(完整版)圆的方程知识点总结和典型例题

圆的方程知识点总结和经典例题

1．圆的定义及方程
定义
标准
方程
一般
方程
平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
(x－a)
2
＋(y－b)
2
＝r
2
(r＞0) 圆心：(a，b)，半径：r
DE
－，－
?
， 圆心：
?
2
??
2
1
半径：
D
2
＋E
2
－ 4F
2
x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＝0(D
2
＋E
2
－
4F＞0)
注意点
(1)求圆的方程需要三个 独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个
独立方程．
(2)对于方程x< br>2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D
2
＋E2
－4F＞0这一条件．
2．点与圆的位置关系
点M(x
0
，y
0
)与圆(x－a)
2
＋(y－b)
2
＝r
2
的位置关系：
(1)若M(x
0
，y
0
)在圆外，则(x
0
－a)
2
＋(y
0
－b)
2
＞r
2
.
(2)若M(x
0
，y
0
)在圆上，则(x
0
－a)
2
＋(y
0
－b)
2
＝r
2< br>.
(3)若M(x
0
，y
0
)在圆内，则(x
0< br>－a)
2
＋(y
0
－b)
2
＜r
2
.

3．直线与圆的位置关系
（1）直线与圆的位置关系的判断方法
设直线l：Ax＋By＋C＝0(A
2
＋B
2
≠0)，
圆 ：(x－a)
2
＋(y－b)
2
＝r
2
(r>0)， d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的
判别式为 Δ.
方法位置关系
相交
相切
相离
几何法
dd＝r
d>r
代数法
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
1．几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
2．代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
3．直线系法：若直线 恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线
与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点 的直线系．
（2）过一点的圆的切线方程的求法
1．当点在圆上时，圆心与该点的连线与切 线垂直，从而求得切线的斜率，
用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程．
2．若点在圆外时 ，过这点的切线有两条，但在用设斜率来解题时可能求出
的切线只有一条，这是因为有一条过这点的切线 的斜率不存在．

（3）求弦长常用的三种方法
?
l
?2
1．利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系r
＝d＋
?2
?
解
??
22
题．
2．利用交点坐标
若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计
算弦长．
3．利用弦长公式
设直线l：y＝kx＋b，与圆的两交点(x
1
，y1
)，(x
2
，y
2
)，将直线方程代入圆的
方程，消 元后利用根与系数的关系得弦长l＝
?1＋k
2
?[?x
1
＋x2
?
2
－4x
1
x
2
].
4. 圆与圆的位置关系
（1）圆与圆位置关系的判断方法
设圆O
1
：(x－a
1
)
2
＋(y－b
1
)
2
＝r
2
1
(r
1
>0)，
圆O
2
：(x－a
2
)
2
＋(y－b
2
)
2
＝r
2
2
(r
2
>0)．
方法位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
几何法：圆心距d与r
1
，r
2
的关系
d>r
1
＋r
2

d＝r
1
＋r
2

r
1
－r
2
1
＋r
2

d＝ r
1
－r
2

(r
1
≠r
2
)
0≤d< r
1
－r
2
(r
1
≠r
2
)
代数法：两圆方程联立组成
方程组的解的情况
无解
一组实数解
两组不同的实数解
一组实数解
无解
1＋k
2
| x
1
－x
2
＝
易误点：
两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形．

1．判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几
个步骤：
(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径；
(2)计算两圆圆心的距离d；
(3)通过d，r
1
＋r
2
， r
1
－r
2
的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，
必要时可借助于图形，数形结合．
2．应用几 何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰
的，要理清圆心距与两圆半径的关系．
（2）两圆相交有关问题
1．圆系方程

一般地过圆C
1< br>：x
2
＋y
2
＋D
1
x＋E
1
y＋ F
1
＝0与圆C
2
：x
2
＋y
2
＋D2
x＋E
2
y＋F
2
＝
0交点的圆的方程可设为：x< br>2
＋y
2
＋D
1
x＋E
1
y＋F
1
＋λ(x
2
＋y
2
＋D
2
x＋E
2
y＋F
2
)＝
0(λ≠－1)，然后再由其他条件求出λ，即可得圆的方程．
2．两圆相交时，公共弦所在的直线方程
若圆C
1
：x
2
＋y
2
＋D
1
x＋E
1
y＋F
1
＝0与圆 C
2
：x
2
＋y
2
＋D
2
x＋E
2
y＋F
2
＝0相交，
则两圆公共弦所在直线的方程为(D
1
－D
2
)x＋(E
1
－E
2
)y＋F
1
－F
2
＝0.
3．公共弦长的求法
(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出
弦长．
(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构
成的直角三角形，根据 勾股定理求解．
5. 对称问题
(1)点关于点成中心对称通常利用中点坐标公式
点|P（x，y）关于Q（a，b）的对称点为P'（2a－x，2b－y）.|
|(2)点关于直线成轴对称
(3)曲线关于点、曲线关于直线成中心对称或轴对称
6. 与圆有关的最值问题的常见解法
y－b
(1)形如μ＝
形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
x－a
(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
(3)形如(x－a)
2
＋(y－b)
2
形式的最值问题，可转化为动点到 定点的距离的平方的最值问
题． |
7. 典型例题
1. 直线3x＋4y－5＝0与圆x
2
＋y
2
＝1的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法判断
－5
【解析】 圆心 (0,0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝
22
＝1，又圆x
2
＋y< br>2
＝1的半
3
＋4
径r＝1，∴d＝r，故直线与圆相切．
2. 直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)
2
＋(y＋1)
2
＝9的位置关系是( )
A．过圆心
C．相离
B．相切
D．相交但不过圆心
3×1＋4×?－1?＋12
3
2
＋4
2
【解析】
圆心(1，－1)到直线3x＋4y ＋12＝0的距离d＝

11
＝
5
＜r.【答案】 D
3. 求过点(1，－7)且与圆x
2
＋y
2
＝25相切的直线方程．
【解析】
由题意知切线斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为y＋7＝
k(x－1)，
即kx－y－k－7＝0.∴
－k－7
43
＝5，解得k＝或k＝－.∴所求切线方程为y
2
34
k
＋1
43
＋7＝
3
(x－1)或y＋7＝－
4
(x－1)，即4x－3y－25＝0或3x＋4y＋ 25＝0.
4.

过点
A(4
，－
3)
作圆C
：
(x
－
3)
2
＋
(y
－
1)
2
＝
1
的切线，求此切线的方程
.|
【解析】
因为(4－3)
2
＋(－3－1)
2
＝17＞1，所以点A在圆外．
(1)若所求切线的斜率存在，设切线斜率为k，
则切线方程为y＋3＝k(x－4)．
因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径，半径为1，
所以
3k－1－3－4k
＝1，即 k＋4 ＝k
2
＋1，
2
k＋1
15
所以k
2
＋8k＋16＝k
2
＋1，解得k＝ －
8
.
15
所以切线方程为y＋3＝－
8
(x－4)，即15x＋8y－36＝0.
(2)若直线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x＝4的距离也为1，
这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x＝4.
综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.
5.

求直线< br>l
：
3x
＋
y
－
6
＝
0
被 圆
C
：
x
2
＋
y
2
－
2y
－
4
＝
0
截得的弦长．

【解析】
圆C：x2
＋y
2
－2y－4＝0可化为x
2
＋(y－1)
2< br>＝5，
其圆心坐标为(0,1)，半径r＝5.
3×0＋1－6
10
点(0,1)到直线l的距离为d＝＝
2
，
3
2＋1
2
l＝2r
2
－d
2
＝10，所以截得的弦长为1 0.
6. 直线x＋2y－5＋5＝0被圆x
2
＋y
2
－2x－4y＝0截得的弦长为( )
A．1
C．4
B．2
D．46

【解析】
圆的方程可化为C：(x－1)
2
＋(y－2)< br>2
＝5，其圆心为C(1,2)，半径r
＝5.
如图所示，取弦AB的中点P，连接CP，则CP⊥AB，圆心C到直线AB的
1＋4－5＋5
距离d＝ CP ＝＝1.在Rt△ACP中， AP ＝r
2
－d
2
＝2，故直线
22
1
＋2
被圆截得的弦长 AB ＝4.
7. 两圆x
2
＋y
2
＝9和x
2
＋y
2
－8x＋6y＋9＝0的位置关系是( )
A．外离
C．内切
B．相交
D．外切
【解析】
两圆x
2
＋y
2
＝9和x
2
＋y
2
－8x＋6y＋9＝0的圆心分别为(0,0)和 (4，
－3)，半径分别为3和4.所以两圆的圆心距d＝4
2
＋?－3?
2
＝5.
又4－3<5<3＋4，故两圆相交．
8. 圆O
1
：x
2
＋y
2
－2x＝0和圆O
2
：x
2
＋y
2
－4y＝0的位置关系为( )
A．外离
C．外切
B．相交
D．内切
【解析】
圆O
1
的圆心坐标为(1 ,0)，半径长r
1
＝1；圆O
2
的圆心坐标为(0,2)，
半径长 r
2
＝2；1＝r
2
－r
1
＜ O
1
O
2
＝5＜r
1
＋r
2
＝3，即两圆相交．
9. 求两圆x
2
＋y
2
－2x＋10y－24＝0和x
2
＋y
2
＋ 2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线
的方程及公共弦长．
?
x
2
＋y
2
－2x＋10y－24＝0，
【解析】
联立两圆的方程得方程组?
22
两式相减得
?
x
＋y＋2x＋2y－8＝0，
x －2y＋4＝0，此为两圆公共弦所在直线的方程．
法一：设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足 方程组
?
x－2y＋4＝0，
?
x＝－4，
?
x＝0，?
22
解得
?
或
?

?
x
＋ y＋2x＋2y－8＝0，
?
y＝0
?
y＝2.
所以 AB ＝?－4－0?
2
＋?0－2?
2
＝25，即公共弦长为25.
法 二：由x
2
＋y
2
－2x＋10y－24＝0，得(x－1)
2＋(y＋5)
2
＝50，其圆心坐标为
(1，－5)，半径长r＝52，圆心到直 线x－2y＋4＝0的距离为d＝
1－2×?－5?＋4
222
＝35.设公共弦 长为2l，由勾股定理得r＝d＋l，即50＝
1＋?－2?
2

(35)
2
＋l
2
，解得l＝5，故公共弦长2l＝25 .
10.

求圆
C
1
：
x
2
＋
y
2
＝
1
与圆
C
2
：
x
2
＋
y
2
－
2x
－
2y
＋
1＝
0
的公共弦所在直线被圆
25
C
3
：
(x< br>－
1)
＋
(y
－
1)
＝
4
所截得的 弦长．

22
作差
【精彩点拨】 联立圆C
1
、C
2
的方程――→
得公共弦所在的直线
―→ 圆心C
3
到公共弦的距离d―→圆的半径r―→弦长＝2r
2
－d
2

【解析】
设两圆的交点坐标分别为A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)，则A，B的坐标是方
程组
?< br>x
2
＋y
2
＝1，
?
22
的解，两式相减得 x＋y－1＝0.
?
x
＋y－2x－2y＋1＝0
因为A，B两点的坐标满 足|x＋y－1＝0，所以AB所在直线方程为x＋y－1
＝0，即C
1
，C
2
的公共弦所在直线方程为x＋y－1＝0，
圆C
3
的圆心为(1,1)， 其到直线AB的距离d＝
1251
，由条件知r
2
－d
2
＝
4
－
2
＝
2

2323
4
，所以 直线AB被圆C
3
截得弦长为2×
2
＝23.
11. 已知圆C与 圆(x－1)
2
＋y
2
＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程为( )
A．(x＋1)
2
＋y
2
＝1
C．x
2
＋(y＋1)
2
＝1
B．x
2
＋y
2
＝1
D．x
2
＋(y－1)
2
＝1
【解析】 由已知圆(x－ 1)
2
＋y
2
＝1得圆心C
1
(1,0)，半径长r
1
＝1.设圆心C
1
(1,0
关于直线y＝－x对称的点为(a，b)，
b
?
?
a－1
·?－1?＝－1，
则
?
a ＋1
b
?
?
－
2
＝
2
，

?
a＝0，
解得
?
所以圆C的方程为x
2
＋(y＋1)< br>2
＝1.
?
b＝－1.

12. 当动点P在圆x
2
＋y
2
＝2上运动时，它与定点A(3,1)连线中点Q的轨迹方程
为__ ______．
【解析】 设Q(x，y)，P(a，b)，由中点坐标公式得

a＋3
?
?
x＝
2
，
?
b＋1
??
y＝
2
，

?
a＝2x－3，
所以
?

?
b＝2y－1.

点P(2x－3,2y－1)满足圆x
2
＋y
2
＝2的方程，所以(2x－3)
2
＋(2y－1)
2
＝2，
?
3
??
1
?
1
化简得
?x－
2
?
2
＋
?
y－
2
?
2
＝
2
，即为点Q的轨迹方程．
????
13.

（1）△ABC的顶点坐标分别是A（5，1），B（7，﹣3），C（2，﹣8），
求它的外接圆的方 程；

（2）△ABC的顶点坐标分别是A（0，0），B（5，0），C（0，12），求它
的内切圆的方程．

【解答】解：（1）设所求圆的方程为（x﹣a）
2+
（y﹣b）
2
=r
2
，①

因为A（5，1），B（7，﹣3），C（2，﹣8）都在圆上，

所以它们的坐标都满足方程①，

于是，可解得a=2，b=﹣3，r=25，

所以△ABC的外接圆的方程是（x﹣ 2）
2
+
（y
+
3）
2
=25．

（2）∵△ABC三个顶点坐标分别为A（0，0），B（5，0），C（0，12），

∴AB⊥AC，AB=5，AC=12，BC=13，

∴△ABC内切圆的半径r==2，圆心（2，2），

∴△ABC内切圆的方程为（ x﹣2）
2
+
（y﹣2）
2
=4．

14.

已知圆C：x
2
+
（y
+
1）< br>2
=5，直线l：mx﹣y
+
1=0（m
∈
R）

（1）判断直线l与圆C的位置关系；

（2）设直线l与圆C交于A、B两点，若直 线l的倾斜角为120°，求弦AB
的长．

【解答】解：（1）由于直线l的方程是mx﹣y
+
1=0，即 y﹣1=mx，经过定
点H（0，1），

而点H到圆心C（0，﹣1）的距离为2， 小于半径
故直线l与圆C相交，故直线和圆恒有两个交点．

（2）直线l的倾斜角为120°，直线l：﹣
圆心到直线的距离d=
x﹣y
+
1=0，

=4．

，故点H在圆的内部，
=1，∴
|
AB
|
=2
15. 过点(－1，－2)的直线l被圆 x
2
＋y
2
－2x－2y＋1＝0截得的弦长为2，求直
线l的方程 ．
【解】 由题意，直线与圆要相交，斜率必须存在，设为k.设直线l的方程
为y＋2＝k(x＋1)．
又圆的方程为(x－1)
2
＋(y－1)
2
＝1，圆心为(1,1)，半径 为1，所以圆心到直线
的距离
d＝
2k－1－2
＝
2
1＋k
2
?
2
?
1
2
－
??
2< br>＝
2
.
?
2
?
1717
解得k＝1或7
.所以直线l的方程为y＋2＝x＋1或y＋2＝
7
(x＋1)，即x－y－1＝0或17x－7y＋3＝0.