高中数学课程任务-全国高中数学联合竞赛江苏赛区
重点高中数学必修2《点、直线、
平面之间的位置关系》知识点
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2
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
空间点、直线、平面之间的位置关系
一、平面
1、平面及其表示
2、平面的基本性质
①公理1：
②公理2：不共线的三点确定一个平面
③公理3：
A?l
?
B?l
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A?
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B?
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P?
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?l则P?l
P?
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3
二、点与面、直线位置关系
1、点与平面有2种位置关系
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?1、A?
?
?
2、B?
?
?
1、A?l
2、点
与直线有2种位置关系
?
?
2、B?l
三、空间中直线与直线之间的位置关系
1、异面直线
2、直线与直线的位置关系
?
?
相交
共面
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?<
br>?
?
平行
?
?
异面
3、公理4和定理
公理4：
l
1
P
l<
br>3
?
?
?l
1
P
l
2
l
2
P
l
3
?
4
定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
4、求异面直线所成角的步骤：
①作：作平行线得到相交直线；
②证：证明作出的角即为所求的异面直线所成的角；
③构造三角形求出该角。
提示：1、作平行线常见方法有：直接平移，中位线，平行四边形。
2、异面直线所的角的范围是
0
0
,90
0
?
。
?
?
四、空间中直线与平面之间的位置关系
位置关系
公共点
符号表示
图形表示
直线a在平面内
有无数个公共点
直线a与平面
?
相交
有且只有一个公共点
直线a与平面
?
平行
没有公共点
a?
?
aI
?
?A
aP
?
五、空间中平面与平面之间的位置关系
位置关系
公共点
符号表示
两个平面平行
没有公共点
两个平面相交
有一条公共直线
?
P
?
?
I
?
?a
5
图形表示
直线、平面平行的判定及其性质
一、线面平行
1、判定：
b?
?
?
?
a?
?
?
?b
P
?
b
P
a
?
?
（线线平行，则线
面平行）
2、性质：
?
?
a?
?
?
?a
P
b
?
?
?
?b
?
?
a
P
?
（线面平行，则线线平行）
二、面面平行
1、判定：
?
?
b?
?
?
?
a?b?P
?
?
?
P
?
?
a
P
?
?
b
P
?
?
?
a?
?
（线面平行，则面面平行）
6
2、性质1：
<
br>?
P
?
?
?
?
I
?
?a
?
?a
P
b
?
I
?
?b
?
?
（面面平行，则线面平行）
性质2：
?
P
?
?
?
?m
P
?
m?
?
?
（面面平行，则线面平行）
说明（1）判定直线与平面平行的方法：
①利用定义：证明直线与平面无公共点。
②利用判定定理：从直线与直线平行等到直线与平面平行。
③利用面面平行的性质：两个平面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
（2）证明面面平行的常用方法
①利用面面平行的定义：此法一般与反证法结合。
②利用判定定理。
③证明两个平面垂直于同一个平面。
④证明两个平面同时平行于第三个平面。
三、线线平行、面面平行、面面平行间的关系
7
直线与平面垂直的判定及其性质
一、
直线与平面所成的角
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?
?
?
0,
90
?
?
00
证明过程Q
PO?
?
,
?A
O为PA在平面
?
上的投影，
??
?
为直线l与平面
?所成的角。
00
二、二面角
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-l-
?<
br>?
?
?
0,180
?
?
证明过程Q
BO?l,AO?l,
??BOA是二面角
?
-l-
?
的平面角。
三、线面垂直
1、判定：
a?
?
b?
?
a?b?
l?a
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?
?
?
A?
?l?
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?
?
8
2、性质1：
3、性质2：
a?
?
?
?
?a
P
b
b?
?
?
a?
?
?
?
?a?b
b?
?
?
四
、面面垂直
1、判定：
l?
?
?
?
?
?
?
?
l?
?
?
文字表达：一个平面过另一个
平面的垂线，则这两个平面垂直。
2、性质：
说明：（1）判定直线与平面垂直的方法： <
br>?
?
?
?
?
?
?
?
?
?<
br>?AB?
?
AB?
?
?
AB?CD
?
?
9
①利用定义（可用反证法）。
②利用判定定理。
③利用性质定理。
④结合平行关系：
aPb,a?
?
?b?
?
（2）判定平面与平面垂直的方法：
①利用定义判断（证）二面角的平面角是直角。
②利用平面与平面垂直的判定定理。
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