高中数学直线与圆的方程知识点总结49648

资料收集于网络，如有侵权 请联系网站删除
高中数学之直线与圆的方程
一、概念理解：
1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x轴正方向；
②平行：α=0°；
③范围：0°≤α＜180° 。
2、斜率：①找k ：k=tanα （α≠90°）；
②垂直：斜率k不存在；
③范围： 斜率 k ∈ R 。
3、斜率与 坐标：
k?tan
?
?
y
1
?y
2
y2
?y
1
?

x
1
?x
2
x
2
?x
1
①构造直角三角形（数形结合）；
②斜率k值于两点先后顺序无关；
③注意下标的位置对应。
4、直线与直线的位置关系：
l
1
:y?k
1
x?b
1
,l
2
:y?k
2
x?b
2

①相交：斜率
k
1
?k
2
（前提是斜率都存在）
特例----垂直时：<1>
l
1
?x轴，即k
1
不存在，则k< br>2
?0
；
<2> 斜率都存在时：
k
1
?k
2
??1
。
②平行：<1> 斜率都存在时：
k
1
?k
2
,b
1
?b
2
；
<2> 斜率都不存在时：两直线都与x轴垂直。
③重合： 斜率都存在时：
k1
?k
2
,b
1
?b
2
；
二、方程与公式：
1、直线的五个方程：
①点斜式：
y?y
0
?k(x?x
0
)
将已知点
(x
0
,y
0
)与斜率k
直接带入即可；
②斜截式：
y?kx?b
将已知截距
(0,b)与斜率k
直接带入即可；
③两点式：
带入即可；
y?y
1
x?x
1
?，(其中x< br>1
?x
2
,y
1
?y
2
)
将已知 两点
(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2)
直接
y
2
?y
1
x
2
?x
1
④截距式：
xy
??1
将已知截距坐标
(a,0),(0,b)
直接带入即可；
ab
⑤一般式：
Ax?By?C?0
，其中A、B不同时为0
用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。
2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可
只供学习与交流

资料收集于网络，如有侵权 请联系网站删除
3、距离公式：
① 两点间距离：
P
1
P
2
?(x
1
?x
2< br>)?(y
1
?y
2
)

②点到 直线距离：
d?
22
Ax
0
?By
0
?C
A?B
22

③平行直线间距离：
d?
C< br>1
?C
2
A?B
22

4、中点 、三分点坐标公式：已知两点
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)

x
1
?x
2
y
1
?y
2
,)

22
2x?x
2
2y
1
?y
2
②AB三分点
(s
1
,t
1
),(s
2
,t
2
)
：
(
1
,)
靠近A的三分点坐标
33
x?2x
2
y
1
?2y
2

(
1
,)
靠近B的三分点坐标
33
①A B中点
(x
0
,y
0
)
：
(
中点坐标公式 ，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。
三分点坐标公式，用得较少，多见于大题难题。
5.直线的对称性问题
已知点关于已知直线的对称:设这个点为P（x
0
，y
0
）,对称后的点坐标为P’（x，y），则
pp’的斜率与已知直线的斜率垂 直，且pp’的中点坐标在已知直线上。
三、解题指导与易错辨析：
1、解析法（坐标法）：
①建立适当直角坐标系，依据几何性质关系，设出点的坐标；
②依据代数关系（点在直线或曲线上），进行有关代数运算，并得出相关结果；
③将代数运算结果，翻译成几何中“所求或所要证明”。
y
2、动点P到两个定点A、B的距离“最值问题”：
①
PA?PB
的最小值：找对称点再连直线，如右图所示：
②
PA?PB
的最大值：三角形思想“两边之差小于第三边”；
22
o
x
③
PA?PB
的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”。
3、直线必过点：① 含有一个参数----y=(a-1)x+2a+1 => y=(a-1)(x+2)+3
令：x+2=0 => 必过点(-2,3)
②含有两个参数----(3m-n)x+(m+2n)y-n=0 => m(3x+y)+n(2y-x-1)=0
令：3x+y=0、2y-x-1=0 联立方程组求解 => 必过点(-17,37)
4、易错辨析：
① 讨论斜率的存在性：
解题过程中用到斜率，一定要分类讨论：<1>斜率不存在时，是否满足题意；
<2>斜率存在时，斜率会有怎样关系。
② 注意“截距”可正可负，不能“错认为”截距就是距离，会丢解；
（求解直线与坐标轴围成面积时，较为常见。）
只供学习与交流

资料收集于网络，如有侵权 请联系网站删除
③ 直线到两定点距离相等，有两种情况：
<1> 直线与两定点所在直线平行；
<2> 直线过两定点的中点。
圆的方程
1. 定义：一个 动点到一个定点以定长绕一周所形成的图形叫做圆，其中定点称
为圆的圆心，定长为圆的半径.
2. 圆的方程表示方法：
DE
?
第一种：圆的一般方程——
x?y?Dx?Ey?F?0

其中圆心
C
?
?
?,?
?
，
?
2 2
?
D
2
?E
2
?4F
半径
r?
.
2
当
D
2
?E
2
?
4
F?< br>0
时，方程表示一个圆，
22
当
D
2
?E
2
?4F?0
时，方程表示一个点
?
?
?
当
D2
?E
2
?
4
F?
0
时，方程无图形.
DE
?
,?
?
.
22
??
第二种：圆的 标准方程——
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
.其中点
C(a,b)
为圆心，
r
为半径的
圆
第三种：圆 的参数方程——
圆的参数方程：
?
?
x?a?rcos
?
（
?
为参数）

y?b?rsin
?
?
注：圆的直径 方程：已知
A(x
1
,y
1
)B(x
2
,y
2
)?(x?x
1
)(x?x
2
)?(y?y
1
)(y?y
2
)?0

3. 点和圆的位置关系：给定点
M(x0
,y
0
)
及圆
C:(x?a)
2
?(y?b )
2
?r
2
.
①
M
在圆
C
内< br>?(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
?r
2

（x
0
?a)
2
?(y
0?b)
2
?r
2
②
M
在圆
C
上?
③
M
在圆
C
外
?(x
0
?a)2
?(y
0
?b)
2
?r
2

4. 直线和圆的位置关系：
设圆圆
C
：
(
x?a
)
2
?
(
y?b
)
2
?r
2
(
r?
0)
； 直线
l
：
Ax?By?C?
0(
A
2
?B
2
?
0)
；
圆心
C(a,b)
到直线
l
的距离
d?
①
d?r
时，
l与
C
相切；
②
d?r
时，
l
与
C
相交；，
③
d?r
时，
l
与
C
相离.
5、圆的切线方程：
2
①一般方程若点(
x
0
,
y
0
)在圆上，则(
x
– a)(
x
0
– a)+(
y
– b)(
y
0
– b)=
R
. 特别地，
过圆
x< br>2
?y
2
?r
2
上一点
P(x
0
, y
0
)
的切线方程为
x
0
x?y
0
y?r
2
.(注:该点在圆上，则切线方程只
有一条)
只供学习与交流
Aa?Bb?C
A?B
22
.

资料收集于网络，如有侵权 请联系网站删除
?
y
1
?y
0
?k(x
1
?x
0
)
?
b?y< br>1
?k(a?x
1
)
，②若点(
x
0
,< br>y
0
)不在圆上，圆心为(a,b)则
?
联立求出
k?
切线方程.（注：
R?
?
R
2
?1
?
过圆外的点 引切线必定有两条,若联立的方程只有一个解，那么另外一条切线必定是垂直于
X轴的直线。）
6.圆系方程：
过两圆的交点的圆方程：假设两圆方程为：
C
1
: x+y+D
1
x+E
1
y+F
1
=0
C
2
:x
2
+y
2
+D
2
x+E
2
y+F
2
=0
则过两圆的交点圆方程可设为：
x
2
+y< br>2
+D
1
x+E
1
y+F
1
+λ
2 2
（x
2
+y
2
+D
2
x+E
2
y+F
2
）=0

2222
过两圆的交点的直线方程：x+y+D
1
x+E
1
y+F
1
- x+y+D
2
x +E
2
y+F
2
=0（两圆的方程相减得到的方
程就是直线方程）

7.与圆有关的计算：
22
弦长的计算：AB=2*√R-d 其中R是圆的半径，d等于圆心到直线的距离

2
AB=（√1+k）*∣X
1
-X
2
∣ 其中k是直线的斜率，X
1
与X
2
是直线与圆的方程联

立之后得到的两个根

过圆内的一点的最短弦长是垂直于过圆心的直线
圆内的最长弦是直径

8.圆的一些最值问题
①圆上的点到直线的最短距离=圆心到直线的距离减去半径
②圆上的点到直线的最长距离=圆心到直线的距离加上半径

③假设P（x，y）是 在某个圆上的动点，则（x-a）（y-b）的最值可以转化为圆上的点与
该点（a，b）的斜率问题， 即先求过该定点的切线，得到的斜率便是该分式的
最值。
④假设P（x，y）是在某个圆上的动点，则求x+y或x-y的最值可以转化为：设T=x+y或T= x-y，
在圆上找到点(X,Y)使得以y=x+T或y=x-T在Y轴上的截距最值化。

9.圆的对称问题
①已知圆关于已知的直线对称，则对称后的圆半径与已知圆半径是相等的，只需求出已知圆
的圆心关于该直线对称后得到的圆心坐标即可。

②若某条直线无论其如何移动都能平分一个圆，则这个直线必过某定点，且该定点是圆的圆

心坐标



只供学习与交流

资料收集于网络，如有侵权 请联系网站删除


只供学习与交流