函数的基本性质知识点总结

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函数的基本性质
基础知识：
1.奇偶性
（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x )，则称f(x)为奇函数；如
果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称 f(x)为偶函数。如果函数f(x)不具有
上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上 述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是
偶函数。
注意：
①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也
一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
②确定f(－x)与f(x)的关系；
③作出相应结论：
若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；
若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数。
（3）简单性质：
①图象的对 称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称；一个函
数是偶函数的充要条件是 它的图象关于y轴成轴对称；
②设
f(x)
，
g(x)
的定义域分 别是
D
1
,D
2
，那么在它们的公共定义域上：
奇+奇= 奇，奇
?
奇=偶，偶+偶=偶，偶
?
偶=偶，奇
?
偶=奇
2.单调性
（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I， 如果对于定义域I内 的某个区间D内的
任意两个自变量x
1
，x
2
，当x
12
时，都有f(x
1
)2
)（f(x1
)>f(x
2
)），那么就说f(x)在区间D上
是增函数（减函数） ；
注意：
①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
②必须是对于区间D内的任意两个自变量x
1
，x
2
；当x
12
时，总有f(x
1
)2
)。
（2）如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具
有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。
（3）设复合函数y= f[g(x)]，其中u=g(x) , A是y= f[g(x)]定义域的某个区间，B是映射g : x
→u=g(x) 的象集：
①若u=g(x) 在 A上是增（或减）函数，y= f(u)在B上也是增（或减）函数，则函数y= f[g(x)]

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在A上是增函数；
②若u=g(x)在A上是增（或减）函数，而y= f(u)在B上是减（或增）函数，则函数y= f[g(x)]
在A上是减函数。
（4）判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
①任取x
1，x
2
∈D，且x
1
2
； ②作差f(x
1
)－f(x
2
)； ③变形（通常是因式分解和配方）；
④定号（即判断差f(x
1
)－f(x
2
)的正负）；⑤下结论（即 指出函数f(x)在给定的区间D上的单调
性）。
（5）简单性质
①奇函数在其对称区间上的单调性相同；
②偶函数在其对称区间上的单调性相反；
③在公共定义域内：
增函数
f(x)?
增函数
g(x)
是增函数； 减函数
f(x)?
减函数
g(x)
是减函数；
增函数
f(x)?
减函数
g(x)
是增函数； 减函数
f(x)?
增函数
g(x)
是减函数。
④若函数
y ?f(x)
是偶函数，则
f(x?a)?f(?x?a)
；若函数
y?f(x ?a)
是偶函数，
则
f(x?a)?f(?x?a)
.
3.函数的周期性
如果函数y＝f(x)对于定义域内任意的x，存在一个不等于0的常数T ，使得f(x＋T)＝f(x)恒
成立，则称函数f(x)是周期函数，T是它的一个周期.
性质：
①如果T是函数f(x)的周期，则kT(k∈N
＋
)也是f(x)的周期.
②若周期函数f(x)的周期为T，则
f(
?
x)
（
?
? 0
）是周期函数，且周期为
T
|
?
|
。
③若f(x)??f(?x?a)
,则函数
y?f(x)
的图象关于点
(,0 )
对称; 若
a
2
f(x)??f(x?a)
,则函数
y? f(x)
为周期为
2a
的周期函数.

例题：

1.
y?
1?x
2
的递减区间是 ；
y?log
1
(?x?3x?2)
的单调递增区间是 。
1?x
2
2.函数
f(x)?lg(
2
?1)
的图象（ ）
1?x
A.关于
x
轴对称 B. 关于
y
轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线
y?x
对称

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3.设
f(x)
是定义在
R
上的奇函数，若当
x ?0
时，
f(x)?log
3
(1?x)
，则
f(?2)?
。
4.定义在
R
上的偶函数
f(x)
满足
f(x?2)?f(x?2)
，若
f(x)
在
[?2,0]
上递增 ，则（ ）
A.
f(1)?f(5.5)
B．
f(1)?f(5.5)
C．
f(1)?f(5.5)
D．以上都不对
5.讨论函数
f(x)?x?
1
的单调性。
x< br>6.
已知奇函数
f(x)
是定义在
(?2,2)
上的减函数, 若
f(m?1)?f(2m?1)?0
，求实数
m

的取值范围。
7.已知函数
f(x)
的定义域为N，且对任意正整数
x
，都有f(x)?f(x?1)?f(x?1)
。若
f(0)?2004
，求
f (2004)
。
习题：
题型一：判断函数的奇偶性
1.以下函数：（1 ）
y?
1
(x?0)
；（2）
y?x?1
；（3）
y?2
；（4）
y?log
2
x
；（5）
x
4x< br>1?x
2
；其中奇函数是 ，偶函数是 ，
y?lo g
2
(x?x?1)
，(6)
f(x)?
x?2?2
2非奇非偶函数是 。
2.已知函数
f(x)
=
x?1 ?x?1
,那么
f(x)
是( )
A.奇函数而非偶函数 B. 偶函数而非奇函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.既非奇函数也非偶函数

题型二：奇偶性的应用
1.已知偶函数
f( x)
和奇函数
g(x)
的定义域都是(-4,4),它们在
?
?4, 0
?
上的图像分别如
图（2-3）所示，则关于
x
的不等式
f(x)?g(x)?0
的解集是_____________________。
yy
-4-2
0
x
-4-2
0
y=g(x)
x< br>y=f(x)
图(2-3)

2.已知
f(x)?ax
7?bx
5
?cx
3
?dx?5
，其中
a,b,c,d< br>为常数，若
f(?7)??7
，则
f(7)?
____

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3.下列函数既是奇函数，又在区间
?
?1,1
?
上单调递减的是（ ）
A.
f(x)?sinx
B.
f(x)??x?1
C.
f(x)?
1
x
2?x

a?a
?x
?
D.
f(x)?ln
?
22? x
2
4.已知函数
y?f(x)
在R是奇函数，且当
x?0
时，
f(x)?x?2x
，则
x?0
时，
f(x)
的
解析式为 。
5.若
f
?
x
?
是偶函数,且当
x?
?
0,??
?
时,
f?
x
?
?x?1
,则
f
?
x?1
?< br>?0
的解集是（ ）
A.
x?1?x?0
B.
xx?0或1?x?2
C.
x0?x?2
D.
x1?x?2

题型三：判断证明函数的单调性
????????
1.判断并证明
f(x)?
2
2
在
(0,??)
上的单调性
x?1
2.判断
f(x)??2x?2x?1
在
(??,0)
上的单调性
题型四：函数的单调区间
2
1.求函数
y?log
0.7
(x?3x?2)
的单调区间。
2.下列函数中，在
(??,0)
上为增函数的是（ ）
A.
y?x?4x?8
B.
y?ax?3(a?0)
C.
y??
2
2
D.
y?log
1
(?x)

x?1
2
3.函数
f(x)?x?
A.
?
0,
1
的一个单调递增区间是（ ）
x
1
?
D.
?
1,??
?

??
?
B.
?
??,0
?
C.
?
0,
4.下列函数中，在(0，2)上为增函数的是( )
A.y=-3x+1 B.y=|x+2| C.y=
5.函数y=
5?4x?x
2
的递增区间是( )
A.(-∞，-2) B.[-5，-2] C.[-2，1] D.[1，+∞)
题型五：单调性的应用
1.函数f(x)=x+2(a-1)x+2在区 间(-∞，4)上是减函数，那么实数a的取值范围是( )
A.[3，+∞ ) B.(-∞，-3] C.{-3} D.(-∞，5]
2.已知 函数f(x)=2x-mx+3，当x∈(-2，+∞)时是增函数，当x∈(-∞，-2)时是减函数，则f(1)等于( )
A.-3 B.13 C.7 D.由m而决定的常数．
2
2
4
2
D.y=x-4x+3
x

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3.若函数
f(x)?x
3
?ax
2
?bx?7
在R上单 调递增，则实数a, b一定满足的条件是（ ）
A．
a?3b?0
B.
a?3b?0

22
C．
a?3b?0

2
D．
a?3b?1

2
4.函数
f(x)?3a x?2b?2?a,x?[?1,1],若f(x)?1
恒成立，则b的最小值为 。 < br>5.已知偶函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(2)=0，解不等式f［log
2< br>(x
2
+5x+4)］≥0。
题型六：周期问题
1.奇函数
f(x)
以3为最小正周期，
f(1)?3
，则
f(47)
为( )
A.3 B.6 C.-3 D.-6
2.设
f
(
x
)是定义在R上以6为周期的函数，
f
(
x
)在(0,3)内单调递增，且
y=f
(
x
)的图象关于
直线
x
=3对称，则下面正确的结论是( )
A.
f
(1.5)<
f
(3.5)<
f
(6.5) B.
f
(3.5)<
f
(1.5)<
f
(6.5)
C.
f
(6.5)<
f
(3.5)<
f
(1.5) D.
f
(3.5)<
f
(6.5)<
f
(1.5)
3.已知
f
?
x
?
为偶函数,且
f
?
2 ?x
?
?f
?
2?x
?
,当
?2?x?0
时,
f
?
x
?
?2
,则
f
?
20 06
?
?
x
（ ）
A．2006 B．4 C．
?4
D．
1

4
4.设
f(x)
是
(??,??)
上的奇函数，
f(x?2 )??f(x)
，当
0?x?1
时，
f(x)?x
，则
f( 47.5)
等于_____
5.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝－f( x),求证:2m是f(x)的一个周期.



6、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(m＋x)＝f(m－x)，且f(x)是偶函数,
求证:2m是f(x)的一个周期.



7、函数f(x)是定 义在R上的奇函数，且f(－1)＝3，对任意的x∈R，均有f(x＋4)＝f(x)＋f⑵，
求f( 2001)的值.