中学三角比的知识点和公式汇总

三角比的各个知识点和公式与解斜三角形
同角的三角比关系 tanA?cotA=1
互为余角的三角比关系
sinA=cos(90-A)
cosA=sin(90-A),
tanA=cot(90-A)
cotA=tan(90-A)
直角三角形边、角关系
边与边a^2+b^2=c^2
角与角∠A+∠B=90°
边与角：锐角三角比概念
所以，历史上三角函数曾有三角比之称，三角比不只是三角函数，两者之间还有一定的差别。
任意角的三角比
象限角：定点在平面直角坐标系的原点，始边与x轴重合的角
其三角比的定义：
正弦sinθ=yr
余弦cosθ=xr
正切tanθ=yx
余切cotθ=xy
正割secθ=rx
余割cscθ=ry
公式一
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cosα
tan（2kπ＋α）＝tanα
cot（2kπ＋α）＝cotα
公式二
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π＋α）＝－sinα

cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝ tanα
cot（π＋α）＝ cotα
公式三
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝ cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα
公式四
利用公式二和公式三可以得到π- α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα
公式五
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα
公式六
π2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π2＋α）＝cosα
cos（π2＋α）＝－sinα
tan（π2＋α）＝－cotα
cot（π2＋α）＝－tanα
sin（π2－α）＝cosα
cos（π2－α）＝sinα
tan（π2－α）＝cotα
cot（π2－α）＝tanα

诱导公式记忆口诀
上面这些诱导公式可以概括为：
对于k?π2±α(k∈Z)的个三角函数值，
①当k是双数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；
②当k是单数时，得到α相应的余函 数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.
（单变双不变）
然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
（符号看象限）
例如：
sin(2π－α)＝sin(4?π2－α)，k＝4为偶数，所以取sinα。
当α是锐角时，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)＜0，符号为“－”。
所以sin(2π－α)＝－sinα
上述的记忆口诀是：
单变双不变，符号看象限。
公式右边的符号为把α视为锐角时，角k?360°+α（k∈Z），-α、180°±α，360°-α
所在象限的原三角函数值的符号可记忆
水平诱导名不变；符号看象限。
各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦；三为切；四
余弦”． ．
还有一个与英语有关的记忆口诀，来判断符号。
All Station To Center.每个站都能到中央车站。
All 代表第一象限内所有都为正。
Station 开头字母S代表Sin，第二象限只有Sin为正。
To 开头字母T代表Tan，第三象限只有Tan为正。
Center 开头字母C代表Cos，第四象限只有Cos为正。
做题时若需要考虑正负，一下子想不起来，可画简略坐标，在四个象限非别表上A S T C，就
一目了然了。
同角三角函数基本关系
⒈同角三角函数的基本关系式
倒数关系:
tanα ?cotα＝1
sinα ?cscα＝1
cosα ?secα＝1
商的关系：
tanα=sinαcosα或者tanα=secαcscα，可以简记为sc
cotα=cosαsinα或者cotα=cscαsecα，可以简记为cs

平方关系：
sin^2(α)＋cos^2(α)＝1
1＋tan^2(α)＝sec^2(α)
1＋cot^2(α)＝csc^2(α)

两角和差公式
⒉两角和与差的三角函数公式
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ
tan（α＋β）＝(tanα＋tanβ) (1－tanα ?tanβ)
tan（α－β）＝(tanα－tanβ) (1＋tanα ?tanβ)
倍角公式
⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）
sin2α＝2sinαcosα
cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)
tan2α＝2tanα [1－tan^2(α)]
半角公式
⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）
sin^2(α2)＝(1－cosα)2
cos^2(α2)＝(1＋cosα)2
tan^2(α2)＝(1－cosα) (1＋cosα)
*tan(α2)=sinα (1+cosα)=(1-cosα) sinα
万能公式
⒌万能公式
sinα＝2tan(α2) [1＋tan^2(α2)]
cosα＝[1－tan^2(α2)] [1＋tan^2(α2)]
tanα＝2tan(α2) [1－tan^2(α2)]
三倍角公式

⒍三倍角的正弦、余弦和正切公式
sin3α＝3sinα－4sin^3(α)
cos3α＝4cos^3(α)－3cosα
tan3α＝[3tanα－tan^3(α)] [1－3tan^2(α)]

和差化积公式
⒎三角函数的和差化积公式
sinα＋sinβ＝2sin[(α＋β)2]?cos[( α－β)2]
sinα－sinβ＝2cos[(α＋β)2]?sin[(α－β)2]
cosα＋cosβ＝2cos[(α＋β)2]?cos[(α－β)2]
cosα－cosβ＝－2sin[(α＋β)2]?sin[(α－β)2]
积化和差公式
⒏三角函数的积化和差公式
sinα ?cosβ＝0.5[sin（α＋β）＋sin（α－β）]
cosα ?sinβ＝0.5[sin（α＋β）－sin（α－β）]
cosα ?cosβ＝0.5[cos（α＋β）＋cos（α－β）]
sinα ?sinβ＝－ 0.5[cos（α＋β）－cos（α－β）]
1．正弦定理:
abc
???2R
或变形：
a:b:c?sinA:sinB:sinC
.
sinAsinB sinC
?
b
2
?c
2
?a
2
?
cosA?
2bc
?
?
a
2
?b
2
?c< br>2
?2bccosA
a
2
?c
2
?b
2?
?
222
cosB?
2．余弦定理：
?
b?a?c?2accosB
或
?
.
2ac
?
?
c
2
?b
2
?a
2
?2bacos C
?
?
b
2
?a
2
?c
2
?cosC?
2ab
?
3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：
1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.
2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.
（2）两类余弦定理解三角形的问题：
1、已知三边求三角.
2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.
4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.
5． 解题中利用
?ABC
中
A?B?C?
?
，以及由此推得的一些基本关 系式进行三角变换的运算，如：
sin(A?B)?sinC,cos(A?B)??cosC,tan (A?B)??tanC,

sin
A?BCA?BCA?BC
?cos ,cos?sin,tan?cot
222222
.
6．求解三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：分析题意，弄清已知和所求；
（2）建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；
（3）求解：正确运用正、余弦定理求解；
（4）检验：检验上述所求是否符合实际意义。
补充：1、2、sinα?cosβ=1(tanα+cotα)
2、角的集合：（1）与角a终边重合的角：{B|B=2kπ+a，K∈Z}
（2）关于X轴对称：{B|B=2kπ-a，K∈Z}
（3）关于Y轴对称：{B|B=2kπ+π-a，K∈Z}
（4）关于原点对称：{B|B=2kπ+π+a，K∈Z}
（5）与角a终边垂直：{B|B=2kπ±π2+a，K∈Z}
（6）与角a关于直线y=x对称：{B|B=2kπ±π2-a，K∈Z}
3、辅助角公式：Asinα+Bcosα= （A^2+B^2)^(12)sin(α+β)
其中sinβ=B(A^2+B^2)^(12)
cosβ=A(A^2+B^2)^(12)