圆锥曲线的定义方程和性质知识点总结

椭圆的定义、性质及标准方程
1. 椭圆的定义：
⑴第一定义：平面内与两 个定点
F
1
、F
2
的距离之和等于常数（大于
F
1
F
2
）的点的轨迹叫
做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做 椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点
M
到定点
F
的距离和它到定直线< br>l
的距离之比等于常数
e(0?e?1)
，
则动点
M
的轨迹叫做椭圆。
定点
F
是椭圆的焦点，定直线
l
叫做椭圆的准线 ，常数
e
叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数
2a
等于
2 c
，则动点轨迹是线段
F
1
F
2
。
②若常数
2a
小于
2c
，则动点轨迹不存在。
2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：
标准方程
x
2
y
2
?
2
?1(a?b?0)
中
2
ab
心在原点，焦点在
x
轴上

y
2
x
2
??1(a?b?0)

a
2
b
2
中心在原点，焦点在
y
轴上
图形


范围
顶点

x?a，y?b

A
1
?
?a，0
?
、A
2
?
a，0
?
B
1
?
0，?b
?
、B
2
?
0，b
?

x?b，y?a
< br>A
1
?
0，?a
?
、A
2
?
0，a
?
B
1
?
?b，0
?
、B
2
?< br>b，0
?

x
轴、
y
轴；
对称轴
焦点
焦距
离心率
准线
长轴长
2a
，短轴长
2b
；
焦点在长轴上
x
轴、
y
轴；
长轴长
2a
，短轴长
2b
；
焦点在长轴上
F< br>1
?
?c，0
?
、F
2
?
c，0
?

F
1
F
2
?2c(c?0)

e?
c
(0?e?1)

a
a
2
x??

c
F
1
?
0，?c
?
、F
2
?
0，c
?

F
1
F
2
?2c(c?0)

e?
c
(0?e?1)

a
a
2
y??

c
参数方程
与普通方
程
x
2
y
2
??1
的参数方程为
a
2b
2
?
x?acos
?
?
为参数
?

?
?
?
y?bsin
?
y
2
x
2
??1
的参数方程为
a
2
b
2
?
y?a cos
?
?
为参数
?

?
?
?
x?bsin
?

3. 焦半径公式：
椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
焦半径公式：椭圆焦点在< br>x
轴上时，设
F
1
、F
2
分别是椭圆的左、右焦点，
P
?
x
0
，y
0
?
是
椭圆上任一 点，则
PF
1
?a?ex
0
，
PF
2
?a ?ex
0
。
PF
1
推导过程：由第二定义得，
?e（
d
1
为点
P
到左准线的距离）
d
1
?
a
2
?
则
PF
1
?ed
1
?e
?
x
0
?
?
?ex
0
?a?a?ex0
；同理得
PF
2
?a?ex
0
。
c
??
简记为：左“＋”右“－”。
由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。

x
2
y
2
y
2
x
2
??1
；若焦点在
y
轴上，则为
2
?
2
?1
。有时为了运算方便，设
a
2
b
2
ab
mx
2
?ny
2
?1(m?0,m?n)
。



双曲线的定义、方程和性质
知识要点：
1． 定义
（1）第一定义：平面内到两定点F
1
、 F
2
的距离之差的绝对值等于定长2a（小于|F
1
F
2
| ）
的点的轨迹叫双曲线。
说明：
①||PF
1
|-|PF
2
||=2a（2a<|F
1
F
2
|）是双曲线；
若2 a=|F
1
F
2
|，轨迹是以F
1
、F
2
为端点的射线；2a>|F
1
F
2
|时无轨迹。
②设M是双曲线上 任意一点，若M点在双曲线右边一支上，则|MF
1
|>|MF
2
|，|MF
1
|-|MF
2
|=2a；
若M在双曲线的左支上，则|MF
1
|<|MF
2
|，|MF
1
|-|MF
2
|= -2a，故|MF
1
|-|MF
2
|=±2a，这是与椭
圆不同的地 方。
（2）第二定义：平面内动点到定点F的距离与到定直线L的距离之比是常数e（e>1）
的点的轨迹叫双曲线，定点叫焦点，定直线L叫相应的准线。

2． 双曲线的方程及几何性质
标准方程

x
2
a
2
?
y
2
b
2
?1(a?0,b?0)

y
2
a
2
?
x
2
b
2
?1(a?0,b?0 )

图形
焦点
顶点
对称轴
离心率
F
1
（-c，0），F
2
（c，0）
A
1
（a，0），A
2
（-a，0）
实轴2a，虚轴2 b，实轴在x轴上，
c
2
=a
2
+b
2










F
1
（0，-c），F
2
（0，c）
A
1
（0，a），A
2
（0，-a）
实轴2a，虚轴2b ，实轴在y轴上，
c
2
=a
2
+b
2

e?
c
|MF
2
|

?
a|MD|


2a
2
c
e?
c
|MF
2
|

?
a|MD|


2a
2
c
准线方程 < br>a
2
a
2
l
1
:x?,l:x??
c
2
c
a
2
a
2
l
1
:y?,l:y??
c
2
c
准线间距离为
渐近线方程
准线间距离为
xyxy
??0,??0

abab
xyxy
??0,??0

baba
3． 几个概念
（1）
（2）
等轴双曲线：实、虚轴相等的双曲线。等轴双曲线的渐近线为y=±x，离心率为
2
。
共轴双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫原双曲线的共轴
x
2
y
2
x
2
y
2
双曲线，例：
2
?
2
?1
的共轴双曲线是
2
?
2
??1
。
ab
ab
① 双曲线及其共轴双曲线有共同的渐近线。但有共同的渐近线的两双曲线， 不一定是共
轴双曲线；②双曲线和它的共轴双曲线的四个焦点在同一个圆周上。




抛物线标准方程与几何性质
一、抛物线定义的理解
平面内与 一个定点
F
和一条定直线
l
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点
F
为抛物
线的焦点，定直线
l
为抛物线的准线。
注：① 定义可归 结为“一动三定”：一个动点设为
M
；一定点
F
（即焦点）；一定直线
l
（即准线）；一定值1（即动点
M
到定点
F
的距离与它到定直线
l
的距离之比1）

② 定义中的隐含条件：焦点
F
不在准线
l
上。若
F
在
l
上，抛物线退化为过
F< br>且垂直于
l
的一条直线
③ 圆锥曲线的统一定义：平面内与一定点
F
和定直线
l
的距离之比为常数
e
的点的轨迹，
当
0 ?e?1
时，表示椭圆；当
e?1
时，表示双曲线；当
e?1
时，表 示抛物线。
④ 抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题中常将抛< br>物线上的动点到焦点距离（称焦半径）与动点到准线距离互化，与抛物线的定义联系起来，通
过这 种转化使问题简单化。

二、抛物线标准方程
1．抛物线标准方程建系特点：以抛 物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立直
角坐标系，这样使标准方程不仅具有对称性，而且曲 线过原点，方程不含常数项，形式更为简
单，便于应用。
2．四种标准方程的联系与区别：由 于选取坐标系时，该坐标轴有四种不同的方向，因此
抛物线的标准方程有四种不同的形式。抛物线标准方 程的四种形式为：
y
2
??2px
?
p?0
?
，< br>x
2
??2py
?
p?0
?
，其中：
① 参数
p
的几何意义：焦参数
p
是焦点到准线的距离，所以
p
恒为正值；
p
值越大，
张口越大；
p
等于焦点到抛物线顶点的距离。
2
②标准方程的特点：方程的左边是某变量的平方项，右边是另一变量的一次项，方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向，即对
称轴为
x
轴时，方程中的一次项变量就是
x
， 若
x
的一次项前符 号为正，则开口向右，若
x
的
一次项前符号为负，则开口向左；若对称轴为
y
轴时，方程中的一次项变量就是
y
， 当
y
的
一次项前符号 为正，则开口向上，若
y
的一次项前符号为负，则开口向下。

三、求抛物线标准方程
求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向， 正确地选择抛物线
标准方程.
① 待定系数法：因抛物线标准方程有四种形式，若能确定抛物 线的形式，需一个条件就
能解出待定系数
p
，因此要做到“先定位，再定值”。 注：当求顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线时，若不知开口方向，可设为
y
2
?ax
或
x
2
?ay
，这样可避免讨论。
② 抛物线轨迹 法：若由已知得抛物线是标准形式，可直接设其标准式；若不确定是否是
标准式，由已知条件可知曲线的 动点的规律，一般用轨迹法求之。


四、抛物线的简单几何性质
方程
性质
设抛物线
y?2px
?
p?0
?

2
焦点 范围 对称性 顶点
原点
离心率 准线 通径
?p
?
关于
x
F
?
,0
?

x?0

轴对称
?
2
?
e?1

x??
p

2
2p

注：① 焦点的非零坐标是一次项系数的
1
；
4
② 对于不同形式的抛物线，位置不 同，其性质也有所不同，应弄清它们的异同点，
数形结合，掌握方程与有关特征量，有关性质间的对应关 系，从整体上认识抛物线及其性质。

五、直线与抛物线有关问题
1．直线与抛物线的位置关系的判断：直线与抛物线方程联立方程组，消去
x
或
y化得形
如
ax?bx?c?0
（*）的式子：
① 当
a?0< br>时，（*）式方程只有一解，即直线与抛物线只有一个交点，此时直线与抛物
线不是相切，而是与 抛物线对称轴平行或重合；
② 当
a?0
时，若△＞0
?
（*）式 方程有两组不同的实数解
?
直线与抛物线相交；
若△=0
?
（*）式方程有两组相同的实数解
?
直线与抛物线相切；
若△＜0
?
（*）式方程无实数解
?
直线与抛物线相离.

2．直线与抛物线相交的弦长问题
① 弦长公式：设直线交抛物线于
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
，则
AB?1?k
AB
?x
A
?x
B

2
2
或
AB?1?
1
?y
A
?y
B
.
k
2
p
，抛物线
2
② 若直线与抛物线相交所得弦为焦点弦时,借助于焦半径公式处理：
抛物线
y
2
??2px
?
p?0
?
上一点
M
?
x
0
,y
0
?
的焦半径长是
MF??x
0
?
x
2
??2py
?
p?0
?
上一点
M
?x
0
,y
0
?
的焦半径长是
MF??y
0?

六、抛物线焦点弦的几个常用结论
p

2
设AB
为过抛物线
y
2
??2px
?
p?0
?< br>焦点的弦，设
A
?
x
1
,y
1
?
, B
?
x
2
,y
2
?
，直线
AB
的 倾斜
角为
?
，则
p
2
,y
1
y
2
??p
2
； ①
x
1
x
2
?
4
2p
②
AB?
?x
1
?x
2
?p
；
sin
2
?
③以
AB
为直径的圆与准线相切；
④弦两端点与顶点所成三角形的面积
S
?AOB
⑤
p
2
?
；
2sin
?
112
??
；
FAFBp
⑥ 焦点
F
对
A
、
B
在准线上射影的张角为90
0
；

七、抛物线有关注意事项
1．凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题 时要注意利用韦达定理，采用“设而
不求”或“点差法”等方法，能避免求交点坐标的复杂运算.同时在 解决直线与抛物线相交问
题时不能忽视
??0
这个条件。
2．解决与抛物线 的焦半径、焦点弦有关问题时，多从抛物线的定义出发，实现抛物线上
任一点到焦点的距离和这点到准线 的距离之间的相互转化，并应注意焦点弦的几何性质.