枣庄市中区高中数学补课-高中数学课堂教学探讨
函数的最值
知识梳理
一般地，设函数
y?f(x)
的定义域为
I
.
如果存在实数
M
满足：
1. 函数最大值
①对于任意
x
都有
f(x)?M
.
②存在
x0
?I
，使得
f(x
0
)?M
.
那么，称
M
是函数
y?f(x)
的最大值.
2.
函数最小值
一般地，设函数
y?f(x)
的定义域为
I
.
如果存在实数
M
满足：
①对于任意
x
都有
f(x)?M
.
②存在
x0
?I
，使得
f(x
0
)?M
.
那么，称
M
是函数
y?f(x)
的最小值.
注意：对于一个函数来说，不一定有最值，若有最值，则最值一定是值域中的一个元素．
3.
函数的最值与其单调性的关系．
（1）若函数在闭区间
[a,b]
上是减函数，则<
br>f(x)
在
[a,b]
上的最大值为
f
(
a
)，最小值为
f
(
b
)； （2）若函数在闭区间
[a,b]
上是增函数，则
f(x)
在
[
a,b]
上的最大值为
f
(
b
)，最小值为
f
(
a
)．
4．二次函数在闭区间上的最值．
探求二次
函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出
y?f(x)
的草图，然后根据图象的增减
性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间
上最
值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．
例题精讲
【例1】求函数
f(x)?3x
在[0,3]上的最大值和最小值．
解：因为函数
f(x)?3x
在[0,3]上单调递增
所以
f(x)?3x
在[0,3]上的最大值为
f(3)?3?3?9
；
f(x)?3x
在[0,3]上的最小值为
f(0)?3?0?0
；
【例2】求函数在区间[2，6]上的最大值和最小值．
解：函数的图象如下图所示，所以在区间[2，6]上单调递减；
2
所以在区间[2，6]上的最大值为
?2
；
2?1
22
?
.
最小值为
6?15
题型一 利用图象求最值
【例3】求下列函数的最大值和最小值.
53
（1）
y?3?2x?x
2
,x?[?,]
22
（2）
y?|x?1|?|x?2|
解：（1）二次函数
y?3?2x?x
2
的对称轴为
x
＝－1.
画出函数的图象，由下图，可知：
39
当
x??1
时，
y
max
?4
；当
x?
时，
y
min
??
.
24
539
所以函数
y?3?2x?x
2
,x?[?,]
最大值为4，最小值为
?
.
224
?
3,
?
（2）
y?|x?1|?|x?2|??
2x?1,
?
?3,
?
x?2
?1?x?2
x??1
作出函数图象，如下图，可知：
y?[?3,3]
所以函数的最大值为 3, 最小值为－3.
题型二 利用函数单调性求最值
9
【例4】求函数
f(x)?x?
在
x?[1,3]
上的最
大值和最小值.
x
分析：先判断函数的单调性，再求最值.
解：因为
1?x
1
?x
2
?3
所以f(x
1
)?f(x
2
)?x
1
?
9(x2
?x
1
)
9999
?(x
2
?)?x
1
?x
2
?(?)?x
1
?x
2
?
<
br>x
1
x
2
x
1
x
2
x
1<
br>x
2
9
)
x
1
x
2
?(
x
1
?x
2
)(1?
因为
1?x
1
?x<
br>2
?3
所以
x
1
?x
2
?0
，x
1
x
2
?9
所以
1?
9
?0
，所以
f(x
1
)?f(x
2
)?0
,
f(x
1
)?f(x
2
)
x
1
x2
所以
f(x)?x?
9
在区间
[1,3]
上单调递减
；
x
9189
?
，最大值为
f(1)?1??10
. <
br>331
所以求函数
f(x)
在
x?[1,3]
上的最小值为<
br>f(3)?3?
题型三 函数最值的应用
x
2
?2x?a
【例5】已知函数
f(x)?
，
x?[1,??)
x
（1）当
a?
1
时，求函数
f(x)
的最小值.
2
（2）若对任意的
x?[1,??)
，
f(x)?0
恒成
立，试求
a
的取值范围.
1
时，
f(x)?
2
x
2
?2x?
x
解：（1）当
a?
1
2
设
1?x
1
?x
2
则
f(x
1
)?f(x
2
)?(x
1
?
1
1
?2)?(x
2
??2)
2x
1
2x
2
?(x
1
?x
2
)?
x
2
?x
1
2xx?1
?(x
1
?x
2
)
1
2
2x
1
x
2
2x
1
x
2
因为
x
1
?x
2
?0
，所以
2x
1
x
2
?1
，
2x
1
x
2
?1?0
所以
f(x
1
)?f(x
2
)?0
，
f(x
1
)?f(x
2
)
所以
f(x)
在区间
[1,??)
上单调递增
17
所以的最小值为
f(1)?1??2?
.
22
（2）
f(x)?0
对
x?[1,??)
恒成立?
x
2
?2x?a?0
对
x?[1,??)
恒成立?
a??x
2
?2x
对
x?[1,??)
恒成立．
令
u??x
2
?2x??(x?1)
2
?1
，其在
[1,??)
上是减函数，
∴当
x?1
时，
u
max
??3
.
因此
a??3
.
故实数
a
的取值范围是
(?3,??)
．
课堂练习
仔细读题，一定要选择最佳答案哟！
?
2
x
＋6
x
∈[1，2]
1．函数
f
(
x
)＝
?
?
x
＋7
x
∈[－1，1]
A．10,6
，则
f
(
x
)的最大值、最小值分别为( )
B．10,8 C．8,6 D．以上都不对
2．已知
f
(<
br>x
)在
R
上是增函数，对实数
a
、
b
若a
＋
b
＞0，则有( )
A．
f
(
a)＋
f
(
b
)＞
f
(－
a
)＋
f
(－
b
)
B．
f
(
a
)＋
f
(
b
)＜
f
(－
a
)＋
f
(－
b
)
C．
f
(
a
)－
f
(b
)＞
f
(－
a
)－
f
(－
b
)
D．
f
(
a
)－
f
(
b
)
＜
f
(－
a
)＋
f
(－
b
)
3. 若
f
(
x
)＝－
x
＋2
ax与
g
(
x
)＝
2
a
x
＋1
在
区间[1,2]上都是减函数，则
a
的取值范围是( )
D．(0,1]
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(0,1] C．(0,1)
4．函数
y
＝|
x
－3|－|
x
＋1|有( )
A．最大值4，最小值0 B．最大值0，最小值－4
C．最大值4，最小值－4 D．最大值、最小值都不存在
5．函数
y
＝－
x
2
－10
x
＋11在区间[－1,2]上的最小
值是________．
6．如果函数
f
(
x
)＝－
x<
br>＋2
x
的定义域为[
m
，
n
]，值域为[－3,1]
，则|
m
－
n
|的最小值为________．
2
7. 已知函数f(x)?x
2
?2x?3
，若
x?[t,t?2]
时，求函数
f(x)
的最值.
8. 求函数
f(x)?
9. 已知函数
f
(
x
)＝
x
2
＋2
ax
＋2，
x
∈[－5，5].
（1）当
a
＝－1 时，求
f
(
x
)的最大值和最小值；
（2）求使函数
y
＝
f
(
x
)在区间[－5，5]上是单调函数的
a
的取值范围．
x
在区间
[2,5]
上的最大值和最小值.
x?1