点线面之间的位置关系的知识点总结

高中空间点线面之间位置关系知识点总结
第二章直线与平面的位置关系
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1
1平面含义：平面是无限延展的
2平面的画法及表示
（1）平面的画法：水平放置 的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成45，且横边画成邻边的2
倍长（如图）
（2）平 面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对 的两个
顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。
3三个公理：
（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
符号表示为
A∈L
B∈L=>Lα
A∈α
B∈α
公理1作用：判断直线是否在平面内
（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A、B、C三点不共线=>有且只有一个平面α，
使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P∈α∩β=>α∩β=L，且P∈L
公理3作用：判定两个平面是否相交的依据
0
D
α
A B
C
A
α
·

L
α
·

C
·

·

A B
β
·

L
P
α
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
1空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
共面直线
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条直线
a∥b。
2公理4：平行于
c∥b
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
4注意点：
①a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为简便，点O一般取在两 直线中的一条上；
②两条异面直线所成的角θ∈(0，)；
③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；
④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
=>a∥c
?
2
2.1.3—2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内——有无数个公共点
（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点

（3）直线在平面平行——没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用aα来表示
aαa∩α=Aa∥α
2.2.直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：
aα
bβ=>a∥α
a∥b
2.2.2平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
符号表示：
aβ
bβ
a∩b=Pβ∥α
a∥α
b∥α
2、判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义；
（2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3—
1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行则线线平行。
符号表示：
a∥α
aβa∥b
α∩β=b
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号表示：
α∥β
α∩γ=aa∥b
β∩γ=b
作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
1、定义
如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直， 记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，
平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一 公共点P叫做垂足。
L
p
α
2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭lβ
B
α
2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β
3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
2.3.3—2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
2性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
异面直线所 成的角是指经过空间任意一点作两条分别和异面的两条直线平行的
直线所成的锐角（或直角）.一般通过 平移后转化到三角形中求角，注意角的范
围.
[例1]在正方体ABCD-A
1B
1
C
1
D
1
中,O是底面ABCD的中心，M、N分 别是棱DD
1
、
D
1
C
1
的中点，则直线OM() .
A.是AC和MN的公垂线.B.垂直于AC但不垂直于MN.
C.垂直于MN，但不垂直于AC.D.与AC、MN都不垂直.
错解:B.
错因：学生观察能力较差，找不出三垂线定理中的射影.
正解：A.
[例2]如图 ，已知在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点，
是BC,CD上的点,且
B G
GC
G,H分别
一点.
?
DH
HC
?2
,求证:直线EG,FH,AC相交于
错解：证明：
?E
、F分别是AB,AD的中 点,
1
?EF
∥BD,EF=
2
BD,
BG
G C
又
?
DH
HC
1
?2
,
?
GH∥BD,GH=
3
BD,
?

?

四边形EFGH是梯形，设两腰EG,FH相交于一点T,
DH
HC
?2
,F分别是AD.
?
AC与FH交于一点.
?
直线EG,FH,AC相交于一点
正解：证明：
?E
、F分别是AB,AD的中点,
1
?EF
∥BD,EF=
2
BD,
又
BG
GC
?
DH
HC
?2
,

?

1
GH∥BD,GH=
3
BD,
?
四边形EFGH是梯形，设两腰EG,FH相交于一点T,
?EG?
平面ABC,FH
?
平面ACD,
?
T
?
面ABC,且T
?
面ACD,又平面ABC
?
平面ACD=AC,
?T?AC
,
?
直线EG,FH,AC相交于一点T.
[例3]在 立方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，
（1）找出平面AC的斜线BD
1
在平面AC内的射影；
（2）直线BD
1
和直线AC的位置关系如何？
（3）直线BD
1
和直线AC所成的角是多少度？
解：(1)连结BD,交AC于点 O
?DD
1
?平面AC,?BD就是斜线BD
1
在平面AC上的射影
.
(2)BD
1
和AC是异面直线.
(3)过O作BD
1
的平行线交DD
1
于点M，连结MA、MC，则∠MOA或其补角即为异面直线AC 和BD
1
所成的角.
不难得到MA＝MC，而O为AC的中点，因此MO⊥AC，即∠MOA＝90°，
∴异面直线BD
1
与AC所成的角为90°.
[例4]a和b为异面直线，则过a与b垂直的平面().
A．有且只有一个B．一个面或无数个
C．可能不存在D．可能有无数个
错解：A.
错因：过a与b垂直的平面条件不清.
正解：C.
[例5] 在正方体A
1
B
1
C
1
D
1
－ABCD中 ，E、F分别是棱AB、BC的中点，O是底面ABCD的中点．求证：EF垂直平面BB
1
O ．
证明?：如图,连接AC、BD，则O为AC和BD的交点．
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC．
∵B
1
B⊥平面ABCD,AC
?
平面ABCD
∴AC⊥B
1
B，由正方形ABCD知：AC⊥BO，
又BO与BB
1
是平面BB
1
O上的两条相交直线，
∴AC⊥平面BB
1
O(线面垂直判定定理)
∵AC∥EF，
∴EF⊥平面BB
1
O．
[例6]如图，在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，E是BB
1
的 中点，O是底面正方形ABCD的中心，求证：OE
?
平面ACD
1
．

分析：本题考查的是线面垂直的判定方法．根据线面垂直的判定方法，要证明OE
?
平面ACD
1
，只要在平面ACD
1
内找两条相交直线与OE垂直．
证明：连结B
1
D、A
!
D、BD，在△B
1
BD 中，
∵E,O分别是B
1
B和DB的中点，
∴EO∥B
1
D．
∵B
1
A
1
?
面AA
1
D
1
D，
∴DA
1
为DB
1
在面AA
1
D
1< br>D内的射影．
又∵AD
1
?
A
1
D，
∴AD
1
?
DB
1
．
同理可证B
1
D
?
D
1
C．
又∵AD
1
?CD
1
?D
1
，AD
1
,D
1C
?
面ACD
1
，
∴B
1
D
?
平面ACD
1
．
∵B
1
D∥OE，
∴OE
?
平面ACD
1
．
点?评：要证线面垂直可找线线垂直，这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方法．在证明线线垂 直时既
要注意三垂线定理及其逆定理的应用，也要注意有时是从数量关系方面找
垂直，即勾股定 理或余弦定理的应用．
[例7]．如图，正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,点N在BD上,点M在
求证:MN∥平面AA
1
B
1
B.
证明：
证法一.如图,作ME∥BC,交BB1
于E,作NF∥AD,交AB于F,连
AA
1
B
1
B .
EF则EF
?
平面
B
1
C上,且CM=DN,
?
ME
BC
?
BN
BD
?
NF
AD
,
?
ME=NF
又ME∥BC∥AD∥NF,
?
MEFN为平行四边形,
?
MN∥ EF.
?
MN∥平面AA
1
B
1
B.
证法二.如 图,连接并延长CN交BA延长线于点P,
连B
1
P,则B
1
P?
平面AA
1
B
1
B.
?

?ND C
∽
?NBP
,
?
DN
NB
?
CN
NP
.

又CM=DN,B
1
C=BD,
?
MB
1
CM
?
DN
NB
?
CN
NP
.

?MN
∥B
1
P.
?
B1
P
?
平面AA
1
B
1
B,
?
MN∥平面AA
1
B
1
B.
证法三.如图,作MP∥BB
1
,交BC于点P,连NP.
CM
?
MP∥BB
1
,
?
MB
?
1
CP
PB
.

?
BD=B
1
C,DN=CM,
?B
1
M?BN
.

?
NP∥CD∥AB.
?
面MNP∥面AA
1
B
1
B.
?
MN∥平面AA
1
B
1
B.
点、线、面之间的位置关系单元测试
第1题.下列命题正确的是（ ）
Ａ．经过三点确定一个平面
Ｂ．经过一条直线和一个点确定一个平面
Ｃ．四边形确定一个平面
Ｄ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
答案：Ｄ．
第2题.如图，空间四边形
ABCD
中，
E
，
F
，
G
，
H
分别
是
AB
，BC
，
CD
，
DA
的中点．
求证：四边形
EFGH
是平行四边形．
答案：证明：连接
BD
．
因为
EH
是
△ABD
的中位线，
1
BD
．
2
1
同理，
FG∥BD
，且
FG?BD
．
2
因为
EH∥FG
，且
EH?FG
．
所以四边形
EFGH
为平行四边形．
所以
EH∥BD
，且
EH?
第3题.如图，已知长方体
ABCD?A
?
B
?C
?
D
?
中，
AB?23
，
AD?23
，
AA
?
?2
．
（１）
BC
和
A?
C
?
所成的角是多少度？
（２）
AA
?
和
BC
?
所成的角是多少度？
答案：（１）
45
（２）
60?
；
?
．
第4题.下列命题中正确的个数是（ ）
①
若直线
l
上有无数个 点不在平面
?
内，则
l∥
?
．
②
若直线
l
与平面
?
平行，则
l
与平面
?
内的任意一条直线 都平行．
③
如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行． < /p>

④
若直线
l
与平面
?
平行，则
l与平面
?
内的任意一条直线都没有公共点．
A．
0
Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3
答案：Ｂ．
第5题.若直线
a
不平行于平面
?
，且
a?
?
，则下列结论成立的是（ ）
Ａ．
?
内的所有直线与
a
异面
Ｂ．
?
内不存在与
a
平行的直线
Ｃ．
?
内存在唯一的直线与
a
平行
Ｄ．
?
内的直线与
a
都相交
答案：Ｂ．
第6题 .已知
a
，
b
，
c
是三条直线，角
a∥b
，且
a
与
c
的夹角为
?
，那么
b
与
c
夹角为 ．
答案：
?
．
第7题.如图，
AA< br>?
是长方体的一条棱，这个长方体中与
AA
?
垂直的棱共 条．
答案：8条．
第8题.如果
a
，
b
是异面直线，直线c
与
a
，
b
都相交，那么这三条直线中的两条所确定的平面共有 个．
答案：2个．
第9题.已知两条相交直线
a
，
b
，
a∥
平面
?
则
b
与
?
的位置关系是 ．
答案：
b∥a
，或
b
与
a
相交．
第 10题.如图，三条直线两两平行且不共面，每两条确定一个平面，一共可以确定几个平面？如果三条直线相交< br>于一点，它们最多可以确定几个平面？
答案：3个，3个．
第11题.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：
①
BM
与
ED
平行．
②
CN
与
BE
是异面直线．
③
CN
与
BM
成
60?
角．
④
DM
与
BN
垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）
Ａ．
①
，
②
，
③

Ｃ．
③
，
④

Ｂ．
②
，
④

Ｄ．
②
，
③
，
④

答案：Ｃ．
第12题.下列命题中，正确的个数为（）
①两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行；
②平行移动两条异面直线中的任何一条，它们所成的角不变；
③过空间四边形
ABC D
的顶点
A
引
CD
的平行线段
AE
，则
? BAE
是异面直线
AB
与
CD
所成的角；
④四边相等，且四个角也相等的四边形是正方形
Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3
答案：Ｂ．
第13题.在空间四边形
ABCD
中，
N，
M
分别是
BC
，
AD
的中点，则
2MN与
AB?CD
的大小关系
是 ．答案：
2MN?AB?CD
．
第14题.已知
a，b
是一对异面 直线，且
a，b
成
70
角，
P
为空间一定点，则在过
P
点的直线中与
a，b
所成的
角都为
70
的直线有 条．
答案：
4
．
第15题.已知平面
?

?，
P
是平面
?
，
?
外的一点，过点
P
的直线
m
与平面
?
，
?
分别交于
A，C
两 点，过

点
P
的直线
n
与平面
?
，< br>?
分别交于
B，D
两点，若
PA?6，AC?9，PD?8
，
24
．
5
第16题.空间四边形
ABCD
中，
E
，
F
，
G
，
H
分别是
AB
，BC
，
CD
，
DA
的中点，若
AC?BD?a
，
则
BD
的长为 ．答案：
24或
且
AC
与
BD
所成的角为
90
，则四边形
EFGH
的面积是 ．
答案：
1
2
a
．
4
第17题.已知正方体< br>ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，
E
，
F
分别为
D
1
C
1
，
C
1
B
1
的中点，
ACBD?P
，
A
1
C
1
EF?Q
．求证：
（１）
D
，
B< br>，
F
，
E
四点共面；
（２）若
A
1
C
交平面
DBFE
于
R
点，则
P
，
Q< br>，
R
三点共线．
答案：证明：如图．
（１）
EF
是
△D
1
B
1
C
1
的中位线，
?EF∥B
1
D
1
．
在正方体
AC
1
中，
B
1
D
1
∥BD
，
?
EF∥BD
． ?EF
确定一个平面，即
D
，
B
，
F
，
E
四点共面．
（２）正方体
AC
1
中，设
A
1
ACC
1
确定的平面为
?
，又设平面
BDEF
为< br>?
．
Q?A
1
C
1
，
?Q?
?< br>．又
Q?EF
，
?Q?
?
．
则
Q
是
?
与
?
的公共点，
?
?
又
A
1
C
?
?PQ
．
?
?R
，
?R?A
1
C
．
?R?
?
，
且R?
?
，则
R?PQ
．
故
P
，
Q
，
R
三点共线．
第18题.已知下列四个命题：
① 很平的桌面是一个平面；
② 一个平面的面积可以是
4
m；
③ 平面是矩形或平行四边形；
④ 两个平面叠在一起比一个平面厚．
其中正确的命题有（ ）
Ａ．
0
个 Ｂ．
1
个 Ｃ．
2
个 Ｄ．
3
个
答案：Ａ．
第19题.给出下列命题：
和直线
a
都相交的两条直线在同一个平面内；
三条两两相交的直线在同一平面内；
有三个不同公共点的两个平面重合；
两两平行的三条直线确定三个平面．
2

其中正确命题的个数是（ ）
Ａ．
0
Ｂ．
1
Ｃ．
2

答案：Ａ．
Ｄ．
3

第20题.直线
l
1
∥l
2
，在
l
1
上取
3
点，
l
2
上取
2
点，由这
5
点能确定的平面有（ ）
Ａ．
9
个 Ｂ．
6
个 Ｃ．
3
个 Ｄ．
1
个
答案：Ｄ．
第21题.三条直线相交于一点，可能确定的平面有（ ）
Ａ．
1
个 Ｂ．
2
个 Ｃ．
3
个 Ｄ．
1
个或
3
个
答案：Ｄ．
第22题.下列命题中，不正确的是（ ）
①一条直线和两条平行直线都相交，那么这三条直线共面；
②每两条都相交但不共点的四条直线一定共面；
③两条相交直线上的三个点确定一个平面；
④两条互相垂直的直线共面．
Ａ．①与② Ｂ．③与④ Ｃ．①与③ Ｄ．②与④
答案：Ｂ．
第23题.分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是（ ）
Ａ．异面直线 Ｂ．相交直线 Ｃ．不相交直线 Ｄ．不平行直线
答案：Ｄ．
第24题.在长方体
ABCD?A
1
B
1C
1
D
1
中，点
O
，
O
1
分 别是四边形
ABCD
，
A
1
B
1
C
1D
1
的对角线的交点，点
E
，
F
分别是四边形
AA
1
D
1
D
，
BB
1
C
1C
的对角线的交点，点
G
，
H
分别是四边形
A
1
ABB
1
，
C
1
CDD
1
的对角线的< br>交点．
求证：
△OEG≌△O
1
FH
．
D
1
< br>答案：证明：如图，连结
AD
1
，
AC
，
CD
1
，
C
1
A
1
，
C
1
B
，
BA
1
．
11
∥
CD
，
O
1
F

∥
BA
． 由三角形中位线定理可知
OE

11
22
∥
CD
1
，
∴OE

∥
O
1
F
．同理可证
EG

∥
FH
． 又
BA
1

由等角定理可得
?OEG??O
1
FH
．
∴
△OEG≌△O
1
FH
．
第25题.若
a，
b
是异面直线，
b
，
c
也是异面直线，则
a
与
c
的位置关系是（ ）
Ａ．异面 Ｂ．相交或平行 Ｃ．平行或异面 Ｄ．相交或平行或异面
答案：Ｄ．
第26题.
a
，< br>b
是异面直线，
A
，
B
是
a
上两点，
C
，
D
是
b
上的两点，
M
，
N
分别是线段
AC
和
BD
的中
点，则
MN
和
a
的位置关系是（ ）
Ａ．异面直线 Ｂ．平行直线 Ｃ．相交直线 Ｄ．平行、相交或异面
答案：Ａ．
第27题.如下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中
①
BM
与
ED
平行；
②
CN
与
BE
是异面直线；
③
CN
与
BM
成
60?
角；

④
DM
与
BN
垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）
Ａ．①②③ Ｂ．②④ Ｃ．③④ Ｄ．②③④
答案：Ｃ．
第28题.直线与平面平行的条件是这条直线与平面内的（ ）
Ａ．一条直线不相交
Ｂ．两条直线不相交
Ｃ．任意一条直线不相交
Ｄ．无数条直线不相交
答案：Ｃ．
第29题.如果直线
a
平行于平面
?
，则 （ ）
Ａ．平面
?
内有且只有一直线与
a
平行
Ｂ．平面
?
内有无数条直线与
a
平行
Ｃ．平面
?
内不存在与
a
平行的直线
Ｄ．平面
?
内的任意直线与直线
a
都平行
答案：Ｂ．