1
D
1
，α∩平面
ABCD=m，α∩平面A BB
1
A
1
=n，则m、n所成角的正弦值为（ ）

A． B． C． D．

【解答】解：如图：α∥平面CB
1
D< br>1
，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA
1
B
1
=n，< br>
可知：n∥CD
1
，m∥B
1
D
1
，∵△ CB
1
D
1
是正三角形．m、n所成角就是∠CD
1
B1
=60°．

则m、n所成角的正弦值为：
故选：A．

．




9．正四棱锥P﹣ABCD的底面积为3，体积为
与BE所成的角为（ ）

，E为侧棱PC的中点，则PA

A． B． C． D．

【解答】解：过顶点作垂线，交底面正方形对角线交点O，连接OE，

∵正四棱锥P﹣ABCD的底面积为3，体积为
∴PO=，AB=，AC=，PA=，OB=
，


因为OE与PA在同一平面，是三角形PAC的中位线，

则∠OEB即为PA与BE所成的角

所以OE=，

=，

在Rt△OEB中，tan∠OEB=
所以∠OEB=

故选：B．



10．如图，在正方体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，O是底面ABCD的中心，E为CC
1
的中点， 那么异面直线OE与AD
1
所成角的余弦值等于（ ）


A． B． C． D．

【解答】解：取BC的中点F，连接EF，OF，BC
1
，如图所示：
∵E为CC
1
的中点，EF∥BC
1
∥AD
1
，

故∠OEF即为异面直线OE与AD
1
所成角

设正方体ABC D﹣A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为2，
则在△OEF中，EF=，OE=

故cos∠OEF=
故选：D．

=

11．如图，在直四棱柱（侧棱与底面垂直的四棱柱）ABCD﹣ A
1
B
1
C
1
D
1
中，已知
DC =DD
1
=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC，给出以下结论：

（ 1）异面直线A
1
B
1
与CD
1
所成的角为45°；

（2）D
1
C⊥AC
1
；

（3）在棱DC上 存在一点E，使D
1
E∥平面A
1
BD，这个点为DC的中点；
< br>（4）在棱AA
1
上不存在点F，使三棱锥F﹣BCD的体积为直四棱柱体积的．

其中正确的个数有（ ）


A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：（1）由题意可知DC=DD
1
=2AD=2AB，A D⊥DC，AB∥DC，所以
△DD
1
C
1
是等腰直角三角形，A< br>1
B
1
∥C
1
D
1
，异面直线A
1
B
1
与CD
1
所成的角为45°，
所以（1）正确．

（2）由题意可知，AD⊥平面DD
1
C
1
C，四边形DD1
C
1
C是正方形，所以D
1
C⊥
DC
1，

可得D
1
C⊥AC
1
；（2）正确；
< br>对于（3）在棱DC上存在一点E，使D
1
E∥平面A
1
BD，这个点 为DC的中点，
因为

DC=DD
1
=2AD=2AB，如图HG< br>（4）设AB=1，则棱柱的体积为：
体积为：=，显然体积比为
，所以E为中点，正确 ．

=，当F在A
1
时，A
1
﹣BCD的
，所以在 棱AA
1
上存在点F，
使三棱锥F﹣BCD的体积为直四棱柱体积的，所以（4）不正 确．

正确结果有（1）、（2）、（3）．

故选：C．




二．解答题（共39小题）

12．如图，已知三棱 锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为

PB中点，且△PMB为正三角形．

（1）求证：DM∥平面APC；

（2）求证：平面ABC⊥平面APC；

（3）若BC=4，AB=20，求三棱锥D﹣BCM的体积．


【解答】证明：（I）由已知得，MD是△ABP的中位线

∴MD∥AP∵MD?面APC，AP?面APC

∴MD∥面APC；


（II）∵△PMB为正三角形，D为PB的中点

∴MD⊥PB，∴AP⊥PB又∵AP⊥PC，PB∩PC=P

∴AP⊥面PBC（6分）∵BC?面PBC∴AP⊥BC

又∵BC⊥AC，AC∩AP=A∴BC⊥面APC，

∵BC?面ABC∴平面ABC⊥平面APC；


（III）由题意可知， 三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D
为PB中点，且△PMB为正三角形 ．

MD⊥面PBC，BC=4，AB=20，MB=10，DM=5，PB=10，PC==2，

∴MD是三棱锥D﹣BCM的高，S
△
BCD
=
∴．

×=2，




13．如图，已知AA
1
⊥平面ABC，BB
1
∥AA
1
，AB=AC=3，BC=2
BB
1
=2，点E和F分别为BC和A
1
C的中点．

（Ⅰ）求证：EF∥平面A
1
B
1
BA；

（Ⅱ）求证：平面AEA
1
⊥平面BCB
1
；

，AA
1
=，

（Ⅲ）求直线A
1
B
1
与平面BCB
1
所成角的大小．


【解答】（Ⅰ）证明：连接A
1
B，在△A
1
BC中，

∵E和F分别是BC和A
1
C的中点，∴EF∥A
1
B，

又∵A
1
B?平面A
1
B
1
BA，EF?平面A< br>1
B
1
BA，

∴EF∥平面A
1
B
1
BA；

（Ⅱ）证明：∵AB=AC，E为BC中点，∴AE⊥BC，

∵AA
1⊥平面ABC，BB
1
∥AA
1
，∴BB
1
⊥平面AB C，

∴BB
1
⊥AE，又∵BC∩BB
1
=B，∴AE⊥ 平面BCB
1
，

又∵AE?平面AEA
1
，∴平面AEA
1
⊥平面BCB
1
；

（Ⅲ）取BB
1
中 点M和B
1
C中点N，连接A
1
M，A
1
N，NE，

∵N和E分别为B
1
C和BC的中点，∴NE平行且等于B
1
B ，

∴NE平行且等于A
1
A，∴四边形A
1
AEN是平行 四边形，

∴A
1
N平行且等于AE，

又∵AE⊥平面B CB
1
，∴A
1
N⊥平面BCB
1
，

∴ ∠A
1
B
1
N即为直线A
1
B
1
与平面B CB
1
所成角，

在△ABC中，可得AE=2，∴A
1
N=AE=2，

∵BM∥A A
1
，BM=AA
1
，∴A
1
M∥AB且A
1M=AB，

又由AB⊥BB
1
，∴A
1
M⊥BB
1
，

在RT△A
1
MB
1
中，A
1
B
1
=
在RT△A
1
NB
1
中，sin∠A
1
B1
N=
=4，

=，

∴∠A
1
B< br>1
N=30°，即直线A
1
B
1
与平面BCB
1所成角的大小为30°

14．如图，三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．

（1）求证：BD∥平面FGH；

（2）若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH．


【解答】（I）证法一：如图所示，连接DG，CD，设CD∩GF=M，连接MH．

在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G为AC的中点．

∴，∴四边形CFDG是平行四边形，

∴DM=MC．又BH=HC，

∴MH∥BD，又BD?平面FGH，MH?平面FGH，

∴BD∥平面FGH；

证法二：在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，H为BC的中点．

∴，

∴四边形BHFE为平行四边形．

∴BE∥HF．

在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，

∴GH∥AB，又GH∩HF=H，

∴平面FGH∥平面ABED，

∵BD?平面ABED，∴BD∥平面FGH．

（II）证明：连接HE，∵G，H分别为AC，BC的中点，

∴GH∥AB，

∵AB⊥BC，∴GH⊥BC，

又H为BC的中点，∴EF∥HC，EF=HC，CF⊥BC．

∴EFCH是矩形，∴CF∥HE．

∵CF⊥BC，∴HE⊥BC．

又HE，GH?平面EGH，HE∩GH=H，

∴BC⊥平面EGH，又BC?平面BCD，

∴平面BCD⊥平面EGH．




15．如图，在直三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，D，E分别为AB，BC的中点，点F
在侧棱B
1
B上，且B
1
D⊥A
1
F，A
1
C
1
⊥A
1
B
1
．求证：

（1）直线DE∥平面A
1
C
1
F；

（2）平面B
1
DE⊥平面A
1
C
1
F．


【解答】解：（1）∵D，E分别为AB，BC的中点，

∴DE为△ABC的中位线，

∴DE∥AC，

∵ABC﹣A
1
B
1
C
1
为棱柱，

∴AC∥A
1
C
1
，

∴DE∥A
1
C
1
，

∵A
1
C
1
?平面A
1
C
1
F，且DE?平面A
1
C
1
F，

∴DE∥A
1
C
1
F；


（2）∵AB C﹣A
1
B
1
C
1
为直棱柱，

∴AA< br>1
⊥平面A
1
B
1
C
1
，

∴AA
1
⊥A
1
C
1
，

又∵A
1
C
1
⊥A
1
B
1
，且AA
1< br>∩A
1
B
1
=A
1
，AA
1
、A< br>1
B
1
?平面AA
1
B
1
B，
< br>∴A
1
C
1
⊥平面AA
1
B
1
B，

∵DE∥A
1
C
1
，

∴DE⊥平面AA
1
B
1
B，

又∵A
1
F?平面AA
1
B
1
B，

∴DE⊥A
1
F，

又∵A
1< br>F⊥B
1
D，DE∩B
1
D=D，且DE、B
1
D? 平面B
1
DE，

∴A
1
F⊥平面B
1
DE，

又∵A
1
F?平面A
1
C
1
F，

∴平面B
1
DE⊥平面A
1
C
1
F．



16．如图，三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC=，点D 、E
在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EF∥BC．< br>
（Ⅰ）证明：AB⊥平面PFE．

（Ⅱ）若四棱锥P﹣DFBC的体积为7，求线段BC的长．


【解答】解 ：（Ⅰ）如图，由DE=EC，PD=PC知，E为等腰△PDC中DC边的中
点，故PE⊥AC，
又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PE?平面PAC，PE⊥AC，

所以PE⊥平面ABC，从而PE⊥AB．

因为∠ABC=，EF∥BC，

故AB⊥EF，

从而AB与平面PEF内两条相交直线PE，EF都垂直，

所以AB⊥平面PEF．

（Ⅱ）设BC=x，则在直角△ABC中，AB=
从而S
△
ABC
=AB?BC=x
由EF∥BC知
故
，
=，

，得△AFE∽△ABC，

=（）
2
=，即S
△
AFE
=S
△
ABC
，

=S
△
ABC
=S
△
ABC
=x，
x﹣
由AD=AE，S
△
AFD
=
从而四边形DFBC的面积为 ：S
DFBC
=S
△
ABC
﹣S
AFD
=
x=x．

由（Ⅰ）知，PE⊥平面ABC，所以PE为四棱锥P﹣DFBC的高．

在直角△PEC中，PE===2，

故体积V
P
﹣
DFBC
=S
DFBC
?PE=x=7，

．

故得x
4
﹣36x
2
+243=0，解得x< br>2
=9或x
2
=27，由于x＞0，可得x=3或x=3
所以：BC= 3或BC=3．




17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，D， E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已
知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：< br>
（1）直线PA∥平面DEF；

（2）平面BDE⊥平面ABC．


【解答】证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，

又∵PA?平面DEF，DE?平面DEF，

∴PA∥平面DEF；

（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=PA=3；

又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=BC=4；

∴DE
2
+EF
2
=DF
2
，

∴∠DEF=90°，

∴DE⊥EF；

∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；

∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；

∵DE?平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．



18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．

（1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；

（3）设 点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说
明理由．

【解答】（1）证明：∵PC⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，

∴PC⊥DC，

∵DC⊥AC，PC∩AC=C，

∴DC⊥平面PAC；

（2）证明：∵AB∥DC，DC⊥AC，

∴AB⊥AC，

∵PC⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，

∴PC⊥AB，

∵PC∩AC=C，

∴AB⊥平面PAC，

∵AB?平面PAB，

∴平面PAB⊥平面PAC；

（3）解：在棱PB上存在中点F，使得PA∥平面CEF．

∵点E为AB的中点，

∴EF∥PA，

∵PA?平面CEF，EF?平面CEF，

∴PA∥平面CEF．



19．如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．

（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；

（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD的体积为
侧面积．

，求该三棱锥的

【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD为菱形，

∴AC⊥BD，

∵BE⊥平面ABCD，

∴AC⊥BE，

则AC⊥平面BED，

∵AC?平面AEC，

∴平面AEC⊥平面BED；

解：（Ⅱ）设AB=x，在菱形ABCD中，由∠AB C=120°，得AG=GC=
GB=GD=，

∵BE⊥平面ABCD，

∴BE⊥BG，则△EBG为直角三角形，

∴EG=AC=AG=
则BE==
x，

x，

==，

x，
∵三棱锥E﹣ACD的体积V=
解得x=2，即AB=2，

∵∠ABC=120°，

∴AC
2
=AB
2
+B C
2
﹣2AB?BCcosABC=4+4﹣2×=12，

即AC=，

在三个直角三角形EBA，EBG，EBC中，斜边AE=EC=ED，

∵AE⊥EC，∴△EAC为等腰三角形，

则AE
2
+EC
2
=AC
2
=12，

即2AE
2
=12，

∴AE
2
=6，

则AE=，

∴从而得AE=EC=ED=，

∴△EAC的面积S==3，

在等腰三角形EAD中，过E作EF⊥AD于F，

则AE=
则EF=
，AF==
，

=，

，

∴△EAD的面积和△ECD的面积均为S=
故该三棱锥的侧面积为3+2．




20．在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠B AC=∠CAD=60°，PA⊥
平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2．

（1）求证：PC⊥AE；

（2）求证：CE∥平面PAB；

（3）求三棱锥P﹣ACE的体积V．

【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AB=1，∠BAC=60°，

∴BC=，AC=2．取PC中点F，连AF，EF，

∵PA=AC=2，∴PC⊥AF．

∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，

∴PA⊥CD，又∠ACD=90°，即CD⊥AC，

∴CD⊥平面PAC，∴CD⊥PC，

∴EF⊥PC，∴PC⊥平面AEF，∴PC⊥AE．

（2）证明：取AD中点M，连EM，CM．则

EM∥PA．∵EM?平面PAB，PA?平面PAB，

∴EM∥平面PAB．

在Rt△ACD中，∠CAD=60°，AC=AM=2，

∴∠ACM=60°．而 ∠BAC=60°，∴MC∥AB．∵MC?平面PAB，AB?平面PAB，
∴MC∥平面PAB．< br>
∵EM∩MC=M，∴平面EMC∥平面PAB．∵EC?平面EMC，∴EC∥平面PAB．

（3）由（1）知AC=2，EF=CD，且EF⊥平面PAC．在Rt△ACD中，AC=2，
∠CAD=60°，

∴CD=2，得EF=．

=．


则V=V
E
﹣
PAC
=?S
△
PAC
?E F=?（?2?2）?

21．如图，在直三 棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，已知AC⊥BC，BC=C C
1
，设AB
1
的
中点为D，B
1
C∩BC
1
=E．

求证：

（1）DE∥平面AA
1
C
1
C；

（2）BC
1
⊥AB
1
．


【解答】证明：（1）如图所示，

由据题意得，

E为B
1
C的中点，D为AB
1
的中点，所以DE∥AC；

又因为DE?平面AA
1
C
1
C，AC?平面AA
1
C
1
C，

所以DE∥平面AA
1
C
1
C；

（2）【方法一 】因为棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
是直三棱柱，

所以CC
1
⊥平面ABC，

因为AC?平面ABC，

所以AC⊥CC
1
；

又因为AC⊥BC，

CC
1
?平面BCC
1
B
1
，

BC?平面BCC
1
B
1
，

BC∩CC
1
=C，

所以AC⊥平面BCC
1
B
1
；

又因为BC
1
?平面BCC
1
B
1
，

所以BC
1
⊥AC；

因为BC=CC
1
，所以矩 形BCC
1
B
1
是正方形，

所以BC
1
⊥平面B
1
AC；

又因为AB
1
?平面B
1
AC，

所以BC
1
⊥AB
1
．

【方法二】根据题意，A
1
C
1
⊥B
1
C
1
，CC
1⊥平面A
1
B
1
C
1
，


以C
1
为原点建立空间直角坐标系，

C
1
A1
为x轴，C
1
B
1
为y轴，C
1
C为z轴， 如图所示；

设BC=CC
1
=a，AC=b，

则A（b ，0，a），B
1
（0，a，0），B（0，a，a），C
1
（0，0，0） ；

∴
∴
∴
=（﹣b，a，﹣a），
?
⊥
=（0，﹣a，﹣a），

=﹣b×0+a×（﹣a）﹣a×（﹣a）=0，

，

即AB
1
⊥BC
1
．



22．如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．

（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；

（Ⅱ）若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A﹣MBC的体积．


【解答】（Ⅰ）证明：∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，

∴AB⊥CD，

∵CD⊥BD，AB∩BD=B，

∴CD⊥平面ABD；

（Ⅱ）解：∵AB⊥平面BCD，BD?平面BCD，

∴AB⊥BD．

∵AB=BD=1，

∴S
△
ABD
=，

∵M为AD中点，

∴S
△
ABM
=S
△
ABD
=，

∵CD⊥平面ABD，

∴V
A
﹣
MBC
=VC
﹣
ABM
=S
△
ABM
?CD=


23．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=AD=a，E
．

是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到如图2中△A
1< br>BE
的位置，得到四棱锥A
1
﹣BCDE．


（Ⅰ）证明：CD⊥平面A
1
OC；

（Ⅱ）当平面A
1< br>BE⊥平面BCDE时，四棱锥A
1
﹣BCDE的体积为36
的值．

，求a
【解答】解：

（I）在图1中，

因为AB=BC=
∠BAD=，

=a，E是AD的中点，

所以BE⊥AC，

即在图2中，BE⊥A
1
O，BE⊥OC，

从而BE⊥面A
1
OC，

由CD∥BE，

所以CD⊥面A
1
OC，

（II）即A
1
O是四棱锥A
1
﹣BCDE的高，

根据图1得出A
1
O=AB=a，

∴平行四边形BCDE的面积S=BC?AB=a
2
，

V=
由a=


24．如图，四棱锥P﹣ABCD中，AP⊥平面P CD，AD∥BC，AB=BC=AD，E，
F分别为线段AD，PC的中点．

（Ⅰ）求证：AP∥平面BEF；

（Ⅱ）求证：BE⊥平面PAC．

a
3
=36
=a=
，得出a=6．

a
3
，


【解答】证明：（Ⅰ）连接CE，则

∵AD∥BC，BC=AD，E为线段AD的中点，

∴四边形ABCE是平行四边形，BCDE是平行四边形，

设AC∩BE=O，连接OF，则O是AC的中点，

∵F为线段PC的中点，

∴PA∥OF，

∵PA?平面BEF，OF?平面BEF，

∴AP∥平面BEF；

（Ⅱ）∵BCDE是平行四边形，

∴BE∥CD，

∵AP⊥平面PCD，CD?平面PCD，

∴AP⊥CD，

∴BE⊥AP，

∵AB=BC，四边形ABCE是平行四边形，

∴四边形ABCE是菱形，

∴BE⊥AC，

∵AP∩AC=A，

∴BE⊥平面PAC．




25．在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．

（Ⅰ）已知AB=BC，AE=EC，求证：AC⊥FB；

（Ⅱ）已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥平面ABC．


【解答】（Ⅰ）证明：如图所示，∵D是AC的中点，AB=BC，AE=EC，

∴△BAC、△EAC都是等腰三角形，

∴BD⊥AC，ED⊥AC．

∵EF∥DB，∴E、F、B、D四点共面，这样，

AC垂直于平面EFBD内的两条相交直线ED、BD，

∴AC⊥平面EFBD．

显然，FB?平面EFBD，∴AC⊥FB．

（Ⅱ）已知G，H分别是EC和FB的中点，再取CF的中点O，

则OG∥EF，又∵EF∥DB，故有OG∥BD，

而BD?平面ABC，∴OG∥平面ABC．

同理，OH∥BC，而BC?平面ABC，∴OH∥平面ABC．

∵OG∩OH=O，∴平面OGH∥平面ABC，∴GH∥平面ABC．

26．如图，直三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，D，E分别是AB，BB
1
的中点

（Ⅰ）证明：BC
1
∥平面A
1
CD；

（Ⅱ）AA
1
=AC=CB=2，AB=，求三棱锥C﹣A
1
DE的体积．


【解答】解：（Ⅰ）证明：连接AC
1
交A
1
C于点F，则F为AC
1
的中点．

∵直棱柱ABC ﹣A
1
B
1
C
1
中，D，E分别是AB，BB
1< br>的中点，故DF为三角形ABC
1
的中位线，故DF∥BC
1
．

由于DF?平面A
1
CD，而BC
1
不在平面A
1CD中，故有BC
1
∥平面A
1
CD．

（Ⅱ）∵AA
1
=AC=CB=2，AB=2
形．


，故此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角
=．

由D为AB的中点可得CD⊥平面ABB
1
A
1
，∴CD=
∵A
1
D==，同理，利用勾股定理求得 DE=，A
1
E=3．

再由勾股定理可得
∴
∴
=
=?
=
+DE
2
=
，

，∴A
1
D⊥DE．

?CD=1．

，BC=CD=2，∠


27．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面 ABCD，PA=2
ACB=∠ACD=．

（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）若侧棱PC上的点F满足PF=7FC，求三棱锥P﹣BDF的体积．


【解答】解：（Ⅰ）∵BC=CD=2，∴△BCD为等腰三角形，再由
∴BD⊥AC．

再由PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BD．

而PA∩AC=A，故BD⊥平面PAC．

（Ⅱ）∵侧棱PC上的点F满足PF=7FC，

∴三棱锥F﹣BCD的高是三棱锥P﹣BCD的高的．

△BCD的面积S
△
BCD
=BC?CD?sin∠BCD=
∴三棱锥P﹣BDF的体积 V=V
P
=×
==．


﹣
，
=
BCD
．

﹣﹣V
F
﹣
BCD
=


28．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC，∠AP D=90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为，求该
四棱锥的侧面积．

【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，∠BAP=∠CDP=90°，

∴AB⊥PA，CD⊥PD，

又AB∥CD，∴AB⊥PD，

∵PA∩PD=P，∴AB⊥平面PAD，

∵AB?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD．

解：（2）设PA=PD=AB=DC=a，取AD中点O，连结PO，

∵PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，平面PAB⊥平面PAD，

∴PO⊥底面ABCD，且AD=
∵四棱锥P﹣ABCD的体积为，

由AB⊥平面PAD，得AB⊥AD，

∴V
P
﹣
ABCD
=
==

=，PO=，

==，

，PO=，

解得a=2，∴PA=PD=AB=DC=2，AD=BC=2
∴PB=PC==2，

∴该四棱锥的侧面积：

S
侧
=S
△
PAD
+S
△
PAB
+S
△
PDC
+S
△
PB C

=
=
=6+2．

+++





29．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，C D=2AB，平面PAD
⊥底面ABCD，PA⊥AD．E和F分别是CD和PC的中点，求证：

（Ⅰ）PA⊥底面ABCD；

（Ⅱ）BE∥平面PAD；

（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．

【解答】解：（Ⅰ）∵ PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面
ABCD=AD，由平面和平面垂直的性质 定理可得PA⊥平面ABCD．



（Ⅱ）∵AB∥CD，AB⊥AD，C D=2AB，E和F分别是CD和PC的中点，故四
边形ABED为平行四边形，故有BE∥AD．
又AD?平面PAD，BE不在平面PAD内，故有BE∥平面PAD．


（Ⅲ）平行四边形ABED中，由AB⊥AD可得，ABED为矩形，故有BE⊥CD ①．

由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，

∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD．

再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EF∥PD，

∴CD⊥EF ②．

而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD⊥平面BEF．

由于CD?平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．



30． 如图，三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，侧面BB
1
C
1
C为菱形，B
1
C的中点为O，
且AO⊥平面BB< br>1
C
1
C．

（1）证明：B
1
C⊥AB；

（2）若AC⊥AB
1，∠CBB
1
=60°，BC=1，求三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
的高．


【解答】（1）证明：连接BC
1
，则O为B
1
C与BC
1
的交点，

∵侧面BB
1
C
1
C为菱形，

∴BC
1
⊥B
1
C，

∵AO⊥平面BB
1
C
1
C，

∴AO⊥B
1
C，

∵AO∩BC
1
=O，

∴B
1
C⊥平面ABO，

∵AB?平面ABO，

∴B
1
C⊥AB；

（2）解：作OD⊥BC，垂足为D，连接AD，作OH⊥AD，垂足为H，

∵BC⊥AO，BC⊥OD，AO∩OD=O，

∴BC⊥平面AOD，

∴OH⊥BC，

∵OH⊥AD，BC∩AD=D，

∴OH⊥平面ABC，

∵∠CBB
1
=60°，

∴△CBB
1
为等边三角形，

∵BC=1，∴OD=，

∵AC⊥AB
1
，∴OA=B
1
C=，

由OH?AD=OD?OA，可得AD=
∵O为B
1
C的中点，
< br>∴B
1
到平面ABC的距离为
∴三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
的高
，

．

=，∴OH=，



31．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面 ABCD为直角梯形，AD||BC，PD⊥底
面ABCD，

∠ADC=90°，AD=2BC，Q为AD的中点，M为棱PC的中点．

（Ⅰ）证明：PA∥平面BMQ；

（Ⅱ）已知PD=DC=AD=2，求点P到平面BMQ的距离．


【解答】解：（1）连结AC交BQ于N，连结MN，因为∠ADC=90°，Q为AD
的中点，所 以N为AC的中点．…（2分）

当M为PC的中点，即PM=MC时，MN为△PAC的中位线，

故MN∥PA，又MN?平面BMQ，所以PA∥平面BMQ．…（5分）

（2）由 （1）可知，PA∥平面BMQ，所以点P到平面BMQ的距离等于点A到
平面BMQ的距离，所以V< br>P
﹣
BMQ
=V
A
﹣
BMQ
=V
M
﹣
ABQ
，

取CD的中点K，连结MK，所以MK∥PD，
又PD⊥底面ABCD，所以MK⊥底面ABCD．

，…（7分）

又，PD=CD=2，所以AQ=1，BQ=2，
.
…（12分）

，…（10分）

，…（11分）

所以V
P
﹣< br>BMQ
=V
A
﹣
BMQ
=V
M
﹣
A BQ
=
则点P到平面BMQ的距离d=



32．如图， AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O
所在的平面，且PO=OB=1，< br>
（Ⅰ）若D为线段AC的中点，求证；AC⊥平面PDO；

（Ⅱ）求三棱锥P﹣ABC体积的最大值；

（Ⅲ）若BC=，点E在线段PB上，求CE+OE的最小值．


【解答】解：（Ⅰ）在△AOC中，因为OA=OC，D为AC的中点，

所以AC⊥DO，

又PO垂直于圆O所在的平面，

所以PO⊥AC，

因为DO∩PO=O，

所以AC⊥平面PDO．

（Ⅱ）因为点C在圆O上，

所以当CO⊥AB时，C到AB的距离最大，且最大值为1，

又AB=2，所以△ABC面积的最大值为
又因为三棱锥P﹣ABC的高PO=1，

故三棱锥P﹣ABC体积的最大值为：
（Ⅲ）在△POB中，PO=OB=1，∠POB=90 °，

所以PB==，

．

，

同理PC=，所以PB=PC=BC，

在三棱锥P﹣AB C中，将侧面BCP绕PB旋转至平面BC′P，使之与平面ABP
共面，如图所示，

当O，E，C′共线时，CE+OE取得最小值，

又因为OP=OB，C′P=C′B，

所以OC′垂直平分PB，即E为PB中点．

从而OC′=OE+EC′==．

亦即CE+OE的最小值为：．





33．如图，三棱柱ABC﹣A
1
B1
C
1
中，CA=CB，AB=AA
1
，∠BAA
1< br>=60°

（Ⅰ）证明：AB⊥A
1
C；

（Ⅱ）若 AB=CB=2，A
1
C=，求三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
积．

【解答】（Ⅰ）证明：如图，

取AB的中点O，连结OC，OA
1
，A
1
B．

因为CA=CB，所以OC⊥AB．

由于AB=AA
1
，，故△AA
1
B为等边三角形，

所以OA
1
⊥AB．

因为OC∩OA
1
=O，所以AB⊥平面OA
1
C．
又A
1
C?平面OA
1
C，故AB⊥A
1
C；

（Ⅱ）解：由题设知△ABC与△AA
1
B都是边长为2的等边三角形，

所以．

体的

又，则，故OA
1
⊥OC．

因为OC∩AB=O，所以OA
1
⊥平面ABC，OA
1
为三棱柱ABC﹣A
1
B
1C
1
的高．

又△ABC的面积
．

，故三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
的体积



34．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形 ，又PD
⊥底ABCD，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．

（1）证明：DN∥平面PMB；

（2）证明：平面PMB⊥平面PAD；

（3）求点A到平面PMB的距离．


【解答】解：（1）证明：取PB中点Q，连接MQ、NQ，

因为M、N分别是棱AD、PC中点，

所以QN∥BC∥MD，且QN=MD，于是DN∥MQ．

?DN∥平面PMB．


（2）?PD⊥MB

又因为底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，且M为AD中点，

所以MB⊥AD．

又AD∩PD=D，

所以MB⊥平面PAD.?平面PMB⊥平面PAD．

（3）因为M是AD中点，所以点A与D到平面PMB等距离．

过点D作DH⊥PM于H，由（2）平面PMB⊥平面PAD，所以DH⊥平面PMB．

故DH是点D到平面PMB的距离.．

∴点A到平面PMB的距离为．



35．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面A BCD，
且PA=2，E是侧棱PA上的动点．

（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；

（2）如果E是PA的中点，求证：PC∥平面BDE；

（3）是否不论点E在侧棱PA的任何位置，都有BD⊥CE？证明你的结论．



【解答】解：（1）∵PA⊥底面ABCD，∴PA为此四棱锥底面上的高．

∴V
四棱锥
P
﹣
ABCD
==．

（2）连接AC交BD于O，连接OE．

∵四边形ABCD是正方形，∴AO=OC，

又∵AE=EP，∴OE∥PC．

又∵PC?平面BDE，OE?平面BDE．

∴PC∥平面BDE．

（3）不论点E在侧棱PA的任何位置，都有BD⊥CE．

证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC．

∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD．

又∵PA∩AC=A，

∴BD⊥平面PAC．

∵CE?平面PAC．

∴BD⊥CE．




36．如图，在正方体ABCD﹣ A
1
B
1
C
1
D
1
中，E、F、P、Q、 M、N分别是棱AB、
AD、DD
1
、BB
1
、A
1
B
1
、A
1
D
1
的中点，求证：

（Ⅰ）直线BC
1
∥平面EFPQ；

（Ⅱ）直线AC
1
⊥平面PQMN．


【解答】证明：（ Ⅰ）在正方体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，连接AD
1
，

∵AD
1
∥BC
1
，且F、P分别是AD、DD
1
的中点，

∴FP∥AD
1
，∴BC
1
∥FP，

又FP?平面EFPQ，且BC
1
?平面EFPQ，

∴直线BC
1
∥平面EFPQ；

（Ⅱ）连接AC、BD，B
1
D
1
，则AC⊥BD，

∵CC
1
⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，

∴CC
1
⊥BD；

又AC∩CC
1
=C，∴BD⊥平面ACC
1
，

又AC
1
?平面ACC
1
，∴BD⊥AC
1
；
< br>又∵M、N分别是A
1
B
1
、A
1
D
1的中点，

∴MN∥B
1
D
1
，

又B
1
D
1
∥BD，∴MN∥BD，

∴MN⊥AC
1
；

又PN∥A
1
D，A
1
D⊥AD
1
，C
1
D
1
⊥平面ADD
1
A
1
，

∴C
1
D
1
⊥AD
1
，

且AD
1
∩C
1
D
1
= D
1
，

∴A
1
D⊥平面AC
1
D
1
，

∴A
1
D⊥AC
1
，

∴PN⊥AC
1
；

又PN∩MN=N，∴直线AC
1
⊥平面PQMN．




37．如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点 ，
且BF⊥平面ACE．

（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；

（Ⅱ）求证；AE∥平面BFD；

（Ⅲ）求三棱锥C﹣BGF的体积．


【解答】解：（Ⅰ）证明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，

∴BC⊥平面ABE，则AE⊥BC．又∵BF⊥平面ACE，则AE⊥BF

∴AE⊥平面BCE．（4分）

（Ⅱ）证明：依题意可知：G是AC中点，

∵BF⊥平面ACE，则CE⊥BF，而BC=BE，∴F是EC中点．（6分）

在△AEC中，FG∥AE，∴AE∥平面BFD．（8分）

（Ⅲ）解：∵AE∥平面BFD，∴AE∥FG，而AE⊥平面BCE，

∴FG⊥平面BCE，∴FG⊥平面BCF，（10分）

∵G是AC中点，∴F是C E中点，且
∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥CE．∴Rt△BCE中，
∴，（12分）∴
，

．

（14分）

38．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA= 2，∠
PDA=45°，点E、F分别为棱AB、PD的中点．

（Ⅰ）求证：AF∥平面PCE；

（Ⅱ）求证：平面PCE⊥平面PCD；

（Ⅲ）求三棱锥C﹣BEP的体积．


【解答】解：证明：（Ⅰ）取PC的中点G，

连接FG、EG

∴FG为△CDP的中位线

∴FGCD

∵四边形ABCD为矩形，

∵E为AB的中点

∴AECD

∴FGAE

∴四边形AEGF是平行四边形（2分）

∴AF∥EG又EG?平面PCE，AF?平面PCE

∴AF∥平面PCE（4分）

（Ⅱ）∵PA⊥底面ABCD

∴PA⊥AD，PA⊥CD，

又AD⊥CD，PA∩AD=A

∴CD⊥平面ADP又AF?平面ADP，

∴CD⊥AF

在RT△PAD中，∠PDA=45°

∴△PAD为等腰直角三角形，

∴PA=AD=2（6分）

∵F是PD的中点，∴AF⊥PD，又CD∩PD=D

∴AF⊥平面PCD

∵AF∥EG，

∴EG⊥平面PCD，又EG?平面PCE

∴平面PCE⊥平面PCD（8分）

（Ⅲ）PA⊥底面ABCD

在Rt△BCE中，BE=1，BC=2，（10分）

∴三棱锥C﹣BEP的体积

V
C
﹣
BEP
=V< br>P
﹣
BCE
==（12分）



39．如 图，三棱锥ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，侧棱A
1< br>A⊥底面ABC，且各棱长均相等，
D，E，F分别为棱AB，BC，A
1
C< br>1
的中点

（Ⅰ）证明EF∥平面A
1
CD；
（Ⅱ）证明平面A
1
CD⊥平面A
1
ABB
1
；

（Ⅲ）求直线B
1
C
1
与平面A
1
CD所成角 的正弦值．



【解答】证明：（I）三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，AC∥A
1
C
1
，AC= A
1
C
1
，连接ED，

可得DE∥AC，DE=AC，又 F为棱A
1
C
1
的中点．∴A
1
F=DE，A
1< br>F∥DE，

所以A
1
DEF是平行四边形，所以EF∥DA
1
，
DA
1
?平面A
1
CD，EF?平面A
1
CD，∴EF ∥平面A
1
CD

（II）∵D是AB的中点，∴CD⊥AB，

又AA
1
⊥平面ABC，CD?平面ABC，

∴AA
1
⊥CD，又AA
1
∩AB=A，

∴CD ⊥面A
1
ABB
1
，又CD?面A
1
CD，

∴平面A
1
CD⊥平面A
1
ABB
1
；

（III）过B作BG⊥A
1
D交A
1
D于G，

∵平面A
1
CD⊥平面A
1
ABB
1
，且平面A
1
CD∩平面A
1
ABB
1
=A
1
D，

BG⊥A
1
D，

∴BG⊥面A
1
CD，

则∠BCG为所求的角，

设棱长为a，可得A
1
D=，由△A
1
AD∽△BGD，得BG=
=，

．

，

在直角△BGC中，sin∠BCG=∴直线BC与平面A
1
CD所成角的正弦值



40 ．如图，在三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，侧棱AA1
⊥底面ABC，AB⊥BC，D为
AC的中点，A
1
A=AB=2，B C=3．

（1）求证：AB
1
∥平面BC
1
D；

（2）求四棱锥B﹣AA
1
C
1
D的体积．


【解答】解：

（1）证明：连接B
1
C，设B
1
C与BC
1
相交于点O，连接OD，

∵四边形BCC
1
B
1
是平行四边形，

∴点O为B
1
C的中点．

∵D为AC的中点，

∴OD为△AB
1
C的中位线，

∴OD∥AB
1
．（3分）

∵OD?平面BC
1
D，AB
1
?平面BC
1
D，

∴AB
1
∥平面BC
1
D．（6分）

（2）∵A A
1
⊥平面ABC，AA
1
?平面AA
1
C
1C，

∴平面ABC⊥平面AA
1
C
1
C，且平面AB C∩平面AA
1
C
1
C=AC．

作BE⊥AC，垂足为E ，则BE⊥平面AA
1
C
1
C，（8分）

∵AB=BB
1
=2，BC=3，

在R t△ABC中，
∴四棱锥B﹣AA
1
C
1
D的体积
==3．

，，（10分）

（12分）
∴四棱锥B﹣AA
1
C
1
D的体积为3．（14分）




41． 如图所示，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，
AF∥DE，D E=DA=2AF=2．

（1）求证：AC∥平面BEF；

（2）求四面体BDEF的体积．


【解答】证明：（1）设AC∩BD=O，取BE中点G，连接FG，OG，

所以，OG∥DE，且OG=DE．

因为AF∥DE，DE=2AF，

所以AF∥OG，且OG=AF，

从而四边形AFGO是平行四边形，FG∥OA．

因为FG?平面BEF，AO?平面BEF，

所以AO∥平面BEF，即AC∥平面BEF．…（6分）

解：（2）因为平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，

所以AB⊥平面ADEF．因为AF∥DE，∠ADE=90°，DE=DA=2AF=2

所以△DEF的面积为S
△
DEF
=×ED×AD=2，

所以四面体BDEF的体积V=?S
△
DEF
×AB=（12分）




42．如图，三角形ABC中，AC=BC=，ABED是边长为1的 正方形，平面
ABED⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．

（Ⅰ）求证：GF∥底面ABC；

（Ⅱ）求证：AC⊥平面EBC；

（Ⅲ）求几何体ADEBC的体积V．


【解答】解：（I）证法一：取BE的中点H，连接HF、GH，（如图）


∵G、F分别是EC和BD的中点

∴HG∥BC，HF∥DE，（2分）

又∵ADEB为正方形∴DE∥AB，从而HF∥AB

∴HF∥平面ABC，HG∥平面ABC，HF∩HG=H，

∴平面HGF∥平面ABC

∴GF∥平面ABC（5分）

证法二：取BC的中点M，AB的中点N连接GM、FN、MN

（如图）


∵G、F分别是EC和BD的中点

∴（2分）

又∵ADEB为正方形∴BE∥AD，BE=AD

∴GM∥NF且GM=NF

∴MNFG为平行四边形

∴GF∥MN，又MN?平面ABC，

∴GF∥平面ABC（5分）

证法三：连接AE，

∵ADEB为正方形，

∴AE∩BD=F，且F是AE中点，（2分）

∴GF∥AC，

又AC?平面ABC，

∴GF∥平面ABC（5分）

（Ⅱ）∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB，∴GF∥平面ABC（5分）

又∵平面ABED⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC（7分）

∴BE⊥AC

又∵CA
2
+CB
2
=AB
2

∴AC⊥BC，

∵BC∩BE=B，

∴AC⊥平面BCE（9分）

（Ⅲ）连接CN，因为AC=BC，∴CN⊥AB，（10分）

又平面ABED⊥平面ABC，CN?平面ABC，∴CN⊥平面ABED．（11分）

∵三角形ABC是等腰直角三角形，∴
∵C﹣ABED是四棱锥，

∴V
C
﹣
ABED
==（14分）

，（12分）

43．如图，四棱柱 ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
的底面AB CD是正方形，O为底面中心，
A
1
O⊥平面ABCD，AB=AA
1
=．

（Ⅰ） 证明：平面A
1
BD∥平面CD
1
B
1
；

（Ⅱ） 求三棱柱ABD﹣A
1
B
1
D
1
的体积．


【解答】解：（Ⅰ）∵四棱柱ABCD﹣A
1
B
1
C1
D
1
的底面ABCD是正方形，O为底
面中心，A
1
O⊥平面ABCD，AB=AA
1
=，

由棱柱的性质可得BB
1
和DD
1
平行且相等，故四边形BB1
D
1
D为平行四边形，
故有BD和B
1
D
1
平行且相等．

而BD不在平面CB
1
D
1
内，而 B
1
D
1
在平面CB
1
D
1
内，∴BD∥ 平面CB
1
D
1
．

同理可证，A
1
BC D
1
为平行四边形，A
1
B∥平面CB
1
D
1．

而BD和A
1
B是平面A
1
BD内的两条相交直线 ，故有平面A
1
BD∥平面CD
1
B
1
．

（Ⅱ） 由题意可得A
1
O为三棱柱ABD﹣A
1
B
1D
1
的高．三角形A
1
AO中，由勾
股定理可得A
1< br>O===1，

?A
1
O=×1=1．

∴三棱柱A BD﹣A
1
B
1
D
1
的体积V=S
△
AB D
?A
1
O=


44．如图，三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=A A
1
，
D是棱AA
1
的中点．

（Ⅰ）证明：平面BDC
1
⊥平面BDC

（Ⅱ）平面BDC
1
分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．


【解答】证明：（1）由题意知BC⊥CC
1
，BC⊥AC，CC
1
∩AC=C，

∴BC⊥平面ACC
1
A
1
，又DC
1
?平面ACC
1
A
1
，

∴DC
1
⊥BC．

由题设知∠A
1
DC
1
=∠ADC=45°，

∴ ∠CDC
1
=90°，即DC
1
⊥DC，又DC∩BC=C，

∴DC
1
⊥平面BDC，又DC
1
?平面 BDC
1
，

∴平面BDC
1
⊥平面BDC；
< br>（2）设棱锥B﹣DACC
1
的体积为V
1
，AC=1，由题意得V< br>1
=××1×1=，

又三棱柱ABC﹣A
1
B
1< br>C
1
的体积V=1，

∴（V﹣V
1
）：V
1
=1：1，

∴平面BDC
1
分此棱柱两部分体积的比为1：1．



45．由四棱柱ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
截去三棱锥C
1
﹣B
1
CD
1
后得到的几何体 如图所
示，四边形ABCD为正方形，O为AC与BD 的交点，E为AD的中点，A
1
E⊥
平面ABCD，

（Ⅰ）证明：A
1
O∥平面B
1
CD
1
；

（Ⅱ）设M是OD的中点，证明：平面A
1
EM⊥平面B
1
CD1
．


【解答】证明：（Ⅰ）取B
1
D
1< br>中点G，连结A
1
G、CG，

∵四边形ABCD为正方形，O为AC与BD 的交点，

∴四棱柱ABCD﹣A1
B
1
C
1
D
1
截去三棱锥C
1﹣B
1
CD
1
后，A
1
G
∴四边形OCGA< br>1
是平行四边形，∴A
1
O∥CG，

∵A
1
O?平面B
1
CD
1
，CG?平面B
1
CD
1< br>，

∴A
1
O∥平面B
1
CD
1
．

（Ⅱ）四棱柱ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
截去三棱锥C
1
﹣B
1
CD
1
后，BDB
1D
1
，

OC，

∵M是OD的中点，O为AC与BD 的交点，E为AD的中点，A
1
E⊥平面ABCD，

又BD?平面ABCD，∴BD⊥A
1
E，

∵四边形ABCD为正方形，O为AC与BD 的交点，

∴AO⊥BD，

∵M是OD的中点，E为AD的中点，∴EM⊥BD，

∵A
1
E∩EM=E，∴BD⊥平面A
1
EM，

∵BD∥B
1
D
1
，∴B
1
D
1
⊥平面A
1
EM，

∵B
1
D
1
?平面B
1
CD
1
，

∴平面A
1
EM⊥平面B
1
CD
1
．

46．如图，在正方体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，M、N、G分别是A
1
A，D
1
C，AD
的中点．求证：

（1）MN∥平面ABCD；

（2）MN⊥平面B
1
BG．


【解答】证明：（1）取CD的中点记为E，连接NE，AE．

由N，E分别为CD
1
与CD的中点可得

NE∥D
1
D且NE=D
1
D，

又AM∥D
1
D且AM=D
1
D，

所以AM∥EN且AM=EN，即四边形AMNE为平行四边形，

所以MN∥AE，

又AE?平面ABCD，

所以MN∥平面ABCD．

（2）由AG=DE，∠BAG=∠ADE=90°，DA=AB

可得△EDA≌△GAB．

所以∠AGB=∠AED，

又∠DAE+∠AED=90°，

所以∠DAE+∠AGB=90°，

所以AE⊥BG，

又BB
1
⊥AE，所以AE⊥平面B
1
BG，

又MN∥AE，所以MN⊥平面B
1
BG．




47．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，
EF ∥AB，AB=2EF，平面BCF⊥平面ABCD，BF=CF，点G为BC的中点．

（1）求证：直线OG∥平面EFCD；

（2）求证：直线AC⊥平面ODE．

【解答】证明（1）∵四边形ABCD是菱形，AC∩BD=O，∴点O是BD的中点，

∵点G为BC的中点∴OG∥CD，…（3分）

又∵OG?平面EFCD，CD?平面EFCD，∴直线OG∥平面EFCD．…（7分）

（2）∵BF=CF，点G为BC的中点，∴FG⊥BC，

∵平面BCF⊥平面AB CD，平面BCF∩平面ABCD=BC，FG?平面BCF，FG⊥
BC∴FG⊥平面ABCD，…（ 9分）

∵AC?平面ABCD∴FG⊥AC，

∵，，∴OG∥EF，OG=EF，

∴四边形EFGO为平行四边形，∴FG∥EO，…（11分）

∵FG⊥AC，FG∥EO，∴AC⊥EO，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥DO，

∵AC⊥EO，AC⊥DO，EO∩DO=O，EO、DO在平面ODE内，

∴AC⊥平面ODE．…（14分）




48．如图， 已知二面角α﹣MN﹣β的大小为60°，菱形ABCD在面β内，A、B
两点在棱MN上，∠BAD= 60°，E是AB的中点，DO⊥面α，垂足为O．

（Ⅰ）证明：AB⊥平面ODE；

（Ⅱ）求异面直线BC与OD所成角的余弦值．


【解答】（1）证明：如图

∵DO⊥面α，AB?α，∴DO⊥AB，

连接BD，由题设知，△ABD是正三角形，

又E是AB的中点，∴DE⊥AB，又DO∩DE=D，

∴AB⊥平面ODE；

（Ⅱ）解：∵BC∥AD，

∴BC与OD 所成的角等于AD与OD所成的角，即∠ADO是BC与OD所成的

角，

由（Ⅰ）知，AB⊥平面ODE，

∴AB⊥OE，又DE⊥AB，于是∠DEO是二面角α﹣MN﹣β的平面角，

从而∠DEO=60°，不妨设AB=2，则AD=2，易知DE=，

在Rt△DO E中，DO=DEsin60°=，连AO，在Rt△AOD中，cos∠ADO=
故异面直线BC与O D所成角的余弦值为．

=，




49．如图 1，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB=1，BC=PC=2作如
图2折叠；折痕EF ∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后
点P叠在线段AD上的点记为M，并且M F⊥CF．

（1）证明：CF⊥平面MDF；

（2）求三棱锥M﹣CDE的体积．


【解答】解：（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，PD?平面PCD，

∴平面PCD⊥平面ABCD；

又平面PCD∩平面ABCD=CD，MD?平面ABCD，MD⊥CD，

∴MD⊥平面PCD，CF?平面PCD，∴CF⊥MD；

又CF⊥MF，MD、MF?平面MDF，MD∩MF=M，

∴CF⊥平面MDF；

（2）∵CF⊥平面MDF，∴CF⊥DF，

又∵Rt△PCD中，DC=1，PC=2，

∴∠P=30°，∠PCD=60°，

∴∠CDF=30°，CF=CD=；

∵EF∥DC，∴=，即=，

∴DE=，∴PE=，

；

=
×=
，

．

∴S
△
CDE< br>=CD?DE=
MD==
∴V
M
﹣
CDE
=S
△
CDE
?MD=×


50．如图：在四棱锥P﹣ABCD中， 底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥平
面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点，且 PA=AB=2．

（Ⅰ）证明：BC⊥平面AMN；

（Ⅱ）求三棱锥N﹣AMC的体积；

（Ⅲ）在线段PD上是否存在一点E，使得NM ∥平面ACE；若存在，求出PE
的长；若不存在，说明理由．


【解答】解：（Ⅰ）证明：∵ABCD为菱形，

∴AB=BC

又∠ABC=60°，

∴AB=BC=AC，

又M为BC中点，∴BC⊥AM

而PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC

又PA∩AM=A，∴BC⊥平面AMN

（II）∵
又PA⊥底面ABCD，PA=2，∴AN=1

∴三棱锥N﹣AMC的体积
=


S
△
AMC
?AN

（III）存在点E，

取PD中点E，连接NE，EC，AE，

∵N，E分别为PA，PD中点，

∴

又在菱形ABCD中，

∴，即MCEN是平行四边形

∴NM∥EC，

又EC?平面ACE，NM?平面ACE

∴MN∥平面ACE，

即在PD上存在一点E，使得NM∥平面ACE，

此时．