人教版高中数学【选修2-2】[知识点整理及重点题型梳理] 复数代数形式的四则运算

精品文档 用心整理
人教版高中数学选修2-2
知识点梳理
重点题型（
常考知识点
）巩固练习

复数代数形式的四则运算

【学习目标】
1. 会进行复数的加、减运算，理解复数加、减运算的几何意义。
2. 会进行复数乘法和除法运算。
3. 掌握共轭复数的简单性质，理解
z
、
z
的含义，并能灵活运用。
【要点梳理】
要点一、复数的加减运算
1.复数的加法、减法运算法则：
设
z
1
?a?bi
，
z
2
?c?di
（
a,b,c,d?R
），我们规定：
z
1
?z
2
?(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i

z
2
?z
1
?(c?a)?(d?b)i

要点诠释：
（1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样。很明显，
两个复数的和（差）仍然是一个复数，复数的加（减）法可以推广到多个复数相加（减）的情形．
（2）复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，不必死记公式。
2.复数的加法运算律:
交换律：z
1
+z
2
=z
2
+z
1

结合律:：(z
1
+z
2
) +z
3
=z
1
+(z
2
+z
3
)
要点二、复数的加减运算的几何意义
1. 复数的表示形式：
代数形式：
z?a?bi
（
a,b?R
）
几何表示： < br>①坐标表示：在复平面内以点
Z(a,b)
表示复数
z?a?bi
（< br>a,b?R
）；
②向量表示：以原点
O
为起点，点
Z(a, b)
为终点的向量
OZ
表示复数
z?a?bi
.
要点诠释：
?
复平面内的点
Z(a,b)
?????
平面 向量
OZ
复数
z?a?bi
????
2．复数加、减法的几何意义：
如果复数
z
1
、
z
2
分别对应于向量
OP
12
， 对角线
1
、
OP
2
为两边作平行四边形
OPSP
2
，那么以
OP
1
、
OP
一一对应一一对应
OS表示的向量
OS
就是
z
1
?z
2
的和所对应的 向量.对角线
P
2
P
1
表示的向量
P
2
P
1
就是两个复数的差
z
1
?z
2
所对应的向量.
资料来源于网络 仅供免费交流使用

精品文档 用心整理
设复数z
1
=a+bi，z
2
=c+di，在复平面上所对应的向量为
OZ< br>1
、
OZ
2
，即
OZ
1
、
OZ2
的坐标形式为
OZ
1
=(a，b)，
OZ
2
=(c，d)以
OZ
1
、
OZ
2
为邻边作平行四边
形OZ
1
ZZ
2
，则对角线OZ对应的向量是
OZ
，
由于
OZ
=
对应的向量
类似复数加法的几何意义，由于z
1
－z
2
=(a－c)+(b－d)i，而向量
Z
2
Z< br>1
=
OZ
1
?
OZ
2
=(a，b)-(c ，d)=(a-c，
b-d)，所以
OZ
1
和
OZ
2
的差就是与复数(a－c)+(b－d)i对应的向量
要点诠释：
要会运用复数运算的几何意义去解题，它包含两个方面：
（1）利用几何意义可以把几何图形的变 换转化成复数运算去处理
（2）反过来，对于一些复数运算式也可以给以几何解释，使复数做为工具运用于几何之中。
要点三、复数的乘除运算
1．共轭复数：
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数 时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共
轭复数也叫做共轭虚数。
通常记复数
z
的共轭复数为
z
。
2．乘法运算法则： < br>设
z
1
?a?bi
，
z
2
?c?di
（
a,b,c,d?R
），我们规定：
OZ
1
+
OZ< br>2
=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)，所以
OZ
1
和< br>OZ
2
的和就是与复数(a+c)+(b+d)i
z
1
?z
2
?(a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(bc?ad)i

z< br>1
a?bi(a?bi)(c?di)ac?bdbc?ad
????
2
?i

z
2
c?di(c?di)(c?di)c?d
2
c
2
?d
2

要点诠释：
1. 两个复数相乘，类似两个 多项式相乘，在所得的结果中把i
2
换成－1，并且把实部与虚部分别合并.
两个复数 的积仍然是一个复数.
2. 在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母 都乘以分母的共轭复数(分
母实数化)，化简后写成代数形式。
3．乘法运算律：
(1)交换律：z
1
(z
2
z
3
)=(z
1
z
2
)z
3

(2)结合律：z
1
( z
2
+z
3
)=z
1
z
2
+z
1
z
3
(3)分配律：z
1
(z
2
+z
3
)=z
1
z
2
+z
1
z
3

要点四、复数运算的一些技巧：
1.
i
的周期性：如果n∈N，则有：
资料来源于网络 仅供免费交流使用

精品文档 用心整理
i
4n
?1
，
i
4n?1
?i
，
i
4n? 2
??1
，
i
4n?3
??i
（
n?N
*
）
2.
(1?i)??2i

3. 共轭复数的性质：两个共轭复数z、
z
的积是一个实数，这个实数等于每一个复数的模的平方，
22
即
z?z?x?y
，其中z=x+yi（x，y∈R）．
2
【典型例题】
类型一、复数的加减运算
例1.计算：（1）(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)
（2）( 1―2i)―(2―3i)+(3―4i)―(4―5i)+…+(1999―2000i)―(2000―20 01i)
【解析】（1）(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)＝(5-2-3)+(-6-1-4) i=－11 i
（2） 解法一：
原式=(1―2+3―4+…+1999―2000)+ (―2+3―4+5+…―2000+2001)i=―1000+1000i。
解法二：
(1―2i)―(2―3i)=―1+i，
(3―4i)―(4―5i)=―1+i，
……
(1999―2000i)―(2000―2001i)=―1+i。
将上列1000个式子累加，得 原式=1000(―1+i)=―1000+1000i。
【总结升华】 复数的加减法，相当于多项式加减法中的合并同类项的过程。如果根据给出复数求和< br>的特征从局部入手，抓住式子中相邻两项之差是一个常量这一特点，适当地进行组合，那么可简化运算。
举一反三：
【变式】 (1)设z
1
=3+4i，z
2
= ―2―i，求
z
1
?z
2
,
(2) 已知z
1< br>=(3x+y)+(y―4x)i，z
2
=(4y―2x)―(5x+3y)i（x，y ∈R），求z
1
―z
2
，
【答案】
(1) z< br>1
+z
2
=(3+4i)+(―2―1)i=(3-2)+(4-1)i=1+ 3i
(2) z
1
－z
1
=(3x+y)+(y－4x)i－[( 4y－2x)－(5x+3y)i]=[(3x+y)－(4y－2x)]+[(y－4x)+(5x+3y)] i =
(5x－3y)+(x+4y)i，
类型二、复数的乘除运算
例2．计算：(1) (1－i)
2
； (2) (1－2i)(3＋4i)(1＋2i)．
【思路点拨】
第(1)题可以用复数的乘法法则 计算，也可以用实数系中的乘法公式计算；第(2)题可以按从左到右的运
算顺序计算，也可以结合运算 律来计算．
(1)解法一：(1－i)
2
＝(1－i)(1－i)＝1－i－i＋i
2
＝－2i；
解法二：(1－i)
2
＝1－2i＋i
2
＝－2i.
(2 )解法一：(1－2i)(3＋4i)(1＋2i)＝(3＋4i－6i－8i
2
)(1＋2i )
＝(11－2i)(1＋2i)＝(11＋4)＋(22－2)i＝15＋20i；
解法 二：(1－2i)(3＋4i)(1＋2i)＝[(1－2i)(1＋2i)](3＋4i)＝5(3＋4i)＝ 15＋20i.
【总结升华】此题主要是巩固复数乘法法则及运算律，以及乘法公式的推广应用．特别要提醒其中
(－2i)·4i＝8，而不是－8.
举一反三：
资料来源于网络 仅供免费交流使用

精品文档 用心整理
【变式1】在复平面内，复数z=i(1+2i)对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B ∵z =i(1+2i)=i+2i
2
=－2+i，∴复数z所对应的点为（－2，1），故选B．
【复数代数形式的四则运算 401753 例题1】
n
【变式2】计算：（1）
i(n?N
?
)
；（2）
i?i
2
?i
3
?
（3）
i?i
2
?i
3
?i
100；
?i
100

?
in?4k?3
?
?1n? 4k?2
?
n
【答案】（1）
i?
?
?
?in?4 k?1
?
n?4k
?
1
（2）
i
4k
其中 k?N
*
；
?i
4k?1
?i
4k?2
?i4k?3
?i
4k
(1?i
2
?i
3
?i)? 0
，
23
（3）
i?i?i??i
100
?i
1 00(100?1)
2
?i
5050
??1

【复数代数形式的四则运算 401753 例题2】
(1?i)
3
?( 1?i)
3
【变式3】计算：（1)
(1?i)

（2） . 22
(1?i)?(1?i)
8
【答案】(1)
(1?i)?[(1?i )]?(2i)?2i?16

824444
(1?i)
3
?(1 ?i)
3
2i(1?i)?2i(1?i)
??1
. （2）
(1? i)
2
?(1?i)
2
2i?2i
例3.(2015 新课标Ⅰ)设复数
z
满足
1?z
?i
，则
|z|?

1?z
（A）
1
（B）
2
（C）
3
（D）
2

【答案】A
【思路点 拨】在复数的乘除法中，要时时注意
i
2
??1
，
不能出错。
【解析】
∵
1?z
?i

1?z
∴1+z=i－zi
∴(1+i)z=i－1
z?
i?1(i?1)(1?i)2i
???i

1?i22
∴|z|=1
故选A
【总结升华】1 先写成分式形式
2 然后分母实数化即可运算.(一般分子分母同时乘以分母的共轭复数)
3 化简成代数形式就得结果
举一反三：
【变式1】复数
3?i
等于（ ）．
1?i
资料来源于网络 仅供免费交流使用

精品文档 用心整理
A．1+2i B．1－2i C．2+i D．2－i
3?i(?3i)?(1i)?3?
2
2i?i
???
【解析】
1?i(1?i)(1?i)1?i22
【变式2】 计算：（1）
(i?)
3
（2）
【答案】（1）
(i?)
3
?(i?
42i
?2?i
，故选C．
1
i
1?3i
3-i

1
i
?1
3
)?(2i)
3
?8i
3
??8 i
.
i
（2）
1?3i
3-i
?
1?3i
-i(1?3i)
?
1
?i
，
-i
类型三. 复数代数形式的四则运算
例4. 计算下列各式：
（1）
(i?2)(i?1)
(1?4i)(1?i)?2?4i
；（2）。
(1?i)(i?1)?i
3?4i
【解析】
（1）
(7?i )(3?4i)
(1?4i)(1?i)?2?4i(1?4)?(?4?1)i?2?4i
7 ?i
??

?
3?4i(3?4i)(3?4i)
3?4i3?4i
?
(21?4)?(3?28)i25?25i
??1?i
。
25 25
（2）
(i?2)(i?1)(2?1)?(?1?2)i1?3i(1?3i)(?2? i)
???

(1?i)(i?1)?i(?1?1)?(?1?1)i?i?2?i (?2?i)(?2?i)
?
(?2?3)?(6?1)i?5?5i
???1?i< br>。
55
【总结升华】 题中既有加、减、乘、除运算，又有括号，同实数的运算顺序一致，先算括号，再算
乘除，最后算加减．
举一反三：
【变式1】计算：
（1）
(1?2i)(3?4i)(2?i)

（2）
i?i
2
?i
3
??i
100

(1?i)
3
?(1?i)
3
（3） ； (1?i)
2
?(1?i)
2
【答案】（1）
(1?2i)(3 ?4i)(2?i)?(11?2i)(2?i)?24?7i

（2）
i?i?i?
23
?i
100
?i
1?2??100
?i
505 0
?(i
4
)
1262
?i
2
?i
2??1

(1?i)
3
?(1?i)
3
(1?i)2
?(1?i)?(1?i)
2
(1?i)2i(1?i)?2i(1?i)2i?2
??
（3）
??1

22
(1?i)?(1?i)2i?(?2i)4i
4i
资料来源于网络 仅供免费交流使用

精品文档 用心整理
2?3i
?
1?i
?
【变式2】计算：
?
；
?
?
1?i
3?2i
??
【答案】方法一：
6< br>6
?
(1?i)
2
?
(2?3i)(3?2i)
6< br>6?2i?3i?6
原式
?
?
??i???1?i
。
?
5
(3)2?(2)2
?
2
?
方法二（技巧解法）：
?
(1?i)
2
?
(2?3i)i
6
(2?3i) i
原式
?
?i???1?i
。
?
?
2
2?3i
??
(3?2i)i
考点4 共轭复数的有关计算
【数系的扩充和复数的概念 401749 例题2】
例5.x,y?R
，复数
(3x?2y)?5xi
与复数
(y?2)i?18< br>的共轭复数相等，求x，y.
【思路点拨】先将
(y?2)i?18
的共轭复 数要正确写出，再由复数相等的充要条件可得方程组，解之
即可求结果，
【解析】
(y?2)i?18?18?(2?y)i

6
?
3x?2y?18
?
x?-2

?18-( y-2)i?(3x?2y)?5xi?
?
?
?
2-y?5xy?12
??
【总结升华】以z、
z
的概念与性质为基础，结合复数代数形式的四则 运算，解决有关应用问题．
举一反三：
【变式1】
(2014 上海)
若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则
(z?)
?z
=________

1
z
【答案】6
复数z＝1＋2i，其中i是虚数单位，
则
?
z?
?
?
1
?
1
??
z??
1?2i?
?
·
?
?
?
1?2i
?

z
?
1?2i
??
＝(1＋2i)(1－2i)＋1
＝1－4i
2
＋1
＝2＋4
＝6．
故答案为：6 < br>【变式2】设z的共轭复数是
z
，
z?z?4
,
z?z?8< br>，则
z
＝ .
z
【答案】设
z?a?bi< br>（
a,b?R
），则
z?a?bi
，
资料来源于网络 仅供免费交流使用

精品文档 用心整理
∵
z?z?2a?4
，且
z?z?a?b?8
，
∴
a?2
，
b??2
，
当
a?2
，b??2
时，
22
z2?2i
??i
；
z2?2i< br>当
a?2
，
b?2
时，
z2?2i
???i
.
z2?2i
故
z
??i
.
z
类型四. 复数的几何意义
例6. 如图所示，已知复平面内的正方形ABCD的三个顶点A（1，2），B（―2，1），
C（―1，―2），求D点对应的复数。
【思路点拨】根据点D的位置，利用解析几何的方法确定D对应的复数的实部与虚部。
【解析】
解法一：设D（x，y），则
AD?OD?OA?(x,y)?(1, 2)?(x?1,y?2)
。
BC?OC?OB?(?1,?2)?(?2,1)?(1,?3)
。
因为
AD?BC
，
?
x?2
∴（x―1，y―2）=（1，―3），得
?
。
y??1
?
∴D点对应的复数为2―i。
解法二：∵A，C关于原点对称，∴O为正方形ABCD的中心。
设D（x，y），则B，D 关于O点对称，即
?
?
x?2
?
?2?x?0
，得
?
。
y??1
?
?
1?y?0
∴D点对应的复数为2―i。
【 总结升华】在平面几何图形中，结合向量的运算法则的几何意义，以复数加减法的几何意义为媒介，实
现 量之间的转化，进而求相关问题．
举一反三：
【变式1】若在复平面上的
的复数是____。
【答案】
由复数加减法的 几何意义可得
DA?
ABCD中，
AC
对应的复数为6+8i，
BD
对应的复数为―4+6i，则
DA
对应
11
(CA?BD)
，其对应的复数为
(?6?8i?4?6i)

??1?7i
。
22
【复数代数形式的四则运算 401753 例题4】
z
为纯虚数，则复数z在复平面中对应的点Z组成什么图形？
z?1
【答案】设
z?x?yi
，
【变式2】 已知
资料来源于网络 仅供免费交流使用

精品文档 用心整理
zx ?yi(x?yi)(x?1?yi)x(x?1)?y
2
?yi
???
则
z?1x?1?yi(x?1)
2
?y
2
(x?1)
2?y
2
所以
x(x?1)?y?0
即
(x?)
2
?y
2
?
2
1
2
1
（
y?0
） .
4
以
?

1
?
1
?
,0?
为圆心，为半径的圆去掉原点和
(1,0)
后剩下的部分.
2
?
2
?
资料来源于网络 仅供免费交流使用