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高三复习数列知识点和经典试题的解题方法归纳(非常全)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-22 09:15
tags:高中数学的知识点

北师大版高中数学知识点-云南省高中数学学业水平试卷

2020年9月22日发(作者:贺炳炎)



数列知识点和常用的解题方法归纳

一、 等差数列的定义与性质

定义:a
n?1
?a
n
?d(d为常数),a< br>n
?a
1
?
?
n?1
?
d


等差中项:x,A,y成等差数列?2A?x?y


前n项和S
n
?
?
a
1
?a
n
?
n
?na
2
1
?
n
?
n?1
?
2
d


性质:
?
a
n
?
是等差数列

< br>(1)若m?n?p?q,则a
m
?a
n
?a
p
?a
q



(2)数列
?
a
2n?1
?

?
a
2n
?

?
ka
n
?b
?
仍为等差数列;


S
n
,S
2n
?S
n
,S
3n
?S
2n
…… 仍为等差数列;


(3)若三个数成等差数列,可设为a?d,a,a?d;


(4) 若a
n
,b
n
是等差数列S
n
,T
n
为前 n项和,则
a
m
S
2m?1
?;

b
m
T
2m?1
2

(5)
?a
n
?
为等差数列?S
n
?an?bn(a,b为常数,是关于 n的常数项为

0的二次函数)
2

S
n
的最值可求二次函数S
n
?an?bn的最值;或者求出
?
a
n?
中的正、负分界

项,即:

当a
1
?0,d?0,解不等式组
?
?
a
n
?0
可得S
n
达到最大值时的n值。

?
a
n?1
?0
?
a
n
?0

当a
1
?0,d?0,由
?
可得S
n
达到最小值时 的n值。

a?0
?
n?1

如:等差数列
?
a
n
?
,S
n
?18,a
n
?a
n?1
?a
n?2
?3,S
3
?1,则n?
(由a
n
?a
n?1
?a
n?2
?3?3a
n ?1
?3,∴a
n?1
?1


又S
3
?
?
a
1
?a
3
?
·3?3a
2
2
?1,∴a
2
?
1

3
1




∴S
?
?
aa
?
1
?1
?
?
n
1
?
n
?
nn
?
2
?
?
a
2
?a
n?1
?
·n
2
?
?
3
?
2
?18

?n?27)

二、等比数列的定义与性质

定义:
a
n?1
?q(q为常数,q?0),a
n?1
a
n
?a
1
q

n

等比中项:x、G、y成等比数列?G
2
?xy,或G??xy

?
na
1
(q?1)

前n项和:S
?n
?
?
a
1
?
1?q
n
?
?
?
1?q
(q?1)
(要注意!)


性质:
?
a
n
?
是等比数列

< br>(1)若m?n?p?q,则a
m
·a
n
?a
p
·a
q


(2)S
n
,S
2n
?S< br>n
,S
3n
?S
2n
……仍为等比数列

三、求数列通项公式的常用方法

1、公式法
2、
由S
n
求a
n

(n?1时,a
1
?S
1
, n?2时,a
n
?S
n
?S
n?1


3、求差(商)法

如:
?
a
1
n
?
满足
2
a
11
1
?
2
2
a< br>2
?……?
2
n
a
n
?2n?5?1?

解:
n?1时,
1
2
a
1
?2?1?5, ∴a
1
?14


n?2时,
1
2
a
11
1
?
2
2
a
2
?……?
2
n?1
a
n?1
?2n?1?5?2?


?1???2?得:
1
n?1
?
14(n?1)
2
n
a
n
?2

∴a
n
?2

∴a
n
?
?
?
2
n?1
(n?2)
[练习]

数列
?
a
n
?
满足S
5
n
?S
n?1
?
3
a
n?1
,a
1
?4,求a
n


(注意到a
S
n?1
n ?1
?S
n?1
?S
n
代入得:
S
?4

n

又SS
n
1
?4,∴
?
Sn
?
是等比数列,
n
?4


n?2时 ,a
n
?S
n
?S
n?1
?……?3·4
n?1< br>
2



4、叠乘法
an

例如:数列
?
a
n
?
中,a
1
?3,
n?1
a
?
n?1
,求a
n
n
解:
a
2
aa
12n?1
aa
·
3
……
n
?·……,∴
n
?
1< br>
1
a
2
a
n?1
23na
1
n

又a
3
1
?3,∴a
n
?
n

5、等差型递推公式

由a
n
?a
n?1
?f(n ),a
1
?a
0
,求a
n
,用迭加法

n?2时,a
2
?a
1
?f(2)
?
a?a
?
32
?f(3)
?
…………
?
两边相 加,得:

?
a
n
?a
n?1
?f(n)
?
?

a
n
?a
1
?f(2)?f(3)?……?f(n)


∴a
n
?a
0
?f(2)?f(3)?……?f(n)

[练习]

数列
?
a
n?1
n
?
,a
1
?1,a
n
?3?a
n?1
?
n? 2
?
,求a
n


(a
n
?
1
2
?
3
n
?1
?


6、等比型递推公式

a
n
?ca
n?1
?d?
c、d为常数,c?0,c?1,d?0
?


可转化 为等比数列,设a
n
?x?c
?
a
n?1
?x
?< br>
?a
n
?ca
n?1
?
?
c?1
?
x


令(c?1)x?d,∴x?
d
c?1



?
?
a
d
?
?
n
?
c?1
?< br>?
是首项为a
1
?
d
c?1
,c为公比的等比数列< br>
∴a
d
c?1
?
?
?
?
a ?
d
?
n?1
n
?
1
c?1
?
?
·c


∴a
?
d
?
n
?
?
?
a
1
?
c?1
?
?
c
n?1
?
d
c?1

3



[练习]

数列
?
a
n
?
满足a
1
?9,3a
n?1
?a
n
?4,求a
n

?
4
?

(a
n
?8
?
?
?
?
3
?
7、倒数法
n?1
?1)


例如:a
1
?1,an?1
?
2a
n
a?2
111
,求a
n

由已知得:?
n
??

a
n
?2a
n?1
2a
n
2a
n


1
a
n?1
?
?
1
?
1111
?

?
??
为等差数列,?1,公差为
< br>a
n
2
a
1
2
?
a
n
?< br>
?
111
2
?1?
?
n?1
?·?
?
n?1
?

∴a
n
?

a
n
22
n?1
三、 求数列前n项和的常用方法
1、公式法:等差、等比前n项和公式
2、裂项法:把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项。
如:
?
a
n
?
是公差为d的等差数列,求
1

?
k?1
a
k
a
k?1
n
解:

111
?
11
?
??
?
?
?
?< br>d?0
?

a
k
·a
k?1
a
k< br>?
a
k
?d
?
d
?
a
k
a
k?1
?
nn
11
?
11
?
?
?
?
?


?
?

aadaa
?
k?1
kk?1
k?1
kk?1
?

?
11
?
?
11
??
11
?
1< br>?
?
?
?
?
?
?
?
?
?< br>?
?……?
?
?
?
?
d
?
?
a
1
a
2
??
a
2
a
3
??< br>a
n
a
n?1
?
?
1
?
11
?
?
?
?
?
d
?
a
1
a
n?1
?

[练习]

求和:1?
111
??……?

1?21?2?3
1?2?3?……?n
1


n?1

(a
n
?……?……,S
n
?2?
3、错位相减法:


?
a
n
?
为等差数列,
?b
n
?
为等比数列,求数列
?
a
n
b
n
?
(差比数列)前n项

和,可由S
n
?qS
n
求S
n
,其中q为
?
b
n
?
的公比。
4




如:S
n
?1?2 x?3x?4x?……?nx
23n?1
?1?

?2?

234n?1
?nx
n

x·S
n
?x?2x?3x?4x?……?
?
n?1
?
x
2n?1
?nx
n

?1???2?:
?
1?x
?
S
n
?1?x?x?……?x

x?1时,S
n
1? x
?
nx
?
??
n
n
?
1?x
?
2
1?x


x?1时,S
n
?1?2?3 ?……?n?
n
?
n?1
?
2

4、倒序相加法:把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加。

S
n
?a
1
?a
2
?……?a
n?1
?a
n< br>?
?
?
相加

S
n
?a
n
?a
n?1
?……?a
2
?a
1
?
?

2S
n
?
?
a
1
?a
n
?
?
?
a
2
?a
n?1
?
?……?
?a
1
?a
n
?
……

[练习]
x< br>2
?
1
??
1
??
1
?
已知f(x )?,则f(1)?f(2)?f?f(3)?f?f(4)?f
??????
?
?< br>2
??
3
??
4
?
1?x
2
?1
?
??
?
x
?
2

x
?
1
?
?

(由f(x)?f
? ?
?
?
x
?
1?x
2
2
x
21
???1

222
1?x1?x
?
1
?1?
??
?
x
?

∴原式?f(1)?
?
f(2)?f
??
?
?
?
f(3)?f
???
?
?
f(4)?f
??
?

??????< br>?
?
?
1
?
??
2
??
?
1
?
??
3
??
?
1
?
?
4?

?
11
?1?1?1?3)
22

例1设{a
n< br>}是等差数列,若a
2
=3,a
7
=13,则数列{a
n}前8项的和为( )
A.128 B.80 C.64 D.56 (福建卷第3题)
略解:∵ a
2
+a
7
= a
1
+a
8
=16

∴{a
n
}前8项的 和为64,故应选C.
例2 已知等比数列
{a
n
}
满足
a
1
?a
2
?3,a
2
?a
3
?6
,则
a
7
?
( )
A.64
答案:A.
B.81 C.128 D.243 (全国Ⅰ卷第7题)
例3 已知等差数列
?
a
n
?
中,
a
2
?6

a< br>5
?15
,若
b
n
?a
2n
,则数列
?
b
n
?
的前5项和等
于( )
5



A.30 B.45 C.90 D.186 (北京卷第7题)
略解:∵a
5
-a
2
=3d=9,∴ d=3,b
1
=
a
2
?6
,b
5
=a
10
=30,< br>?
b
n
?
的前5项和等于90,
故答案是C.
例4 记等差数列的前
n
项和为
S
n
,若
S
2
? 4,S
4
?20
,则该数列的公差
d?
( )
A.2 B.3 C.6 D.7 (错误!未找到引用源。第4题) < br>略解:∵
S
4
?S
2
?S
2
?4d?12, d?3
,故选B.
例5在数列
{a
n
}
中,
a< br>n
?4n?
5
2
*

a
1
?a2
?L?a
n
?an?bn

n?N
,其中
a ,b

2
常数,则
ab?
.(安徽卷第15题)
答案:-1.
例6 在数列
{a
n
}
中,
a
1
?2

a
n?1
?a
n
?ln(1?)
,则
a
n
?
( )
A.
2?lnn
B.
2?(n?1)lnn

C.
2?nlnn
D.
1?n?lnn
(江西卷第5题)
答案:A.
例7 设数列
?
a
n
?
中,
a
1
?2,a
n?1
?a
n
?n?1
,则通项
a
n
?
___________.(四川卷第
16题)
此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项 公式,抓住
a
n?1
?a
n
?n?1

a
n?1
,a
n

数相同是找到方法的突破口.
略解:∵
a
1
?2,a
n?1
?a
n
?n?1

a
n
?a
n?1
?
?
n?1
?
?1

a
n?1
?a
n?2
?
?
n?2
?< br>?1

1
n
a
n?2
?a
n?3
?
?
n?3
?
?1

K

a
3?a
2
?2?1

a
2
?a
1
?1? 1

a
1
?2?1?1
.将以上各式相
加,得
a< br>n
?
?
?
?
n?1
?
?
?
n?2
?
?
?
n?3
?
?
L
?2?1?
?
?n?1
应填
n?1
?
nn
?
n ?1
??
??n?1??1
,故
22
n(n?1)
+1.
2
1
n
4
例8 若(
x
+)的展开式中前三项的系 数成等差数列,则展开式中
x
项的系数为
2x
( )
A.6 B.7 C.8 D.9 (重庆卷第10题)
答案:B.
使用选择题、填空题形式 考查的文科数列试题,充分考虑到文、理科考生在能力上的差
异,侧重于基础知识和基本方法的考查,命 题设计时以教材中学习的等差数列、等比数列的
公式应用为主,如,例4以前的例题.例5考查考生对于 等差数列作为自变量离散变化的一
种特殊函数的理解;例6、例7考查由给出的一般数列的递推公式求出 数列的通项公式的能
力;例8则考查二项展开式系数、等差数列等概念的综合运用.重庆卷第1题,浙江 卷第4
6



题,陕西卷第4题,天津卷第4题,上海卷第14题, 全国Ⅱ卷第19题等,都是关于数列的
客观题,可供大家作为练习.
例9 已知{a
n
}是正数组成的数列,a
1
=1,且点(
a
n
,a
n?1
)(n
?
N*)在函数y=x
2
+1
的图象上. (Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式; (Ⅱ)若数列{b
n
}满足b
1
=1,b
n+1
=b
n
+
2
n
,求证:
b
n
·b
n+2
<b
2
n+1
. (福建卷第20题)
略解:(Ⅰ)由已知,得a
n+1
-a
n
=1 ,又a
1
=1,所以数列{a
n
}是以1为首项,公差为1的
等差数 列.故a
n
=1+(n-1)×1=n.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,a
n
=n

从而b
n+1
-b
n
=2
n
,b< br>n
=(b
n
-b
n-1
)+(b
n-1
-b
n-2
)+…+(b
2
-b
1
)+b
1
= 2
n
-1
+2
n
-2
+…
nn
+2
+2+1=2
n
-1.∵. b
n
?b
n+2
-b
2
-1)-(2
n+
1
-1)
2
= -2
n
<0, ∴ b
n
·b
n+2
<b
2
n?1
=(2-1)(2
n?1

a
对于第(Ⅱ)小题,我们也可以作如下的证明:
nn
+1
n
+1
∵ b
2
=1,b
n
·b
n+2
- b
2
)- b
2
·b
n+1
-2
n
·b
n+1
-2< br>n
·2
n
+1
=2
n
(b
n+1
- 2
n
+1

n?1
=(b
n+1
-2)(b
n+1
+2
n?1
=2
=2
n
(b
n
+ 2
n
-2
n
+1
)=2
n
(b
n
-2
n
)=…=2
n
(b
1
-2)=-2
n<0,∴ b
n
-b
n+2
2
n+1
.

n
例10 在数列
?
a
n
?
中,
a
1
?1

a
n?1
?2a
n
?2
.(Ⅰ )设
b
n
?
a
n
.证明:数列
?
b
n
?
n?1
2
是等差数列;(Ⅱ)求数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
.(全国Ⅰ卷第19题) a
n?1
a
n
a
n?1
?2a
n
2< br>n
略解:(Ⅰ)
b
n?1
?b
n
=
n
?
n?1
==
n
=1,则
?
b
n
?为等差数列,
b
1
?1

n
2
222
b
n
?n

a
n
?n2
n?1
(Ⅱ)
S
n
?1g2
0
?2g2
1
?L?(n ?1)g2
n?2
?ng2
n?1
.两式相减,


2S
n
?1g2
1
?2g2
2
?L?(n?1)g2n?1
?ng2
n
S
n
?ng2
n
?1g2< br>0
?2
1
?L?2
n?1
?ng2
n
?2< br>n
?1
=
(n?1)2
n
?1

对于例1 0第(Ⅰ)小题,基本的思路不外乎推出后项减前项差相等,即差是一个常数.可
以用迭代法,但不可由 b
2
-b
1
=1,b
3
-b
2
=1等有限 个的验证归纳得到
?
b
n
?
为等差数列的结论,
犯“以偏盖 全”的错误.第(Ⅱ)小题的“等比差数列”,在高考数列考题中出现的频率很
高,求和中运用的“错项 相减”的方法,在教材中求等比数列前n项和时给出,是“等比差
数列”求和时最重要的方法.一般地, 数学学习中最为重要的内容常常并不在结论本身,而
在于获得这一结论的路径给予人们的有益启示. < br>例9、例10是高考数学试卷中数列试题的一种常见的重要题型,类似的题目还有浙江
卷第18题 ,江苏卷第19题,辽宁卷第20题等,其共同特征就是以等差数列或等比数列为
依托构造新的数列.主 要考查等差数列、等比数列等基本知识,考查转化与化归思想,考查
推理与运算能力.考虑到文、理科考 生在能力上的差异,与理科试卷侧重于理性思维,命题
设计时以一般数列为主,以抽象思维和逻辑思维为 主的特点不同;文科试卷则侧重于基础知
识和基本方法的考查,以考查具体思维、演绎思维为主.
7



a
1
?3

{b
n
}
为等比数列,
b
1
?1
,例11 等差数列
{a
n
}
的 各项均为正数,前
n
项和为
S
n


b
2
S
2
?64,
b
3
S
3
?960
.(Ⅰ)求
a
n

b
n
; (Ⅱ)求和:
题) < br>111
??L?
.(江西卷第19
S
1
S
2
S
n
?
S
2
b
2
?(6?d)q?64,
{a}{b}
d
略解:(Ⅰ)设
n
的公差为,
n
的公比为< br>q
,依题意有
?
2
?
S
3
b
3?(9?3d)q?960.
6
?
d??,
?
d?2,
?
?
5
(舍去,为什么?)故
a?3?2(n?1)?2n?1,b?8n?1
. 解之,得
?

?
nn
q?8;
40
?
?
q?.
?
3
?
(Ⅱ)
S
n< br>?3?5?L?(2n?1)?n(n?2)
,∴
1111111
??
L
?????
L
?
S
1
S
2
S
n
1?32?43?5n(n?2)
111111
?(1??????
232 435
32n?3
111111

L
??)
?(1??? )
??
42(n?1)(n?2)
nn?2
22n?1n?2
“裂项 相消”是一些特殊数列求和时常用的方法.
使用解答题形式考查数列的试题,其内容还往往是一般数列 的内容,其方法是研究数列
通项及前n项和的一般方法,并且往往不单一考查数列,而是与其他内容相综 合,以体现出
对解决综合问题的考查力度.数列综合题对能力有较高的要求,有一定的难度,对合理区分
较高能力的考生起到重要的作用.
n
例12 设数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
?2a
n
?2
,(Ⅰ)求
a
1
,a
4
;(Ⅱ)证明:
?< br>a
n?1
?2a
n
?
是等比数列;(Ⅲ)求
?
a
n
?
的通项公式.(四川卷第21题)
n
略解:(Ⅰ)∵a
1
?S
1
,2a
1
?S
1
?2,所以
a
1
?2,S
1
?2
.由
2a
n
?S
n
?2
知,
2a
n?1
?S
n?1
?2
n?1

?a
n?1
?S
n
?2n?1

得,
a
n?1
?S
n
?2
n ?1



a
2
?S
1
?2
2
?2?2
2
?6,S
2
?8a
3
?S
2< br>?2
3
?8?2
3
?16,S
3
?24
a< br>4
?S
3
?2
4
?40

(Ⅱ)由题设和 ①式知,
a
n?1
?2a
n
?S
n
?2
n ?1
?S
n
?2
n
?2
n?1
?2
n?2
n



????
?
a
n?1< br>?2a
n
?
是首项为2,公比为2的等比数列.
(Ⅲ)
8



a
n
?
?
a
n
?2 a
n?1
?
?2
?
a
n?1
?2a
n?2
?
?L?2
n?2
?
a
2
?2a
1
?
?2
n?1
a
1
?
?
n?1
?
?2
n?1

此题重点考查数列的递推公式,利用递推公式求数列的特定项,通项公 式等.推移脚标,
两式相减是解决含有
S
n
的递推公式的重要手段,使其转化 为不含
S
n
的递推公式,从而有针
对性地解决问题.在由递推公式求通项公式 时,首项是否可以被吸收是易错点.同时,还应
注意到题目设问的层层深入,前一问常为解决后一问的关 键环节,为求解下一问指明方向.
2
例13 数列
?
a
n
?
满足
a
1
?0,a
2
?2,
a
n?2< br>?(1?cos
n
?
n
?
)a
n
?4sin
2
,n?1,2,3,L,
22
(I)求
a
3
,a
4
,并求数列
?
a
n
?
的通项公式;(II)设< br>S
k
?a
1
?a
3
?L?a
2k?1

T
k
?a
2
?a
4
?L?a
2k
W
k
?
南卷第20题)
略解:(I)
2Sk
(k?
N
?
)
,求使
W
k
?1的所有k的值,并说明理由.(湖
2?T
k
a
3
?(1?cos
2
?
2
)a
1
?4sin
2
?
?
2
?a
1
?4?4,
a
4
?(1?cos
2
?
)a
2
?4sin
2
?
?2a
2?4,
一般地, 当
n=2k?1(k?N)
时,

a
2k?1
?[1?cos
2
(2k?1)
?
(2k?1)
?
]a
2k?1
?4sin
2
?a
2k?1
?4,

a
2k?1
?a
2k?1
?4.

22
所以数列
?
a
2k?1
?
是首项为0、公差为4的等差数列 ,因此
a
2k?1
?4(k?1).

n=2k(k?N
?
)
时,
a
2k?2
?(1?cos
2
2k
?
2k
?
)a
2k
?4sin
2
?2a
2 k
,
所以数列
?
a
2k
?
是首项
22k
为2、公比为2的等比数列,因此
a
2k
?2.
故数列
?
a
n
?
的通项公式为
?
2(n?1),n?2k?1( k?N
?
),
?
a
n
?
?
n

?
2
?
?
2,n?2k(k?N).
(II)由(I)知,
S
k
?a
1
?a
3
?L?a
2k?1=
0?4?L?4(k?1)?2k(k?1),
2S
k
k(k?1)< br>?.

2?T
k
2
k?1
T
k
?a
2
?a
4
?L?a
2k
2?2
2
?L2< br>k
?2
k?1
?2,
W
k
?
于是,
W
1
?0,W
2
?1,
W
3
?
下面证明: 当
33515
,W
4
?,W
5
?,W
6
?
.
22416
k?6
时,
W
k
?1.
事实上, 当
k?6
时,
W
k?1
?W
k
?
(k? 1)kk(k?1)k(3?k)
?
k?1
??0,

W
k ?1
?W
k
.

W
6
?1,
所以当
k?6
时,
kk
222
9



W
k
?1.
故满足
W
k
?1
的所有k的值为3,4,5.
数列知识点回顾
第一部分:数列的基本概念
1.理解数列定义的四个要点
⑴数列中的数是按一定“次序”排列的,在这里,只强调有“次序”,而不
强调有“规律”.因此,如 果组成两个数列的数相同而次序不同,那么它们就是
不同的数列.
⑵在数列中同一个数可以重复出现.
⑶项a
n
与项数n是两个根本不同的概念.
⑷数列可以看作一个定义域为正 整数集(或它的有限子集)的函数当自变量
从小到大依次取值时对应的一列函数值,但函数不一定是数列 .
2.数列的通项公式
一个数列{ a
n
}的第n项a
n
与项数n之间的函数关系,如果用一个公式
a
n
=
f(n)
来表示 ,就把这个公式叫做数列{ a
n
}的通项公式。若给出数列{ a
n
}的
通项公式,则这个数列是已知的。若数列{ a
n
}的前n 项和记为S
n
,则S
n
与a
n
n?1
?
S
1
,
的关系是:a
n
=
?

?
S
n
?S
n?1
.n?2
第二部分:等差数列
1.等差数列定义的几个特点:
⑴公差是从第一项起,每一项减去它前一项的差(同一常数),即d = a
n

a
n?1
(n≥2)或d = a
n?1
-a
n
(n
?
N
?
). ⑵要证明一个数列是等差数列,必须对任意n
?
N
?
,a
n-a
n?1
= d (n≥2)或
d = a
n?1
-a
n
都成立.一般采用的形式为:
① 当n≥2时,有a
n
-a
n?1
= d (d为常数).
②当n
?N
?
时,有a
n?1
-a
n
= d (d为常数).
③当n≥2时,有a
n?1
-a
n
= a
n
-a
n?1
成立.
若判断数列{ a
n
}不 是等差数列,只需有a
3
-a
2
≠a
2
-a
1即可.
2.等差中项
若a、A、b成等差数列,即A=
a?ba?b
,则A是a与b的等差中项;若A=,
22
10



则a、 A、b成等差数列,故A=
于a
n
=
a?b
是a、A、b成等差数列 ,的充要条件。由
2
a
n?1
?a
n?1
,所以,等差数列 的每一项都是它前一项与后一项的等差中项。
2
3.等差数列的基本性质
⑴公差为d的等差数列,各项同加一数所得数列仍是等差数列,其公差仍为
d.
⑵公差为d的等差数列,各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列,其公差
为kd.
⑶若{ a
n
}、{ b
n
}为等差数列,则{ a
n±b
n
}与{ka
n
+b}(k、b为非零常数)
也是等差数列 .
⑷对任何m、n
?N
?
,在等差数列{ a
n
}中有:a
n
= a
m
+ (n-m)d,特别地,
当m = 1时,便得等差数列的通项公式,此式较等差数列的通项公式更具有一般
性.
⑸、一般地,如果l,k,p,…,m,n,r,…皆为自然数,且l + k + p + …
= m + n + r + … (两边的自然数个数相等),那么当{a
n
}为等差数列时,有:a
l
+
a
k
+ a
p
+ … = a
m
+ a
n
+ a
p
+ … .
⑹公差为d的等差数列,从中取出等距离 的项,构成一个新数列,此数列仍
是等差数列,其公差为kd( k为取出项数之差).
⑺如果{ a
n
}是等差数列,公差为d,那么,a
n
,a
n?1
,…,a
2
、a
1
也是等
差数列,其公差为-d;在 等差数列{ a
n
}中,a
m?l
-a
l
= a
m?k
-a
k
= md .(其中
m、k、
l
?
N
?
)
⑻在等差数列中,从第一项起,每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项
的等差中项. < br>⑼当公差d>0时,等差数列中的数随项数的增大而增大;当d<0时,等差
数列中的数随项数的 减少而减小;d=0时,等差数列中的数等于一个常数.
⑽设a
l
,a
m< br>,a
n
为等差数列中的三项,且a
l
与a
m
,am
与a
n
的项距差之比
a?
?
a
n
l ?m
=
?

?
≠-1),则a
m
=
l
1?
?
m?n
4.等差数列前n项和公式S
n
=< br>前n项和公式
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)
d
的比较 与S
n
= na
1

2
2
公式适用范围 相同点
11



n(a
1
?a
n
)
S
n
=
2
S
n
= na
1

n(n?1)
d

2
用于已知等差数列的首项和末项 都是等差数
列的前n项
和公式
用于已知等差数列的首项和公差
5.等差数列前n项和公式S
n
的基本性质
⑴数列{ a
n
}为等差数列的充要条件是:数列{ a
n
}的前n项和S
n
可以写成
S
n
= an
2
+ bn的形式(其中a、b为常数).
⑵在等差数列{ a
n
}中,当项数为2n (n
?
N
*
)时,S

-S

= nd,
S

S

=
a
n

a
n ?1
当项数为(2n-1) (n
?N
?
)时,S

-S

= a
n

S

S

=
n

n?1
⑶若数列{ a
n
}为等差数列,则S
n
,S
2n
-S
n
,S
3n
-S
2n
,…仍然成等差数
列,公差为
n
2
d

⑷若两个等差数列{ a
n
}、{ b
n
}的前n项和分别是S
n
、T
n
(n为奇数),则
S
n
=
2

T
n
b
n?1
2
a
n?1
⑸在等差数列{ a
n
}中,S
n
= a,S
m
= b (n>m),则S
m?n
=
⑹等差数列{a
n
}中,
+ (a
1

d
)上.
2
n?m
(a-b). n?m
S
n
S
d
是n的一次函数,且点(n,
n
)均在直线y =x
nn
2
⑺记等差数列{a
n
}的前n项和为 S
n
.①若a
1
>0,公差d<0,则当a
n
≥0
且a
n?1
≤0时,S
n
最大;②若a
1
<0 ,公差d> 0,则当a
n
≤0且a
n?1
≥0时,
S
n
最小.
第三部分:等比数列
1.正确理解等比数列的含义
12



⑴q是指从第2项起每一项与前一项的比,顺序不要错,即q =
a
n?1
a
n
(n
?N
?
)
或q =
a
n
(n≥2). a
n?1
a
n?1
a
n
⑵由定义可知,等比数列的任意 一项都不为0,因而公比q也不为0.
⑶要证明一个数列是等比数列,必须对任意n
?N
?
,= q;或
a
n
= q (n
a
n?1
≥2)都成立.
2.等比中项与等差中项的主要区别
Gb
如果G是a与b的等比中项,那么=,即G
2
= ab,G =±
ab
.所以,
aG
只要两个同号的数才有等比中项,而且等比中项有两个,它们互为 相反数;如果
..
a?b
,其中,a与b
2
没有同号的限制.在这里 ,等差中项与等比中项既有数量上的差异,又有限制条
..
A是a与b的等差中项,那么等差中 项A唯一地表示为A=
件的不同.
3.等比数列的基本性质
⑴公比为q的等比数列 ,从中取出等距离的项,构成一个新数列,此数列仍
是等比数列,其公比为q
m
( m为等距离的项数之差).
⑵对任何m、n
?N
?
,在等比数列{ a
n
}中有:a
n
= a
m
· q
n?m
,特别地,当
m = 1时,便得等比数列的通项公式,此式较等比数列的通项公式更具有普遍性.
⑶一般地,如果t ,k,p,…,m,n,r,…皆为自然数,且t + k,p,…,
m + … = m + n + r + … (两边的自然数个数相等),那么当{a
n
}为等比数列时,
有:at
.a
k
.a
p
.… = a
m
.a
n
.a
p
.… ..
⑷若{ a
n
}是公比为q的等比数列,则{| a
n
|}、{a
2
n
}、{ka
n
}、{
1
}.
q
1
}也是等
a
n
比数列,其公比分别为| q |}、{q
2
}、{q}、{
⑸如果{ a
n
}是等比数列,公比为 q,那么,a
1
,a
3
,a
5
,…,a
2n?1< br>,…是
以q
2
为公比的等比数列.
⑹如果{ a
n
}是等比数列,那么对任意在n
?N
?
,都有a
n
·a
n? 2
= a
2
q
2
>0.
n
·
⑺两个等比 数列各对应项的积组成的数列仍是等比数列,且公比等于这两个
13



数列的公比的积.
⑻当q>1且a
1
>0或0<q<1且a
1<0时,等比数列为递增数列;当a
1

0且0<q<1或a
1
<0且q>1时,等比数列为递减数列;当q = 1时,等比数列
为常数列;当q<0时,等比数列为摆动数列.
4.等比数列前n项和公式S
n
的基本性质
⑴如果数列{a
n
}是公比为q 的等比数列,那么,它的前n项和公式是
?
na
1
,当q?1时,
?
S
n
=
?
a
1
(1?q
n
)

,当q?1时.
?
1?q
?
也就是说,公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函
数 值,分段的界限是在q = 1处.因此,使用等比数列的前n项和公式,必须要
弄清公比q是可能等于 1还是必不等于1,如果q可能等于1,则需分q = 1和q
≠1进行讨论.
a
1
(1?q
n
)
⑵当已知a
1
,q,n时,用公式S
n
=;当已知a
1
,q,a
n
时,用
1?q
公式S
n
=
a
1
?a
n
q

1?q
⑶若S
n
是以q为公比的等比数列,则有S
n?m
= S
m
+qS
n
.⑵
⑷若数列{ a
n
}为等比数 列,则S
n
,S
2n
-S
n
,S
3n
-S
2n
,…仍然成等比数
列.
⑸若项数为3n的等比数列(q≠-1)前n项 和与前n项积分别为S
1
与T
1
,次
n项和与次n项积分别为S2
与T
2
,最后n项和与n项积分别为S
3
与T
3,则S
1

S
2
,S
3
成等比数列,T
1
,T
2
,T
3
亦成等比数列.
二、难点突破
1.并不是所有的数列都有通项公式,一个数列有通项公式在形式上也不一
定唯一.已知一个数列的前 几项,这个数列的通项公式更不是唯一的.
2.等差(比)数列的定义中有两个要点:一是“从第2项 起”,二是“每一项
与它前一项的差(比)等于同一个常数”.这里的“从第2项起”是为了使每一项< br>与它前面一项都确实存在,而“同一个常数”则是保证至少含有3项.所以,一
个数列是等差(比 )数列的必要非充分条件是这个数列至少含有3项.
3.数列的表示方法应注意的两个问题:⑴{ a
n
}与a
n
是不同的,前者表示
14



数列a
1
,a
2
,…,a
n
,…,而后者仅表示这 个数列的第n项;⑵数列a
1
,a
2
,…,
a
n
, …,与集合{ a
1
,a
2
,…,a
n
,…,}不同,差别 有两点:数列是一列有序
排布的数,而集合是一个有确定范围的整体;数列的项有明确的顺序性,而集合
的元素间没有顺序性.
4.注意设元的技巧时,等比数列的奇数个项与偶数个项有区别,即:
⑴对连续奇数个项的等比数列,若已知其积为S,则通常设…,aq
?2
, aq
?1

a,aq,aq
2
,…;
?3?1
⑵对连续偶数个项同号的等比数列,若已知其积为S,则通常设…,aq, aq,
..
aq,aq
3
,….
5.一个数列为等比数列的必要条件是该 数列各项均不为0,因此,在研究
等比数列时,要注意a
n
≠0,因为当a
n
= 0时,虽有a
2
a
n?1
成立,但{a
n
}
n
= a
n?1
·
不是等比数列,即“b
2
= a · c”是a、b、 c成等比数列的必要非充分条件;对比
等差数列{a
n
},“2b = a + c”是a、b、 c成等差数列的充要条件,这一点同学们
要分清.
6.由等比数列定义知, 等比数列各项均不为0,因此,判断一数列是否成
等比数列,首先要注意特殊情况“0”.等比数列的前 n项和公式蕴含着分类讨论
思想,需分分q = 1和q≠1进行分类讨论,在具体运用公式时,常常因考虑不周
而出错.
数列基础知识定时练习题

(满分为100分+附加题20分,共120分;定时练习时间120分钟)

一、 选择题(本大题共15小题,每小题3分,共45分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目 要求的)
1.下列四个数中,哪一个是数列{
n(n?1)
}中的一项 ( )
(A)380 (B)39 (C)35 (D)23
2.在等差数列
{a
n
}
中,公差
d?1

a
4
?a
17
?8< br>,则
a
2
?a
4
?a
6
???a
2 0
的值为( )
(A)40 (B)45 (C)50 (D)55
3.一套共7册的书计划每2年出一册,若各册 书的出版年份数之和为13979,则出齐这套
书的年份是( )
(A)1997 (B)1999 (C)2001 (D)2003
15



4.一个项数是偶数的等比数列,它的 偶数项的和是奇数项和的2倍,又它的首项为1,且
中间两项的和为24,则此等比数列的项数为( )
(A)12 (B)10 (C)8 (D)6
5.已知1是
a
2
与< br>b
2
的等比中项,又是
1
2
1
2
1
1a?b
与的等差中项,则
22
的值是( )
a
b
a?b
1
3
1
3
(A)1或 (B)1或
?
(C)1或 (D)1或
?

6.首项为-24的等差数列,从第10项开始为正,则公差
d
的取值范围是( )
(A)
d?
(B)
d?3
(C)≤
d?3
(D)
?d
≤3
7.如果-1,
a,b,c
,-9成等比数列,那么( )
(A)
b
=3,
ac
=9 (B)
b
=-3,
ac
=9 (C)
b
=3,
ac
=-9 (D)
b
=-3,
ac
=-9
8
3
8
3
8
3
8.在等差数列{a
n
}中,已知a
1
=2, a
2
+a
3
=13,则a
4
+a
5
+a< br>6
等于( )
A.40 B.42 C.43 D.45
9.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为( )
A.5 B.4 C. 3 D. 2
10.若互不相等的实数
a,b,c
成等差数列,
c,a,b成等比数列,且
a?3b?c?10
,则
a?
( )
A.4 B.2 C.-2 D.-4
1 1.在等比数列{a
n
}中

a
1
=1,a
10< br>=3,则a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
a
7
a
8
a
9
= ( )
A. 81 B. 27
5
27
C.
3
D. 243
12. 在等比数列
?
a
n
?
中,
a
1
?2
,前
n< br>项和为
S
n
,若数列
?
a
n
?1
?
也是等比数列,则
S
n
等于( )
(A)
2
n?1
?2
(B)
3n
(C)
2n
(D)
3
n
?1

【点评】本题考查了等比数列的定义和求和公式,着重考查了运算能力。
a
1
a
2
a
3
?80
,13.设
?
a
n?
是公差为正数的等差数列,若
a
1
?a
2
?a
3
?15
,则
a
11
?a
12
?a
13
?
( )
A.
120
B.
105
C.
90
D.
75

14.设
S
n
是等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和,若
S
7
?35
,则
a
4
?
( )
A.
8
B.
7
C.
6
D.
5

16



S
31
S6
15.设S
n
是等差数列{a
n
}的前n项和,若=,则 = ( )
S
6
3S
12
3111

A
) (
B
) (
C
) (
D

10389
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分.把答案填在题中横线上)
1.在数列
{a
n
}
中,
a
n
?
1
n?n?1
,且
S
n
?9
,则
n?

2.等比数列
{a
n
}
的前三项为
x

2x?2

3x?3
,则
a
4
?

3. 若数列
?
a
n
?
满足:
a
1
?1,a
n?1
?2a
n
.n?1
,2,3….则
a1
?a
2
???a
n
?
.
4 .设
S
n
为等差数列
?
a
n
?
的前n项和 ,
S
4
=14,S
10

S
7
=30,则 S
9
= .
5.在数列
{a
n
}
中,若< br>a
1
?1

a
n?1
?a
n
?2( n?1)
,则该数列的通项
a
n
?

三、解答题(本大题共4小题,每小题10分,共40分)
1.已知
?
a< br>n
?
为等比数列,
a
3
?2,a
2
?a4
?
20
,求
?
a
n
?
的通项式。
3
2.设等比数列
?
a
n
?
的前n项和为
S
n

S
4
?1,S
8
?17,求通项公式an
??

3. 已知正项数列{a
n
},其前n项和S
n
满足10S
n
=a
n
2
+5a
n
+6且 a
1
,a
3
,a
15
成等比数列,求数列
{an
}的通项a
n
.

4.数列
?
a
n
?
的前
n
项和记为
S
n
,a
1
?1,a
n?1
?2S
n
?1
?
n?1
?

(Ⅰ)求
?
a
n
?
的通项公式;
(Ⅱ)等差 数列
?
b
n
?
的各项为正,其前
n
项和为
T
n
,且
T
3
?15
,又
a
1
? b
1
,a
2
?b
2
,a
3
?b
3
成等比数列,求
T
n

本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识,以及推理能力与运算能力。满分12
分。






17



















1. A 2.B 3.D 4.C 5.D 6.D 7.B
解:由等比数列的性质可得ac=(-1)×( -9)=9,b×b=9且b与奇数项的符号相同,
故b=-3,选B 8.B
解: 在等差数列
?
a
n
?
中,已知
a
1
?2, a
2
?a
3
?13,
∴ d=3,a
5
=14,< br>a
4
?a
5
?a
6
=3a
5
=42 ,选B.
9.C
?
5a
1
?20d?15
?d?3
,故选C. 10. D 解:
?
5a?25d?30
?
1
解:由互不相等的实 数
a,b,c
成等差数列可设a=b-d,c=b+d,由
a?3b?c?10
可得b
=2,所以a=2-d,c=2+d,又
c,a,b
成等比数列可得d=6, 所以a=-4,选D 11.A
解:因为数列{a
n
}是等比数列, 且a
1
=1,a
10
=3,所以a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
a
7
a
8
a
9

(a
2
a
9
)(a
3
a
8
)(a
4
a
7
)(a
5
a
6< br>)=(a
1
a
10

4
=3
4
=8 1,故选A 12.C
n?1
【解析】因数列
?
a< br>n
?
为等比,则
a
n
?2q
,因数列
?a
n
?1
?
也是等比数列,
18




(a
n?1
?1)
2
?(a
n
?1)( a
n?2
?1)?a
n?1
2
?2a
n?1
?a< br>n
a
n?2
?a
n
?a
n?2
?a
n
?a
n?2
?2a
n?1
?a
n
(1?q?2q )?0?q?1
2


a
n
?2
,所以
S
n
?2n
,故选择答案C。 13.B
【解析】
?< br>a
n
?
是公差为正数的等差数列,若
a
1
?a
2
?a
3
?15

a
1
a
2
a
3
?80
,则
a
2
?5

B.
a
1
a
3
?(5?d)(5?d)?16
,∴ d=3,< br>a
12
?a
2
?10d?35

a
11?a
12
?a
13
?
105
,选
14. D
【解析】
S
n
是等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和,若
S
7
?7a
4
?35,

a
4
?
5
,选D.
15.A
解析:由等差数列的求和公式可得
S
3
3a
1
?3d
1
??,可得a
1
?2d

d?0

S
6
6a
1
?15d3
所以
S
6
6a
1?15d
27d3
???
,故选A
S
12
12a
1
?66d90d10
二、填空题
1. 99 2.
?
27

2
3. 解:数 列
?
a
n
?
满足:
a
1
?1,a
n?1
?2a
n
, n?1
,2,3…,该数列为公比为2的等比数列,2
n
?1
?2
n
?1
. ∴
a
1< br>?a
2
???a
n
?
2?1
4.解:设等差数列?
a
n
?
的首项为a
1
,公差为d,由题意得
4a
1
?
4(4?1)
d?14,

2
10(10 ?1)7(7?1)9(9?1)
联立解得a
1
=2,d=1,所以S
9
9?2?[10a
1
?d]?[7a
1
?d]?30

?1?54

222
5.解:由
a
n?1
?a< br>n
?2(n?1)
可得数列
{a
n
}
为公差为2的等 差数列,又
a
1
?1
,所以
a
n
?
2n- 1
三、解答题
a
3
2
1.解: 设等比数列{a
n
}的公比为q, 则q≠0, a
2
= = , a
4
=a
3
q=2q
qq
2201
所以 + 2q= , 解得q
1
= , q
2
= 3,
q33
11

18

当q
1
=, a
1
=18.所以 a
n
=18×()
n1
=
n

1
= 2×3
3n
.
33
3
19



22

当q=3时, a
1
= , 所以a
n
= ×3n-1=2×3
n3
.
99
a
1
(q
4
?1)
?1
…①
2.
解:设
{a
n
}
的公比为
q
,由
S< br>4
?1,S
8
?17知q?1
,所以得
q?1
a1
(q
8
?1)
q
8
?1
?17
…… ②由①、②式得整理得
4
?17
解得
q
4
?16

q?1
q?1
所以
q

2

q
=-
2
1
2
n?1


q

2
代入①式 得
a
1
?
,所以
a?
15
15
1
(?1)
n
?2
n?1


q
=-
2代入①式得
a
1
??
,所以
a
n
?
5
5
3.解析:解: ∵10S
n
=a
n
2
+5a
n
+6, ① ∴ 10a
1
=a
1
2
+5a
1
+6,解之得a
1
=2或a
1
=3.
又10S
n

1
=a
n

1
2
+5a
n

1
+ 6(n≥2),②
由①-②得 10a
n
=(a
n
2
-a
n

1
2
)+6(a
n
-a
n

1
),即(a
n
+a
n

1
)(a< br>n
-a
n

1
-5)=0
∵a
n
+a
n

1
>0 , ∴a
n
-a
n

1
=5 (n≥2).
当a
1
=3时,a
3
=13,a
15
=73. a
1
, a
3
,a
15
不成等比数列∴a
1
≠3;
当a
1
=2时,a
3
=12, a
15
=72, 有a
3
2
=a
1
a
15
, ∴a
1
=2, ∴a
n
=5n-3.
附加题 解: 引入字母,转化为递归数列模型.
设第n次去健身房的人数为a
n
,去娱乐室的人数 为b
n
,则
a
n
?b
n
?150
. ?a
n
?
929277
a
n?1
?b
n?1< br>?a
n?1
?(150?a
n?1
)?a
n?1
?3 0即a
n
?a
n?1
?30
.
1
7
7< br>(a
n?1
?100)
,于是
a
n
?100?(a< br>1
?100)()
n?1

10
10
10
?a
n
?100?
即 < br>a
n
?100?(
7
)
n?1
?(a
1?100)
.
?lima
n
?100
.故随着时间的推移,去 健身房的人数稳定在100人左右.
n??
4.解:(Ⅰ)由
a
n?1?2S
n
?1
可得
a
n
?2S
n?1
?1
?
n?2
?
,两式相减得
a
n?1
?a
n
?2a
n
,a
n?1
?3a
n
?
n? 2
?


a
2
?2S
1
?1?3

a
2
?3a
1


?
a
n
?
是首项为
1
,公比为
3
得等比数列
n?1

a
n
?3

20



(Ⅱ)设
?
b
n
?
的公差为
d


T
3
?15
得,可得
b
1
?b
2
?b
3
?15
,可得
b
2
?5

故可设
b
1
?5?d,b
3
?5?d


a
1
?1,a
2
?3,a
3
?9

由题意可得
?
5?d?1
??
5?d?9
?
?
?
5?3
?
2

解得
d
1
?2,d
2
?10

∵等差数列
?
b
n
?
的各项为正,∴
d?0


d?2


T
n
?
n?1
?< br>n
?3n?
2
?2?n
2
?2n



21

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