不等式的基本性质知识点

不等式的基本性质知识点


不等式的基本性质知识点


1．不等式的定义：;0, 0, 0。


① 其实质是运用 实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本
章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。


②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差
法比大小的理论 基础是不等式的性质。


作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的
符号法则。


如证明3为单增函数，

设x1, x2;(;), x12，
f(x1)( x2)1323=(x12)(x121x222)=(x12)[(x1+)2

22]

再由(x1+)222;0, x12;0,可得f(x1)(x2), 4; f(x)为单增。


2．不等式的性质：

① 不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部
分。

不等式基本性质有：


(1) (对称性)


(2) , (传递性)


(3) ()


(4) 0时，

;0时，。


运算性质有：


(1) , 。


(2) 0, 0。


(3) 0(, 1)。

(4) 0;(, ;1)。



应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和 “”
即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施
行一系列的推出变换。解不 等式就是施行一系列的等价变换。因
此，要正确理解和应用不等式性质。


② 关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题：



(1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能
否成立。


(2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的
大小。



(3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分
或必要关系。