(完整版)函数的最值知识点总结与经典题型归纳

函数的最值

知识梳理

1. 函数最大值
一般地，设函数
y?f(x)
的定义域为
I
. 如果存在实数
M
满足：
①对于任意
x
都有
f(x)?M
.
②存在
x0
?I
，使得
f(x
0
)?M
.
那么，称
M
是函数
y?f(x)
的最大值.
2. 函数最小值
一般地，设函数
y?f(x)
的定义域为
I
. 如果存在实数
M
满足：
①对于任意
x
都有
f(x)?M
.
②存在
x0
?I
，使得
f(x
0
)?M
.
那么，称
M
是函数
y?f(x)
的最小值.
注意：对于一个函数来说，不一定有最值，若有最值，则最值一定是值域中的一个元素．
3. 函数的最值与其单调性的关系．
（1）若函数在闭区间
[a,b]
上是减函数，则< br>f(x)
在
[a,b]
上的最大值为 f(a)，最小值为 f(b)； （2）若函数在闭区间
[a,b]
上是增函数，则
f(x)
在
[ a,b]
上的最大值为 f(b)，最小值为 f(a)．
4．二次函数在闭区间上的最值．
探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出
y?f(x)
的草图，然后根据 图象的增减
性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知 区间
上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．
例题精讲

【例1】求函数
f(x)?3x
在[0,3]上的最大值和最小值．
解：因为函数
f(x)?3x
在[0,3]上单调递增
所以
f(x)?3x
在[0,3]上的最大值为
f(3)?3?3?9
；
f(x)?3x
在[0,3]上的最小值为
f(0)?3?0?0
；
2
【例2】求函数
y?
在区间[2，6]上的最大值和最小值．
x ?1
22
解：函数
y?
的图象如下图所示，所以
y?
在区间 [2，6]上单调递减；
x?1x?1
2
2
所以
y?
在区间[2，6]上的最大值为
?2
；
x?1
2?1
22
?
.

最小值为
6?15

1

题型一 利用图象求最值
【例3】求下列函数的最大值和最小值.
53
（1）
y?3?2x?x
2
,x?[?,]

22
（2）
y?|x?1|?|x?2|

解：（1）二次函数
y?3?2x?x
2
的对称轴为 x＝－1.
画出函数的图象，由下图，可知：
39
当
x??1
时，
y
max
?4
；当
x?
时，
y
min
??< br>.
24
539
所以函数
y?3?2x?x
2
,x? [?,]
最大值为4，最小值为
?
.
224
?
3,
?
（2）
y?|x?1|?|x?2|?
?
2x?1,
?
?3,
?
x?2
?1?x?2

x??1
作出函数图象，如下图，可知：
y?[?3,3]

所以函数的最大值为 3, 最小值为－3.

题型二 利用函数单调性求最值
9
【例4】求函数
f(x)?x?
在
x?[1,3]
上的最 大值和最小值.
x
分析：先判断函数的单调性，再求最值.
解：因为
1?x
1
?x
2
?3

所以f(x
1
)?f(x
2
)?x
1
?
9(x2
?x
1
)
9999
?(x
2
?)
? x
1
?x
2
?(?)
?x
1
?x
2
?

x
1
x
2
x
1
x
2
x
1
x
2
9
)

x
1
x
2
?(x
1
?x
2
)(1?
因为
1?x
1
?x
2
?3
所以
x
1
?x
2
? 0
，
x
1
x
2
?9

所以
1?< br>9
?0
，所以
f(x
1
)?f(x
2
)?0
,
f(x
1
)?f(x
2
)

x
1
x
2
所以
f(x)?x?
9
在区间
[1,3]< br>上单调递减；
x
9189
?
，最大值为
f(1)?1??10
.
331
所以求函数
f(x)
在
x?[1,3]
上的最小值为
f(3)?3?
题型三 函数最值的应用
2

【例5 】已知函数
f(x)?
x
2
?2x?a
x
，
x?[ 1,??)

（1）当
a?
1
2
时，求函数
f(x)
的最小值.
（2）若对任意的
x?[1,??)
，
f(x)?0
恒成立，试求< br>a
的取值范围.
1
x
2
?2x?
1
解：（ 1）当
a?
时，
f(x)
2
2
?
x

设
1?x
1
?x
2

则
f(x
1
)?f(x
2
)?(x
1
?
1
2x
?2)?(x
1
2
??2)

1
2x
2
?(x
x
2
?x
1
1
?x
2< br>)?
x
?(x?x
2x
1
x
2
?1
2
12
)

1
x
2
2x
1
x
2
因 为
x
1
?x
2
?0
，所以
2x
1
x
2
?1
，
2x
1
x
2
?1?0

所以
f(x
1
)?f(x
2
)?0，
f(x
1
)?f(x
2
)

所以
f(x)
在区间
[1,??)
上单调递增
所以的最小值为
f(1)?1?
17
2
?2?
2
.
（2）
f(x)?0
对
x?[1,??)
恒成立?
x
2
?2x?a?0
对
x?[1,??)
恒成立?
a??x
2
?2x
对
x?[1,??)
恒成立．
令
u??x
2
?2x??(x?1)
2
?1
，其在
[1,??)
上是减函数，
∴当
x?1
时，
u
max
??3
. 因此
a??3
.
故实数
a
的取值范围是
(?3,??)
．


课堂练习
? 仔细读题，一定要选择最佳答案哟！
1．函数f(x)＝
?
?
2x＋6 x∈[1，2]
?
x＋7 x∈[－1，1]

，则f(x)的最大值、最小值分别为(
A．10,6 B．10,8 C．8,6 D．以上都不对
2．已知f(x)在R上是增函数，对实数a、b若a＋b＞0，则有( )
A．f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)
B．f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)
3

)

C．f(a)－f(b)＞f(－a)－f(－b)
D．f(a)－f(b)＜f(－a)＋f(－b)
3. 若f(x)＝－x
2
＋2ax与g(x)＝
A．(－1,0)∪(0,1)
a
在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是( )
x＋1
D．(0,1] B．(－1,0)∪(0,1] C．(0,1)
4．函数y＝|x－3|－|x＋1|有( )
A．最大值4，最小值0 B．最大值0，最小值－4
C．最大值4，最小值－4 D．最大值、最小值都不存在
5．函数y＝－x
2
－10x＋11在区间[－1,2 ]上的最小值是________．
6．如果函数f(x)＝－x
2
＋2x的定义域 为[m，n]，值域为[－3,1]，则|m－n|的最小值为________．





7. 已知函数
f(x)?x
2
?2x?3
，若
x?[t,t?2]
时，求函数
f(x)
的最值.










8. 求函数
f(x)?








9. 已知函数 f(x)＝x
2
＋2ax＋2，x∈[－5，5].
4
x
在区间
[2,5]
上的最大值和最小值.
x?1

（1）当 a＝－1 时，求 f(x)的最大值和最小值；
（2）求使函数 y＝f(x)在区间[－5，5]上是单调函数的 a 的取值范围．

5