函数的奇偶性与周期性知识点与题型归纳

●高考明方向
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．
2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．
3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简
单函数的周期性.

★备考知考情
1.对函数奇偶性的考查，主要涉及函数奇偶性的判断，利
用奇偶函数 图象的特点解决相关问题，利用函数奇偶性求
函数值，根据函数奇偶性求参数值等．
2.常与函数的求值及其图象、单调性、对称性、零点等知
识交汇命题．
3.多以选择题、填空题的形式出现.

一、知识梳理《名师一号》P18
注意：
研究函数奇偶性必须先求函数的定义域
知识点一 函数的奇偶性的概念与图象特征
1.一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，
都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．
2.一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，
都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．
1

3.奇函数的图象关于原点对称；
偶函数的图象关于y轴对称.

知识点二 奇函数、偶函数的性质
1.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，
偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．
2. 若f(x)是奇函数，且在x＝0处有定义，则
f(0)?0
.
3. 若f(x)为偶函数，则
f(x)?f(?x)?f(|x|)
.
《名师一号》P19 问题探究 问题1
奇函数与偶函数的定义域有什么特点？
(1)判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于
原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇 偶性的一个
必要条件．
(2)判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的
每一个x， 均有f(－x)＝－f(x)、f(－x)＝f(x)，
而不能说存在x
0
使f(－x
0
)＝－f(x
0
)、f(－x
0
)＝f(x
0
)．

(补充)
1、若奇函数
f(x)< br>的定义域包含
0
，则
f(0)?0
．
f(0)?0
是
f(x)
为奇函数的
既不充分也不必要条件
2．判断函数的奇偶性的方法
（1）定义法：
1)首先要研究函数的定义域，
2

2)其次要考虑
f
?
x
?
与
f
?
?x
?
的关系，
也可以用定义的等价形式：

f(x)?f(?x)?0
（对数型函数用），
f(x)
．
??1
（指数型函数用）
f(?x)
3)分段函数应分段讨论
（2）图象法：利用奇偶函数图象的对称性来判断．
（3）复合函数奇偶性的判断
若复合函数由若干个函数复合而成，则复合函数可依
若干个函数的奇偶性而定，概括为
“同奇为奇，一偶则偶”．
注意：证明函数的奇偶性的方法只有定义法

知识点三 函数的周期性
1.周期函数：
对于函数y＝f(x)，如果存 在一个非零常数T，使得当
x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就
称函数y＝f(x)为周期函数，称非零常数T为这个函数的
周期．
2．最小正周期：
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正
数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期．
并不是任何周期函数都有最小正周期，
如常量函数
f(x)?a(x?R)
；
3

3.几个重要的推论
（1）《名师一号》P19 问题探究 问题3
若函数
f(x)
恒满足
f(x?a)??f(x)
(a?0)
，
f(x)
恒满足
f(x?a)?
1
(a?0)
，
f(x)
则
f(x)
是周期函数，
2a
是它的一个周期；
若函数
则
f(x)
是周期函数，
2a
是它的一个周期； < br>若函数
f(x)
恒满足
f(x?a)??
1
(a?0)
，
f(x)
则
f(x)
是周期函数，
2a
是它的一个周期；

(补充)若函数
f(x)
恒满足
f(x?a)?f(x?b)
，
则
f(x)
是周期函数，
a?b
是它的一个周期；
（2）(补充)注意区分：
若
f(a?x)?f(a?x)
（或
f(x)?f(2a?x)
）
则函数
f(x)
关于
x
若
f(x)??f(2a?x)
则函数
f(x)
关于点
推广：若函数
?a
对称。
?
a,0
?
对称。
f(x)
恒满足
f(a?x)?f(b?x)

a?b
则
f(x)
图象的对称轴为
x?
。
2
4

（3）(补充)
已知奇函数
f
?
x
?
的图象关于直线
x?a
对称，
则
f
?
x
?
是周期函数，且
4a
为其中的一个周期
若偶函数
f
?
x
?
的图象关于直线
x?a
对称，
则
f
?
x
?
是周期函数，且
2a
为其中的一个周期

二、例题分析：
（一）证明（判断）函数的奇偶性
例1. (补充)
判断下列函数的奇偶性．
2＋x
(1)f(x)＝(2－x).
2－x

?
x＋2 x<－1
(2)f(x)＝
?
0 |x|≤1
?
－x＋2 x>1
(3)f(x)＝

.
11
＋ (a>0且a≠1)
a
x
－1
2


解析：
2＋x
(1)由
≥0得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，
2－x
故f(x)为非奇非偶函数．
5

(2)x<－1时，－x>1，∴f(－x)＝－(－x)＋2＝x＋2＝f(x)．
x>1时，－x<－1，f(－x)＝－x＋2＝f(x)．
－1≤x≤1时，f(x)＝0，－1≤－x≤1，
f(－x)＝0＝f(x)．
∴对定义域内的每个x都有f(－x)＝f(x)．
因此f(x)是偶函数．
(3)∵f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，
其定义域关于原点对称，并且有
f(－x)＝
1111a
x
1
a
－
x
－1
＋
2
＝
1
＋
2
＝
1－a
x
＋
2

a
x
－1
1－a
x
＝－
－1
1－a
x
＋
1
2
＝－1＋
11
1－a
x
＋
2

＝－
?
?
11< br>?
?
a
x
－1
＋
2
?
?
＝ －f(x)．
即f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
)
函数
y?
9?x
2
(4)(
补充
|x?4|?|x?3|
的图 象关于

（

A
．
x
轴对称
B
．
y
轴对称

C
．原点对称
D
．直线
x?y?0
对称



答案：B



）

6

注意：(补充)
1.如何判断函数奇偶性：
第一，求函数定义域，看函数的定义域是否关于原点
对称 ，若不对称，则该函数为非奇非偶函数．
第二，若定义域关于原点对称，函数表达式能化简的，
则对函数进行适当的化简，以便于判断，化简时要保持定
义域不改变；
第三，利用定义进行等价变形判断．
第四，分段函数应分段讨论，要注意据x的范围取相
应的函数表达式或利用图象判断．
2．分段函数(2)判断奇偶性画图判断更方便直观．
(3)验证f(－x)＋f(x)＝0更方便些．


温故知新P13 知识辨析2（1）（2）
(1)
f(x)?log
2
x?x
2
?1

既不是奇函数也不是偶函数（ ）
(2)
f(x)?
?
x?1
?
1?x
是偶函数（ ）
1?x
?
?

答案：（1）奇函数（2）非奇非偶

注意：
1、关注定义域
2、利用函数奇偶性定义的等价形式：
7

f(x)?f(?x)?0
（对数型函数用），

f(x)
f(?x)
??1
（指数型函数用）

练习：(补充)判断下列函数的奇偶性．
(1)
f(x)?
lg
?
1?x
2
?
x?2?2

(2)
f(x)?
?
?
?
x
2
?x?
x?0
?
?
?
x
2
?x
?
x?0
?

(3)
f(x)?3?x
2
?x
2
?3

(4)
f(x)?x
2
?x?a?2

f(x)?
2
x< br>(5)
?1
2
x
?1


答案：（1）奇 （2）偶 （3）既奇又偶
（4）
a?0
偶；
a?0
非奇非偶
f(a)?f
?< br>?a
?
f(a)?f
?
?a
?
?0

注意：否定函数奇偶性：
只须说明在定义域
D
中，
?x0
?D
，使
f(?x
0
)??f
?
x
0
?

(5)证明：函数
f
?
x
?
的定义域为R，
8

2
x
?12
且
f(x)?
x
，所以
?1?
x
2?12?1
2222
f(?x)?f(x)?(1??x
)?(1?
x
)?2?(
x
?
?x
)
2?12?12?12?1
22?2
x
2(2
x
?1)
?2?(
x
?)?2?
x
?2?2?0
.
2?12
x
?12?1
即
f(?x)??f(x)
，所以
f(x)
是奇函数.


（二）函数奇偶性的应用
1、已知函数奇偶性，求值
例1.（1）《名师一号》P19 对点自测 4（2）
1
已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x
2
＋
x
，
则f(－1)＝－2.( )

例1.（2）(补充)已知函数
f(x)?lg
1?x
，
1?x
1
f(a)?
若，则
f(?a)
等于（ ）
2
1
1
A． B.
?
C.
2
D.
?2

2
2



9

答案：B

注意：(补充)
（1） 一般关于
f(a)
与
f(?a)
的值或关系的问题
首先考虑奇偶性。
（2） 已知函数的奇偶性注意利用

f
?< br>x
?
与
f
?
?x
?
的关系
温故知新P23 第3题
（2013辽宁）已知函数
f(x)?log
2< br>?
1?9x
2
?3x?1
，
?
1
则
f(lg2)?f(lg)?

2
《名师一号》P19 变式思考1（2）
x
2
?x?1
2
，若
，
则
f
?
?a
?
?


f(x)?
fa?
??
2
x?1
3

练习:(补充)
已知
f(x)?ax
7
?bx
5
?cx
3
?dx?5
，其中
a,b,c,d
为常数，
若f(?7)??7
，则
f(7)?
_______
答案：
17




10

2、已知函数奇偶性，求参数的值或取值范围
例1.《名师一号》P19 对点自测 3
已知f(x)＝ax
2
＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数 ，
那么a＋b的值是( )
1111
A．－ B. C. D．－
3322




解析 依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，
11
∴b＝0且a＝，则a＋b＝.
33

例2.《名师一号》P20 特色专题 典例（1）
k－2
x
若函数f(x)＝在定义域上为奇函数，则实数k＝___.
1＋k·2
x





k－2
－
x
k·2
x
－1
【规范解答】 ∵f(－x)＝＝，
1＋k·2
－
x
2
x
＋k
∴f(－x)＋f(x)
k－2
x
2
x
＋k＋k·2
x
－1·1＋k·2< br>x
＝
1＋k·2
x
2
x
＋k
11

k
2
－12
2x
＋1
＝.
1＋k ·2
x
2
x
＋k
由f(－x)＋f(x)＝0可得k
2＝1，∴k＝±1.


注意：本例易忽视函数f(x)的定义域，
直接通过计算f(0)＝0得k＝1.

注意：
1、利用函数奇偶性的定义：f
?
x
?
与
f
?
?x
?
的关 系，
也可以用定义的等价形式：

f(x)?f(?x)?0
（对数型函数用），
f(x)

??1
（指数型函数用）
f(?x)
2、利用特殊值
f(a)
与
f(?a)
的关系
得到关于待求参数的方程（组）求得参数
再利用奇偶性的定义证明

切记:若奇函数
f(x)
的定义域包含
0
，则
f(0)?0
．

f(0)?0
是
f(x)
为奇函数的既不充分也不必要条件

练习:(补充)
1、已知
f(x)?ax?bx?3a?b
是偶函数，定义域为
12
2

[a?1,2a]
.则
a?
，
b?


解：函数是偶函数，所以定义域关于原点对称.
∴
a?1??2a?a?
1
3
，
b?0


2、设函数f(x)＝
?x＋1??x＋a?
x
为奇函数，则a＝__


分析：∵f(x)为奇函数，定义域为{x|x∈R且x≠0}，
故对 ?x∈R且x≠0有f(－x)＝－f(x)，
从而可取某个特殊值(例如x＝1)求解
解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，
∴a＝－1.
须检验!
法二:由定义求解
对?x∈R且x≠0有f(－x)＝－f(x)恒成立

答案：－1
3.定义在
(?1,1)
上的奇函数
f(x)?
x?m
x
2
?nx?1
，
则常数
m?
____,
n?
_____。


13

答案：
m?0
；
n?0
.

3、已知函数奇偶性，求解析式
例1. 《名师一号》P20 变式思考2（2）
已知函数
y?f(x)
在R是奇函数，且当
x?0
时，
f(x)?x
2
?x
，则
f(x)
的解析式为________



?
?x
2
?x,x?0
?
答案：f(x)?
?
0,x?0

?
x
2
?x,x?0
?

例2．(补充)
?
1
?
设f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，若f(x)－g(x)＝
?
2
?
x
，
??
比较f(1)、g(0)、g(－2)的大小________．




分析：奇偶性讨论的就是f(－x)与f(x)的关系，如果
题目中涉及 x与－x的函数值之间的关系，一般考虑用奇
14

偶性解决．如果告诉了函数的奇偶性，应从f(－x)＝±f(x)
入手．
解析：∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，
∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)．
∴f(－x)－g(－x)＝
?
?
1
?
2
?
?
?
－
x
，即－f(x)－g(x)＝2
x
.
x
－
?＝
－2
x
f?x
∴
?
?
?
f?x?－g?x?＝2
x< br>2
?
?
－f?x?－g?x?＝2
x

?
2
－
，∴
?
?
x
－
x
g?x?＝－
2
＋2
2


∴f(1)＝－
3
4
，g( 0)＝－1，g(－2)＝－
17
8
，
∴g(－2)注意：
已知函数的奇偶性注意利用
f
?
x
?
与
f
?
?x
?
的关系
计时双基练P220 培优3
（三）抽象函数奇偶性
例1. (补充)若函数
f(x)
是定义在
R
上的奇函数，
则函数
F(x)?f(x)?f(x)
的图象关于（ ）
A.
x
轴对称 B.
y
轴对称
C.原点对称 D.以上均不对

15

答案：B

注意：
抽象函数奇偶性应立足定义，
即从考虑
f
?
x< br>?
与
f
?
?x
?
的关系入手

例2. (补充) 定义在R上的函数y＝f(x)，
对任意实数x
1
、x
2
都有f(x
1
＋x
2
)＝f(x
1
)＋ f(x
2
)，
判断函数y＝f(x)的奇偶性，并证明．




解析：令x
1
＝x
2
＝0得，f(0)＝f(0)＋f(0)，
∴f(0)＝0.
令x
1
＝x，x
2
＝－x得，f(0)＝f(x)＋f(－x)
∴f(－x)＋f(x)＝0，∴f(x)是奇函数．
注意：(补充)
抽象函数奇偶性、单调性判断（证明）均立足定义
1、抽象函数奇偶性判断（证明）
赋值法，从考虑
f
?
x
?
与
f
?
?x< br>?
的关系入手
2、抽象函数的单调性判断（证明）
赋值法，在指定区间内任取
x
1
?x
2
，
从考虑
f(x
1
)、f(x
2
)
的大小关系入手
16

3、解决抽象函数时常可参照具体的模型函数来发现其性质
或 寻找思路，但绝对不能以具体的特殊函数来代替抽象的
一般函数进行推理
抽象函数关系式 相应的模型函数
f(x)?kx

f(x?y)?f(x)?f(y)

f(x?y)?f(x)?f(y)

f(x)?a
x
(a?0,a?1)

f(xy)?f(x)?f(y)

f(x)?log
a
x(a?0,a?1)

x
f()?f(x)?f(y)

y
f(x?y)?f(x?y)? 2f(x)f(y)
f(x)?log
a
x(a?0,a?1)

f(x)?cosx

f(x)?x
n

f(x)?tanx


f(xy)?f(x)?f(y)

f(x?y)?
f(x)?f(y)
1?f(x)f(y)




练习：(补充)
1、已知函数f(x)，当x、y∈R时，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)如果x>0时，f(x)<0，并且f(1)＝－2，
试求f(x)在区间[－2,6]上的最值．
17
1

解析：(1)证明：∵函数定义域为R，
∴在f(x＋y)＝f(x)＋f(y)中令y＝－x得，
∴f(0)＝f(x)＋f(－x)．令x＝0，
∴f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(2)解：设x
1
2
，且x< br>1
、x
2
∈R.
则f(x
2
－x
1
)＝f[x
2
＋(－x
1
)]＝f(x
2
)＋f(－x< br>1
)
＝f(x
2
)－f(x
1
)．
∵x
2
－x
1
>0，∴f(x
2
－x
1
)<0 .∴f(x
2
)－f(x
1
)<0.
即f(x)在R上单调递减．
从而f(x)在[－2,6]上为减函数．
∴f(－2)为最大值，f(6)为最小值．
∵f(1)＝－2，∴f(2)＝f(1)＋f(1)＝－1，
∴f(－2)＝－f(2)＝1，
f(6)＝2f(3)＝2[f(1)＋f(2)]＝－3.
∴所求f(x)在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.

2、已知函数y＝f(x)对任意x、y∈R，均有
f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－
(1)判断并证明f(x)在R上的单调性；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最值．

18
1
2
.
3

解析：(1)f(x)在R上是单调递减函数
证明如下：
令x＝y＝0，∴f(0)＝0，令y＝－x可得：
f(－x)＝－f(x)，
在 R上任取x
1
、x
2
且x
1
2
，则x
2
－x
1
>0，
∴f(x
2
)－f(x
1
)＝f(x
2
)＋f(－x
1
)＝f(x
2
－x
1
)．
又∵x>0时，f(x)<0，
∴f(x
2
－x
1
)<0，即f(x
2
)1
)．
由定义可知f(x)在R上为单调递减函数．
(2)∵f(x)在R上是减函数，
∴f(x)在[－3,3]上也是减函数．∴f(－3)最大，f(3)最小．
f(3)＝f(2)＋f(1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)
＝3×＝－2.
∴f(－3)＝－f(3)＝2.
即f(x)在[－3,3]上最大值为2，最小值为－2.

2
3
（四）函数的周期性
例1.《名师一号》P19 对点自测 5
?
3
?
已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f< br>?
x＋
2
?
，且
??
f(1)＝2，则f(2 014)＝________.


19

?
3
?
解析 ∵f(x)＝－f
?
x＋
2
?
，
??
??
3
?
3
?
?
3
?
x＋
?
＋?
＝－f
?
x＋
?
＝f(x)． ∴f(x＋3)＝f
?
?
?
2
?
?
?
2
?2
?
∴f(x)是以3为周期的周期函数．
则f(2 014)＝f(671×3＋1)＝f(1)＝2.

（五）函数奇偶性、单调性、周期性的综合应用
例1. (补充)
定义在R上的偶 函数f(x)满足：对任意的x
1
，x
2
∈(－∞，
f?x
2
?－f?x
1
?
0](x
1
≠x
2
)， 有>0.则f(－2)，f(1)，f(3)从小到大
x
2
－x
1
的 顺序是________．



f?x
2
?－f?x< br>1
?
解析：由>0知f(x)在(－∞，0]上单调递增，
x
2
－x
1
又f(x)是偶函数，
故f(x)在(0，＋∞]上单调递减，
∵3>2>1>0，∴f(3)又f(x)为偶函数，∴f(3) 20

注意：
(1)函数单调性的等价形式
f?x
2
?－f?x
1
?
>0（或
(x
2
－x
1
)(f(x
2
)－f(x
1
))>0）
x
2
－x
1
等价于f(x)单调递增
f?x
2
?－f?x
1
?
<0（或
(x
2
－x
1
)(f(x
2
)－f(x
1
))<0）
x
2
－x
1
等价于f(x)单调递减
(2)关于原点对称的两个区间上，
奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反


例2.《名师一号》P19 高频考点 例2（2）
(2014· 新课标全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上
单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0 ，则x的取值范围是
________．




因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)＝f(|x|)，
故不等式f(x－1)>0可化为f(|x－1|)>0.
因为f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且f(2)＝0，
所以|x－1|<2，即－2所以x的取值范围是(－1,3)．
21

注意：(补充)
(1)解含函数记号“f”的不等式(抽象函数不等式)，
一般都是利用函数的单调性．
(2)关于原点对称的两个区间上，
奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反，
提到奇偶性，通常要分类讨论．
(3)注意函数定义域对
x
的限制．
（4）
f(x)
为偶函数
?f(x)?f(?x)?f(|x|)


温故知新P23 第5题

（2013天津）已知函数
f
?
x
?
是定义在R上的偶函数，
且在区间
?
0,??
?
上单调递增，若实数
a
满足
2
f(log
2
x)?f(log
1
x)?2f
?
1
?
，则实数
a
的取值范围是

?
1
?
答案：
,2
?

?
?
2
?


练习：
1、函数y＝f(x)(x≠0)是奇函数，且当x∈(0，＋∞)时是
22

1
增函数，若f(1)＝0，求不等式f[x(x－)]<0的解集．
2


1
解析：f(1)＝0，不等式可转化为f[x(x－)]2
1
∵f(x)在(0，＋∞)上递增，∴0)<1，
2
1＋171－17
1
∴
或
244
又因为f(x)是奇函数，它在关于原点对称的两个区间
上的单调性相同，且f( －1)＝－f(1)＝0，
1
于是得f[x(x－
)]2
1
即有x(x－
)<－1，∴x∈?.
2
∴原不等式的解集是
1＋171－17
1
{x|或
244

变式：(补充)
函数
f(x)(x?0)
是偶函 数，且当
x?
?
0,??
?
时是增函数，
若
f(1 )?0
，求不等式
f
?
x
?
x?

??
?
?
1
?
?
?
?
?0
的解 集。
2
?
?
23

?
1?17
?
?
1?17
?
答案：
?
x?x??

44
??
??


2、已知f(x)(x ∈R)为奇函数，f(2)＝1，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，
则f(3)等于( )
13
A. B．1 C. D．2
22



[答案] C
[分析] 为求f(3)先求f(1)，为求f(1)先 在f(x＋2)＝f(x)
＋f(2)中，令x＝－1，利用f(x)为奇函数，可解出f(1)．
[解析] 令x＝－1得f(1)＝f(－1)＋f(2)＝f(2)－f(1)，
113< br>∴f(1)＝
f(2)＝
，∴f(3)＝f(1)＋f(2)＝
.
222
[点评] 解答此类题目，一般先看给出的值和待求值
之间可以通过条件式怎样 赋值才能产生联系，赋值时同时
兼顾奇偶性或周期性的运用.

24

（4月30日，15班讲至此）

例3.《名师一号》P20 高频考点 例3）
已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图
象关于x ＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2
x
－1.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的解析式；
(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 013)的值．



(1)证明：函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，函数
f(x)的 图象关于x＝1对称，则f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，
所以f(4＋x)＝f[(2＋x) ＋2]＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是
以4为周期的周期函数．
(2)当x∈ [1,2]时，2－x∈[0,1]，又f(x)的图象关于x
－
＝1对称，则f(x)＝f( 2－x)＝2
2x
－1，x∈[1,2]．
(3)∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，
f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，
又f(x)是以4为周期的周期函数．
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 013)＝f(2 012)＋f(2 013)
＝f(0)＋f(1)＝1.



25

注意：(补充)
（1）若
f(a?x)?f(a?x)< br>（或
f(x)?f(2a?x)
）
则函数
f(x)
关于x
若
f(x)??f(2a?x)

则函数
f(x)
关于点
推广：若函数
?a
对称。
?
a,0
?
对称。
f(x)
恒满足
f(a?x)?f(b?x)

a?b
则
f(x)
图象的对称轴为
x?
。
2（2）已知奇函数
f
?
x
?
的图象关于直线
x?a对称，
则
f
?
x
?
是周期函数，且
4a
为其中的一个周期
若偶函数
f
?
x
?
的图象关于直线
x?a
对称，
则
f
?
x
?
是周期函数，且
2a
为其中的一个周期

温故知新 P14 第6、10题

练习：
(补充)
1、已知定义在
R
上的奇函数
f
?
x
?
的图象关 于直线
x?1
对称，并且当
x?
?
0,1
时,
f
?
x
?
?x?1

2
?
则
f(462)?
_____
26

[答案]
0

[解析]
f
?
x
?
是奇函数故
f
?
? x
?
??f
?
x
?

f
?
x?
的图象关于直线
x?1
对称故
f
?
2?x
?
?f
?
x
?

f
?
2?x
??f
?
?x
?
??f
?
x
?
f
?
4?x
?
?f
?
x
?

f(462)?f(115?4?2)?f
?
2
?

f?
2?x
?
?f
?
x
?
故
f
?
2
?
?f
?
0
?
?0


2、设
f
?
x
?
是定义在
R
上的奇函数，
1
对称，
2
则
f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?f(5)?
_____
且
y?f(x)
的图象关于直线
x?


答案：0
3、设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒
有f(x＋2)＝－f(x)．当 x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x
2
.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；
27

(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)．


分析：由f(x＋2)＝－f(x)可得f(x＋4)与f(x)关系，由
f(x) 为奇函数及在(0,2]上解析式可求f(x)在[－2,0]上的解
析式，进而可得f(x)在[2, 4]上的解析式．
解析：(1)∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．
∴f(x)是周期为4的周期函数．
(2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得
f(－x)＝2(－x)－(－x)
2
＝－2x－x
2
，
又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x
2
，
∴f(x)＝x
2
＋2x.
又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，
∴f(x－4)＝(x－4)
2
＋2(x－4)＝x
2
－6x＋8.
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(x)＝f(x－4)＝x
2
－6x＋8.
从而求得x∈[2,4]时，
f(x)＝x
2
－6x＋8.
(3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1.
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4) ＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…
＝f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＋f(20 11)＝0.
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)＝0.

28

例4. (补充) 温故知新 P13 第2题
f(x)是定义在R上 的以3为周期的奇函数，且f(2)＝0，
则方程f(x)＝0在区间(0,6)内的解最少有( )
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个




解析：∵f(x)是定义在R上以3为周期的奇函数，
∴f(5)＝f(2)＝0，f(－1)＝f(2)＝0，f(－1)＝－f(1)，
∴f(1)＝0，f(4)＝f(1)＝0，
又f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，
∴f(3)＝f(0)＝0，
∵f(1.5)＝f(1.5－3)＝f(－1.5)＝－f(1.5)，
∴f(1.5)＝0，从而f(4.5)＝0，
∴f(1)＝f(1.5)＝f(2)＝f(3)＝f(4)＝f(4.5)＝f(5)＝0.
答案：D


练习：
f(x)是定义在R上的以3为周 期的偶函数，且f(2)＝0，
则方程f(x)＝0在区间(0,6)内解的个数至少是( )
A．1 B．4 C．3 D．2
29

[答案] B
[解析] 由f(2)＝0，得f(5)＝0，
∴f(－2)＝0，f(－5)＝0.
∴f(－2)＝f(－2＋3)＝f(1)＝0，
f(－5)＝f(－5＋9)＝f(4)＝0，
故f(x)＝0在区间(0,6)内的解至少有1,2,4,5四个．

练习.已知 定义在
R
上的奇函数
f
?
x
?
的图象关于直线x?1
对称，并且当
x?
?
0,1
?
时，
f( x)?x
2
?1

（1）当
x?
?
?1,0
?
时，求
f
?
x
?
的表达式；
（2）证明
f
?
x
?
是周期函数，并且求出它的一个周期；
（3）当
x?
?
4,5
?
时，求
f
?x
?
。

2
答案：（1）当
x??1,0
?
时
f(x)??x?1

?
（2）
f
?
x
?
是周期为
4
的周期函数
（3）当
x?
?
4,5
时
f(x)?
?
x?4
?
?1



例5. (补充)
30
?
2

已 知二次函数
f(x)
有两个零点
0
和
?2
，且
f( x)
最小值是
?1
，函数
g
?
x
?
与f(x)
的图象关于原点对称；
（1）求
f(x)
和
g
?
x
?
的解析式；
（2）若
h(x)?f
?
x
?
?
?
g
?
x
?
在区间
?
?1,1
?
上是增函数，
求实数
?
的取值范围。



解： (1) 依题意 设
f
?
x
?
?ax(x?2)?ax
2
?2ax (a?0)


f(x)
图象的对称轴是
x??1

?f
?
?1
?
??1
即
a?2a??1
得
a?1


?f
?
x
?
?x
2
?2x

由函数
g
?
x
?
的图象与
f
?
x
?
的图象关于原点对称

? g(x)??f(?x)??x
2
?2x

（2）由（1）得
h(x)?x
2
?2x?
?
(?x
2
?2x)?(
?
?1)x
2
?2(1?
?
)x

①当
?
??1
时，
h(x)?4x
满足在区间
[?1,1]
上是增函数
?
?1
②当
?
??1
时，
h(x)
图象对称轴是
x?

?
?1
?
?1
则
?1
，又
?
??1
解得
?
??1

?
?1
?
?1
③当
?
??1
时，同理 则需
??1
又
?
??1

?
?1
31

解得
?1?
?
?0

综上满足条件的实数
?
的取值范围是
(??,0]


注意：(补充) 两个不同函数图像之间的对称问题-----
已知函数
y?f(x)
解析式, 且
y?f(x)
图像与
y?g( x)
图像关于直线
x?a
(或点
?
a,b
?
)对称 ,
求
y?g(x)
解析式,则运用解析几何中
求轨迹方程的动点转移法求解即可

练习：
已知函数
f(x)
的图象与
h(x)?x?
关于点
A
?
0,1
?对称；
（1）求
f(x)
的解析式；
（2）若
g(x)?f
?
x
?
?



答案：
f
?
x
?
?x?

1
?2
的图象
x
a
且
g(x)
在区间< br>?
0,2
?
上的值
x
不小于
6
，求实数a
的取值范围。
1

x
32

课后作业
一、 计时双基练P219基础1-10
课本P18-19变式思考1、2；
二、 计时双基练P220基础11、培优1-4
课本P20变式思考3；对应训练1、2
复习 迎接期中考试
预习 第二章 第六节 指数与指数函数
33