高中数学必修《点直线平面之间的位置关系》知识点

第二章 点、直线、平面之间的位置关系
空间点、直线、平面之间的位置关系
一、平面
1、平面及其表示






2、平面的基本性质
①公理1：





②公理2：不共线的三点确定一个平面







③公理3：




A?l
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B?l
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A?
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B?
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?l则P?l< br>P?
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二、点与面、直线位置关系

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1、A?
?
1、点与平面有2种位置关系
?
?
2、B?
?




2、点与直线有2种位置关系
?



?
1、A?l
?
2、B?l
三、空间中直线与直线之间的位置关系
1、异面直线

2、直线与直线的位置关系
?
?
相交< br>?
共面
?
?
?
平行
?
?
异面

3、公理4和定理
公理4：





定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
l
1P
l
3
?
?
?l
1
P
l
2< br>l
2
P
l
3
?

4、求异面直线所成角的步骤：
①作：作平行线得到相交直线；
②证：证明作出的角即为所求的异面直线所成的角；
③构造三角形求出该角。

提示：1、作平行线常见方法有：直接平移，中位线，平行四边形。
2、异面直线所的角的范围是
0

0

,90

0

?
。
?
?


四、空间中直线与平面之间的位置关系
位置关系
公共点
符号表示


直线a在平面内
有无数个公共点

直线a与平面
?
相交
有且只有一个公共点

直线a与平面
?
平行
没有公共点

a?
?

aI
?
?A



aP
?
图形表示





五、空间中平面与平面之间的位置关系
位置关系
公共点
符号表示
两个平面平行
没有公共点
两个平面相交
有一条公共直线
?
P
?

?
I
?
?a

图形表示

一、线面平行
1、判定：

b?
?
?
a??
?
?
?b
P
?

b
P
a
?
?
（线线平行，则线面平行）



2、性质：

a
P
?
?

a?
?
?
?
?a
P
b

?
?
?
?b
?
?
（线面平行，则线线平行）

二、面面平行
1、判定：

a?
?
?

b?
?
?
a?b?P
?
?
?
?
?
P
?

a
P
?
?

b
P
?
?
?
?
（线面平行，则面面平行）


2、性质1：

?
P
?
?

?
I
?
?a
?
?
?a
P
b

?
I
?
?b
?
?
（面面平行，则线面平行）

直线、平面平行的判定及其性质

性质2：

?
P
?
?
?
?
m
P
?

m?
?
?
（面面平行，则线面平行）




说明（1）判定直线与平面平行的方法：
①利用定义：证明直线与平面无公共点。
②利用判定定理：从直线与直线平行等到直线与平面平行。
③利用面面平行的性质：两个平面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
（2）证明面面平行的常用方法
①利用面面平行的定义：此法一般与反证法结合。
②利用判定定理。
③证明两个平面垂直于同一个平面。
④证明两个平面同时平行于第三个平面。


三、线线平行、面面平行、面面平行间的关系

直线与平面垂直的判定及其性质
一、
直线与平面所成的角

?
?
?
?
0, 90
?
?
00
证明过程Q
PO?
?
,
?A O为PA在平面
?
上的投影，
??
?
为直线l与平面
?所成的角。


00
?
二、二面角
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-l-< br>?
?
?
0,180
??

证明过程Q
BO? l,AO?l,
??BOA是二面角
?
-l-
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的平面角。


三、线面垂直
1、判定：







2、性质1：



3、性质2：
a?
?
b?
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a?b?
l?a
l?b
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?
?
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A
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?a
P
b
b?
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a?
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?
?a?b
b?
?
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四、面面垂直
1、判定：

< br>l?
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?
?
?
?
?
?
l?
?
?
文字表达：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。



2、性质：







说明：（1）判定直线与平面垂直的方法：
①利用定义（可用反证法）。
②利用判定定理。
③利用性质定理。
④结合平行关系：
aPb,a?
?
?b?
?
（2）判定平面与平面垂直的方法：
①利用定义判断（证）二面角的平面角是直角。
②利用平面与平面垂直的判定定理。





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?AB?
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AB?
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AB?CD
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