直线与平面的位置关系知识点归纳

第二章直线与平面的位置关系
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1
1 平面含义：平面是无限延展的
2 平面的画法及表示
0
（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成45，且横边画成邻
边 的2倍长（如图）
（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示 平面的
平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。
3 三个公理：
（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
符号表示为
D
A∈L
A
α
B∈L => L α

α
·

A
L
A∈α
B∈α
公理1作用：判断直线是否在平面内
（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
A B
·

α
·

C
符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α，
·

使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那 么它们有且只有一条过该点的公共
直线。
β
符号表示为：P∈α∩β =>α∩β=L，且P∈L
P
公理3作用：判定两个平面是否相交的依据
α
L
·

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
1 空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
共面直线
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条直线
a∥b
=>a∥c
c∥b
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
4 注意点：
① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为简便，点O
一般取在两直线中的一条上；
?
(0， )； ② 两条异面直线所成的角θ∈
2
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；
④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。已知两条异面直
C
B

线a，b，经过空间任一点O作直线
a
'
∥a,
b
'
∥b,我们把
a
'
与
b
'
所成的锐角（ 或直角）叫
做异面直线a与b所成的角。（注意：异面直线所成的角不大于
90?
）。
2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点
（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
（3）直线在平面平行 —— 没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示

a α a∩α=A a∥α
2.2.直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定
1、 直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与
此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：
a α
b β => a∥α
a∥b
2.2.2 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面
平行。

符号表示：
a β
b β
a∩b = P β∥α
a∥α
b∥α
2、判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义；
（2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平
行。
简记为：线面平行则线线平行。
符号表示：

a∥α
a β a∥b
α∩β= b
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号表示：
α∥β
α∩γ= a a∥b
β∩γ= b
作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定
1、定义
如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记
作L⊥α ，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,
它们唯一公共点P叫 做垂足。
L

p
α

2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学
思想。
2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭 l β
B
α


2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β
3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

2.3.3—2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
2性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
本章知识结构框图











直线与直线的位置关系
直线与平面的位置关系


平面与平面的位置关系
空间直线、平面的位置关系
平面（公理1、公理2、公理3、公理4）

基础练习
一选择题 < br>1
.
若直线
a
、
b
都和平面α平行,则直线
a
、
b
的位置关系是(

)
.

A
.
相交

B
.
平行
C
.
异面 D
.
以上三者都有可能
【解析】可以画出直线
a
、
b
的三种位置关系的图形
.

【答案】D
2
.
给出下列结论:
①
直线
l
平行于平面α内的 无数条直线,则
l
∥α;
②
若直线
a
在平面α外,则
a
∥α;
③
若直
线
a
∥
b
,
b
?α,则
a
∥α;
④
若直线
a
∥
b
,
b
?α,则直线
a
就平行于平面α内的无数条直线
.
其
中结论正确的个数为(

)
.

A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】
①
直线
l
还可能在平面α内,所以
①
错误;
②
直线
a
还可能与平面α相交,所以
②
错误;
③
直线
a
还可能在平面α内,所以
③
错误;
④< br>平面α内,与直线
b
平行的直线都与直线
a
平行,所以
④正确
.

【答案】A
3
.
如图所示,在三棱锥
P-ABC
的六条棱所在的直线中,异面直线共有(

)
.

A
.
1对

B
.
2对
C
.
3对 D
.
4对
【解析】根据异面直线的定义可知共 3对,分别为
AP
与
BC
,
CP
与
AB
,
BP
与
AC.

【答案】C
4
.
过一点与已知直线垂直的直线有(

)
.

A
.
一条 B
.
两条
C
.
无数条 D
.
无法确定
【解析】过一点与已知直线垂直的直线有无数条,包括相交垂直和异面垂直
.

【答案】C
5
.
在两个平面内分别取一条直线,若这两条直线互相平行,则 这两个平面的公共点个数
(

)
.

A
.
有限个

B
.
无限个

C
.
没有 D
.
没有或无限个
【解析】两平面相交或者平行,因此这两个平面没有公共点或有无限个公共点
.

【答案】D
6
.
一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零 ,则这两个平面(

)
.

A
.
平行 B
.
相交
C
.
平行或重合 D
.
平行或相交
【解析】若三点在平面的同侧,则两平面平行;若三点在平面的异侧,则两平面相交
.

【答案】D
7
.
下列说法中,正确的个数是(

)
.

①
平行于同一平面的两条直线平行
.
②
直线
a
平行于平面α内的一条直线
b
,那么直线
a< br>∥平面α
.

③
若两平行直线中的一条与平面α相交,那么另一条也与平面α相交
.
④
直线
a
与平面α内的无数条直线相交,那么直线
a
在平面α内
.

A
.
0

B
.
1

C
.
2

D
.
3
【解析】只有
③
正确
.

【答案】B
8
.a
,
b
是两条直线,α是一个平面,给出下列三个命题: ①
如果
a
∥
b
,
b
?α,那么
a∥α;
②
如果
a
∥α,
b
∥α,那么
a∥
b
;
③
如果
a
∥
b
,
a
∥α,那么
b
∥α
.

其中真命题有(

)
.

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【解析】
①
中,
a
有可能在平面α内,故
①
不正确;平行于同一个平面的两 条直线不一定平行,
故
②
不正确;
③
中,
b
有可能 在平面α内,故
③
不正确
.
综上可知,选A
.

【答案】A
9
.
平面α,β满足α∥β,直线
a
?α,下列四个命题中: ①a
与β内的所有直线平行;
②a
与β内的无数条直线平行;
③a
与β内的任何一条直线都不
相交;
④a
与β无公共点
.

其中正确命题的个数是(

)
.

A
.
1

B
.
2

C
.
3

D
.
4

【解析】因为α∥β,直线
a
?α,所以
a
与β内的直线平行或异面,由此可 知
①
错,其他均正
确
.

【答案】C
10
.
已知
A
、
B
、
C
、
D
四点不 共面,且
AB
∥平面α,
CD
∥平面α,
AC
∩α
=E
,
AD
∩α
=F
,
BD
∩α
=G,
BC
∩α
=H
,则四边形
EFGH
是(

)
.

A
.
平行四边形

B
.
矩形
C
.
菱形 D
.
正方形
【答案】A
11
.
若平面α外的直线
a
与平面α所成的角 为θ,则θ的取值范围是(

)
.

A.(0,)

B.[0,)

C.(0,]

D.[0,]
【解析 】当
a
∥α时,θ
=
0;当
a
⊥α时,θ
=
;
a
和α斜交时,θ的取值范围是(0,),综上,θ的
取值范围是[0,]
.

【答案】D
12
.P
为△
ABC
所在平面 外的一点,且
PA
、
PB
、
PC
两两垂直,则下列命题:
①PA
⊥
BC
;
②PB
⊥
AC
;
③PC
⊥
AB
;
④AB
⊥
BC.

其中正确的个数是(

)
.

A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】
∵PA
⊥
PB
,
PA
⊥
PC
,
∴PA
⊥平面
PBC
,
∴PA
⊥
BC
,即
①
正确,同理可证得
②③
正确
.

【答案】D
13
.
室内有一根直尺,无论怎么样放置,在地面上总有这样的 直线,它与直尺所在的直线
(

)
.

A
.
异面

B
.
相交

C
.
平行

D
.
垂直
【答案】D
14
.
若平面α、β互相垂直,则(

)
.

A
.
α中的任意一条直线都垂直于β
B
.
α中有且只有一条直线垂直于β
C
.
平行于α的直线垂直于β
D
.
α内垂直于交线的直线必垂直于β
【答案】D

15
.
在长方体
ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点
A
1
到 截面
AB
1
D
1
的距离
为(

)
.

A. B. C. D.
【解析】利用 三棱锥
A
1
-AB
1
D
1
的体积变换:
=
,则
×
2
×
4
=×
6
×h
,解得
h=.

【答案】C
16
.
点
P
是等腰 三角形
ABC
所在平面外一点,
PA
⊥平面
ABC
,
PA=
8,在△
ABC
中,底边
BC=
6,
AB=
5,
则
P
到
BC
的距离为(

)
.

A.4 B.5 C.3 D.2
【解析】作
AD
⊥
BC
于
D
,连接
PD
,易证
PD
⊥
BC
,故
PD
的长即为
P
到
BC
的距 离,
易求得
AD=
4,
PD=
4
.

【答案】A
17
.
已知
m
,
n
表示两条 不同的直线,α,β,γ表示三个不同的平面,给出下列三个命题:
(1)?
m
∥< br>n
;(2)?
n
∥α;(3)?
m
⊥
n.
其 中推理正确的个数为(

)
.

A.0 B.1 C.2 D
.
3
【解析】若则
m
∥
n
,即 命题(1)正确;若则
n
∥α或
n
?α,即命题(2)不正确;若则
m
⊥
n
,即命
题(3)正确
.
故选C.
【答案】C

18.
如图,平面α∩平面β
=l
,
A
∈α,
B
∈α,
AB
∩
l=D
,
C< br>∈β,
C
?
l
,则平面
ABC
与平面β的交线
是(

)
.

A.直线
AC
B.直线
AB

C.直线
CD
D.直线
BC

【解析】
∵D
∈
l
,
l< br>?平面β,
∴D
∈平面β
.

∵D
∈
AB< br>,
AB
?平面
ABC
,
∴D
∈平面
ABC< br>,
∴D
在平面
ABC
与平面β的交线上
.

∵C
∈平面
ABC
,且
C
∈平面β,
∴C
在平面 β与平面
ABC
的交线上,
∴
平面
ABC
∩平面β
=CD.

【答案】C

二填空题
1.
在空间四边形
ABCD
中 ,
E
、
F
分别是
AB
、
CD
的中点,且< br>EF=
5,又
AD=
6,
BC=
8,则
AD
与
BC
所
成角的大小为
.


【解析】 取
AC
中点
G
,连接
EG
,
FG
, 在△
EFG
中,
EG
∥
BC
,
EG=BC=< br>4,
FG
∥
AD
,
FG=AD=
3,又知
E F=
5,
∴
∠
EGF=
90°,
∴AD
与
BC
所成角为90°
.

【答案】90°
2
.
如图,在正方体
ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,
BD
和
B
1
D
1
分别是正方形< br>ABCD
和
A
1
B
1
C
1
D
1
的对角线
.


(1)∠
DBC
的两边与

的两边分别对应平行且方向相同;
(2)∠
DBC
的两边与

的两边分别对应平行且方向相反
.

【解析】(1)
B
1
D
1
∥
BD
,
B
1
C
1
∥
BC
,并且方向相同,所以∠
DBC
的两边与∠
D
1B
1
C
1
的两边分别对
应平行且方向相同
.

(2)
D
1
B
1
∥
BD
,
D1
A
1
∥
BC
,并且方向相反,所以∠
DBC
的两边与∠
B
1
D
1
A
1
的两边分别对应平行且方向相反
.

【答案】(1)∠
D
1
B
1
C
1

(2)∠
B
1
D
1
A
1

3.
若
a
?α,
b
?β,则
a
与
b的位置关系是
.

【解析】可能异面,也可能存在平面γ,使
a
?γ,且
b
?γ,即
a
与
b
仍可以在同一平面内
.

【答案】平行、相交或异面
4
.
在正方体
A BCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,
E
、
F
分别是棱
BC
、
C
1
D
1
的中点,则
EF
与平面
BB
1
D
1
D的位置关系
是
.

【解析】如图, 取
D
1
B
1
的中点
O
,连接
OF
,
OB.

∵OF

B
1
C
1
,< br>BE

B
1
C
1
,
∴OF

BE
,
∴
四边形
OFEB
为平行四边形,
∴EF
∥
BO.

∵EF
?平面
BB
1
D
1
D
,
BO
?平面
BB
1
D
1
D
,
∴EF
∥平面
BB
1
D
1
D.

【答案】平行
5
.
平面α∥平面β,△
ABC
和△
A'B'C'
分别在平面α和平面β内,若对应顶点的连线共点,则
这两个三角形
.

【解析】由于对应顶点的连线共点,则
AB
与
A'B'
共面,
由面与面平行的性质知
AB
∥
A'B'
,
同理
A C
∥
A'C'
,
BC
∥
B'C'
,故两个三角形相 似
.

【答案】相似
6
.
过平面外一点作该平面的垂线有

条;垂面有

个;平行线有

条;平行
平面有

个
.

【答案】一

无数

无数

一
7
.
已知
AH
⊥Rt△
HEF
所在的平面,且
HE
⊥
EF
,连接
AE
、
AF
,则图中直角三角形的个数
是
.

【解析】 易知△
AHE
,△
AHF
,△
HEF
为直角三角形,又因为
EF
⊥
HE
,
EF
⊥
AH
,所以
EF
⊥平面
AEH
,所以
EF
⊥
AE
,即△
AEF
也是直角三角形
.
综上所述,图中直角三角形个数为4
.

【答案】4

8
.
在正方体
ABCD-A
1B
1
C
1
D
1
中,直线
C
1
D
与平面
B
1
CD
所成的角为
.

【解析】连接
C
1
B
交
B
1
C
于点
O
,根据直线
C
1
B
⊥平面
B
1
CD
,可得直线
C
1
D
与平 面
B
1
CD
所成
的角为∠
ODC
1
,在R t△
ODC
1
中,根据
DC
1
=
2
OC< br>1
,可得∠
ODC
1
=
30°,因此直线
C
1
D
与平面
B
1
CD
所成
的角为30°
.

【答案】30°
9
.
正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形 的中心)的体积为12,底面对角线的长为2,求
侧面与底面所成的二面角
.

【解析】易求得底面边长为2,高为3,tanθ
=
,所以θ
=
60°.

10
.
如图,在正方体
ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,
AB=
2,点
E
为
AD
的中点,点
F
在
CD
上
.
若
EF
∥平面
AB
1
C
,
则线段
EF的长度等于
.


【解析】由
EF
∥平面< br>AB
1
C
,可知
EF
∥
AC
,
所以
EF=AC=×
2
=.

强化练习
一选择题
1．下列命题中，正确的有( )
①如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直．
②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直．
③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．
④垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．
⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内．
A．2个
C．4个
[答案] C
[解析] ②③④⑤正确，①中当这无数条直线都平行时，结论不成立．
2．设直线l、m，平面α、β，下列条件能得出α∥β的是( )
B．3个
D．5个

A．l?α，m?α，且l∥β，m∥β
B．l?α，m?β，且l∥m
C．l⊥α，m⊥β，且l∥m
D．l∥α，m∥β，且l∥m
[答案] C
[解析] 排除法，A可举反例，如图(1)，B可举反例如图(2)，其中l与m都平行于a，
D可举反例，如图(3)，故选C.

3．(08·福建理)如图，在长方体ABC D－A
1
B
1
C
1
D
1
中，AB＝BC＝ 2，AA
1
＝1，则BC
1
与
平面BB
1
D
1
D所成角的正弦值为( )

A.
6

3
25
B.
5
C.
D.
15

5
10

5
[答案] D
[解析] 取B
1D
1
中点O，在长方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，

∵A
1
B
1
＝B
1
C
1
＝2，∴C
1
O⊥B
1
D
1
，
又C
1
O⊥BB
1
，C
1
O⊥平面 BB
1
D
1
D，

∴∠C
1
BO为 直线C
1
B与平面BB
1
D
1
D所成的角，
在R t△BOC
1
中，C
1
O＝2，BC
1
＝BC
2< br>＋CC
2
1
＝5，
∴sin∠OBC
1
＝
10
.
5
4．(09·四 川文)如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA
＝2AB，则下 列结论正确的是( )

A．PB⊥AD
B．平面PAB⊥平面PBC
C．直线BC∥平面PAE
D．直线PD与平面ABC所成的角为45°
[答案] D
[解析] 设AB长为1，由PA＝2AB得PA＝2，
又ABCDEF是正六边形，所以AD长也为2，
又PA⊥平面ABC，所以PA⊥AD，
所以△PAD为直角三角形．
∵PA＝AD，∴∠PDA＝45°，
∴PD与平面ABC所成的角为45°，故选D.
5．(09·湖北文)如图，在三棱柱AB C－A
1
B
1
C
1
中，∠ACB＝90°，∠ACC
1
＝60°，∠BCC
1
＝45°，侧棱CC
1
的长为1，则该三 棱柱的高等于( )

1
A.
2
C.
3

2



B.
D.
2

2
3

3
[答案] A
[解析] 作C
1
O⊥底面ABC于O，
作OM⊥CB于M，连C
1
M.
作ON⊥AC于N，连C
1
N.

易知ON⊥AC，OM⊥BC，
又∠ACB＝Rt∠，∴ONCM为矩形，OC＝MN， < br>1
在Rt△CNC
1
中，∠C
1
CN＝60°，CC
1
＝1，∴CN＝，
2
在Rt△C
1
MC中，∠C
1CM＝45°，CC
1
＝1，∴CM＝
∴NM＝
2
.
2
?
1
?
2
＋
?
2
?
2
＝
3
，∴OC＝
3
，
?
2
?
?
2
?
22
1－
?
3
?
2
1
＝，
?
2
?
2
在Rt△C
1
OC中，C
1O＝
1
∴三棱柱高为.
2
6．(09·宁夏海南文)如图，正方体AB CD－A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1，线 段B
1
D
1
上有两个动
点E，F，且EF＝
A．AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A－BEF的体积为定值
D．△AEF的面积与△BEF的面积相等
2
，则下列结论中错误的是( )
2

[答案] D
[解析] 由正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
得，B
1
B⊥平面ABCD， ∴AC⊥B
1
B，
又∵AC⊥BD，∴AC⊥面BDD
1
B
1
，BE?面BDD
1
B
1
，
∴AC⊥BE，故A正确．
由正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
得，B
1
D
1
∥BD，
B
1
D
1
?平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴B
1
D
1
∥平面ABCD，

∴EF∥平面ABCD，∴B正确．
∵A到平面BDD
1
B
1
的距离d＝
1
∴V
A
－
BEF
＝S△
BEF
·d
3
111
＝·S△BB
1
D
1
·d＝.
3212
∴三棱锥A－BEF的体积为定值，故C正确．
2
，
2

因E、F是线段B
1
D
1
上两个动点，且EF ＝
2
，
2
在E，F移动时，A到EF的距离与B到EF的距离不相等
∴△AEF的面积与△BEF的面积不相等，故D错．
7．如图所示，在三棱柱ABC－A< br>1
B
1
C
1
中，AA
1
⊥底面ABC，AB ＝BC＝AA
1
，∠ABC＝
90°，点E、F分别是棱AB、BB
1
的中点，则直线EF和BC
1
所成的角是( )

A．45°
C．90°
[答案] B
[解析] 连结AB
1
，易知AB
1
∥EF，连结B
1
C交BC
1
于点G，取AC的中点H， 则GH
∥AB
1
∥EF.
1222
设AB＝BC＝AA
1
＝a，在△GHC中，易知GH＝AB
1
＝a，BG＝a，HB＝a，故
22 22
两直线所成的角为∠HGB＝60°.


B．60°
D．120°

[点评] 除可用上述将EF平移到GH方法外还可 以在平面BCC
1
B
1
内过F作FD∥BC
1
交B
1
C
1
于D，考虑在△EFD内求解等．如果再补上一个三棱柱成正方体则结论就更明 显了．
8．在空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，则对角线AC与BD的位置关系为
( )
A．相交但不垂直
B．垂直但不相交
C．不相交也不垂直
D．无法判断
[答案] B
[解析] 作AO⊥平面BCD于O，
连BO并延长交DC于N，连DO并延长交BC于M，

连CO并延长交BD于H，
∵BC⊥AO，BC⊥AD
∴BC⊥平面AOD，∴BC⊥DM，同理BN⊥CD，∴O为△BDC的垂心，∴CH⊥BD
又AO⊥BD，∴BD⊥平面AOC，
∴BD⊥AC.
9．正方体A
1< br>B
1
C
1
D
1
－ABCD中，截面A
1BD与底面ABCD所成二面角A
1
－BD－A的正
切值等于( )
A.
3

3


B.
2

2
C.2
[答案] C
D.3
[解析] 设AC、BD交 于O，连A
1
O，∵BD⊥AC，BD⊥AA
1
，∴BD⊥平面AA
1
O，∴
BD⊥AO，

∴∠A
1
OA为二面角的平面角．
A
1
A
tan∠A
1
OA＝＝2，∴选C.
AO
10．在二面角α－l－β中，A∈α，AB⊥平面β于B，BC⊥平面α于C，若AB＝6，BC＝3，则二面角α－l－β的平面角的大小为( )
A．30° B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
[答案] D
[解析] 如图，∵AB⊥β，∴AB⊥l，∵BC⊥α，∴BC⊥l，∴l⊥平面ABC，

设平面ABC∩l＝D，
则∠ADB为二面角α－l－β的平面角或补角，
∵AB＝6，BC＝3，
∴∠BAC＝30°，∴∠ADB＝60°，
∴二面角大小为60°或120°.
11．(2010·重庆文，9)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点( )
A．只有1个 B．恰有3个
C．恰有4个 D．有无穷多个
[答案] D
[解析] 过两条互相垂直的异面直线的公垂线段中点且与两条直线都成45°角直线上所
有点 到两条直线的距离都相等，故选D.
12．ABCD是正方形，以BD为棱把它折成直二面角A－BD －C，E为CD的中点，则
∠AED的大小为( )
A．45°
C．60°
[答案] D
B．30°
D．90°

[解析] 设BD中点为F，则AF⊥BD，CF⊥BD

∴∠AFC＝90°，∴AF⊥面BCD
∵E、F分别为CD、BD的中点，
∴EF∥BC，
∵BC⊥CD，∴CD⊥EF，
又AF⊥CD，∴CD⊥平面AEF，∴CD⊥AE.故选D.
13．已知l?β，m⊥α，有下列四个命题：
①α∥β?l⊥m; ②α⊥β?l∥m；
③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β.
其中正确的命题是( )
A．②与④
C．①与②
[答案] D
[解析]


B．③与④
D．①③






m⊥α
?
?
?
?m⊥β
?
α∥β
?

l?β
又m⊥α
?
?
?
?l⊥α
?
l∥m
?
?
?
?
?m⊥l，∴①正确否定A、B，
?
?
?
?
?
?β⊥α，∴③正确否定C，故选D.
?
?

l?β
14．已知三棱锥S－ABC的各顶点都在 一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO
⊥底面ABC，AC＝2r，则球的体积与三棱锥体积之 比是( )
A．π
C．3π
[答案] D
[解析] 此三棱锥的高为球的半径，ABC所在大圆面积为πr
2
，三棱锥的底面易 知为等
4
3
πr
V
球
3
1
22
腰 直角三角形．腰长为2r，所以三棱锥底面面积为(2r)＝r，＝＝4π，∴球体积
2
V锥
1
3
r
3
B．2π
D．4π

与三棱锥体积之比为4π，故选D.

15．在空间四边形ABCD 中，AD⊥BC，BD⊥AD，且△BCD是锐角三角形，那么必有
( )
A．平面ABD⊥平面ADC
B．平面ABD⊥平面ABC
C．平面ADC⊥平面BCD
D．平面ABC⊥平面BCD
[答案] C
16．已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：
①若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α；
②若l平行于α，则l平行于α内的所有直线；
③若m?α，l?β，且l⊥m，则α⊥β；
④若l?β，且l⊥α，则α⊥β；
⑤若m?α，l?β，且α∥β，则m∥l.
其中正确命题的序号是( )
A．①②
C．①④
[答案] C
[解析] 由直线与平面垂直的判定定理知，①正确；
对于②，若l∥α，m?α，则l与m可能平行，也可能是异面直线，故②不正确；
对于③，满足题设的平面α、β有可能平行或相交，也有可能垂直，故③是错误的；
由面面垂直的判定定理知，④是正确的；
对于⑤，m与l可能平行，也可能是异面直线，故⑤是错误的．故正确的命题是①、④.
17．若a、b表示直线，α表示平面，
①a⊥α，a⊥b，则b∥α；
②a∥α，a⊥b，则b⊥α；
③a∥α，b⊥α，则b⊥a；
④a⊥α，b?α，则b⊥a.
上述命题中正确的是( )
B．③④
D．②③

A．①② B．②③
C．③④ D．②③④
[答案] C
[解析] ①b∥α或b?α ②b⊥α或b∥α或b?α ③、④正确，
∴选C.
18．已知三条直线m、n、l，三个平面α、β、γ，下面四个命题中，正确的是( )
α⊥γ
?
?
?
?α∥β A.
β⊥γ
?
?
m∥β
?
?
?
?l⊥β B.
?
l⊥m
?
C.
?
m∥γ
?
?
?m∥n
n∥γ
?
?
α∥γ
?
?
?
?α∥β D.
?
β∥γ
?
[答案] D
[解析] 对于A，α与β可以平行 ，也可以相交；对于B，l与β可以垂直，也可以斜交
或平行；对于C，m与n可以平行，可以相交，也 可以异面．
19．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面( )
A．有且只有一个
B．可能存在也可能不存在
C．有无数多个
D．一定不存在
[答案] B
[解析] 当a⊥b时，有且只有一个．
当a与b不垂直时，不存在．
20．(08·安徽)已知m、n是两条不同直线，α、β、γ 是三个不同平面．下列命题中正确
的是( )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m∥α，m∥β，则α∥β
D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
[答案] D
21．如图，正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，点P在侧面BCC< br>1
B
1
及其边界上运动，并且总
是保持AP⊥BD
1
，则动点P的轨迹是( )

A．线段B
1
C
B．线段BC
1

C．BB
1
中点与CC
1
中点连成的线段
D．BC中点与B
1
C
1
中点连成的线段
[答案] A
[解析] ∵DD
1
⊥平面ABCD，∴D
1
D⊥AC，
又AC⊥BD，∴AC⊥平面BDD
1
，
∴AC⊥BD
1
.同理BD
1
⊥B
1
C.
又∵B
1
C∩AC＝C，∴BD
1
⊥平面AB
1
C.
而AP⊥BD
1
，∴AP?平面AB
1
C.
又P∈平面B B
1
C
1
C，∴P点轨迹为平面AB
1
C与平面BB
1
C
1
C的交线B
1
C.故选A.
22．已知一平面平 行于两条异面直线，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这
条直线的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．斜交 D．不能确定
[答案] B
[解析] 设a，b为异面直线，a∥平面α，b∥α，直线l⊥a，l⊥b.
过a作平面β∩α＝a′，则a∥a′，∴l⊥a′.
同理过b作平面γ∩α＝b′，则l⊥b′，
∵a，b异面，∴a′与b′相交，∴l⊥α.
23．设有直线m、n与平面α、β，则在下面命题中，正确的是( )
A．若m∥n，m?α，n?β，则α∥β
B．若m⊥α，m⊥n，n?β，则α∥β
C．若m∥n，n⊥β，m?α，则α⊥β
D．若m⊥n，m⊥α，n?β，则α⊥β
[答案] C
[解析] 对于C，由m∥n，n⊥β得m⊥β.
又m?α，可得α⊥β.∴应选C.
24．如图已知平面CBD⊥平面ABD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状为( )

A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不能确定
[答案] B
[解析] 过A作AE⊥DB，则AE⊥平面DBC，∴AE⊥BC，又DA⊥平面ABC，∴DA⊥
BC，
又DA∩AE＝A，∴BC⊥平面DAB，
∴BC⊥AB，∴△ABC为直角三角形． 25．(2010·北京理，8)如图，正方体ABCD－A
1
B
1
C< br>1
D
1
的棱长为2，动点E，F在棱A
1
B
1
上，动点P，Q分别在棱AD、CD上，若EF＝1，A
1
E＝x，DQ＝y，DP＝z(x ，y，z大于零)，
则四面体PEFQ的体积( )

A．与x，y，z都有关
B．与x有关，与y，z无关
C．与y有关，与x，z无关
D．与z有关，与x，y无关
[答案] D
[解析] 这道题目延续了北京高考近 年8,14,20的风格，即在变化中寻找不变，从图中
1
可以分析出，△EFQ的面积永远不 变，为矩形A
1
B
1
CD面积的，而当P点变化(即z变化)
4时，它到平面A
1
B
1
CD的距离是变化的，因此会导致四面体体积的变 化．
26．在△ABC中，C＝90°，AB＝8，B＝30°，PC⊥平面ABC，PC＝4，P′ 是AB边上
动点，则PP′的最小值为( )
A．2
C．27
[答案] C
[解析] 作CP′⊥AB，垂足为P′，则易知PP′⊥AB，
B.7
D.19

∴PP′为所求最小值．
在Rt△ABC中，由AB＝8，∠B＝30°得，
P′C＝23，
又PC⊥平面ABC，
∴PC⊥P′C，
∵PC＝4，∴PP′＝27.
27．已知直线l⊥平面α，直线m?平面β，有下列四个命题：
①α∥β?l⊥m； ②α⊥β?l⊥m；
③l∥m?α⊥β； ④l⊥m?α∥β.
其中正确的两个命题是( )
A．①②
C．②④
[答案] D
28．(2010·山东文，4)在空间，下列命题正确的是( )
A．平行直线的平行投影重合
B．平行于同一直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行
[答案] D
[解析] 当两平行直线都与投影面α垂直时，其在α内的平行投影为两个点，当两平行
直 线所在平面与投影面α相交但不垂直时，其在α内的平行投影可平行，故A错；在正方
体ABCD－A< br>1
B
1
C
1
D
1
中，直线AA
1< br>与平面BCC
1
B
1
及平面CDD
1
C
1< br>都平行，但平面BCC
1
B
1
与平面CDD
1
C1
相交，故B错；同样，在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，平面BCC
1
B
1
及平面
C DD
1
C
1
都与平面ABCD垂直，但此二平面相交，故C错；由线面垂直的 性质定理知D正
确．
29．对于直线m、n和平面α、β、γ，下列命题中，正确命题的个数为( )
①若m∥α，n⊥m，则n⊥α
②若m⊥α，n⊥m，则n∥α
B．③④
D．①③

③若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ
④若m⊥α，m?β，则α⊥β
A．1
C．3
[答案] A
[解析] ①②③错，④正确．
30．(09·广东文)给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一条直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中为真命题的是( )
A．①和②
C．③和④
[答案] D
31．(09·浙江文)设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是( )
A．若l⊥α，α⊥β，则l?β
B．若l∥α，α∥β，则l?β
C．若l⊥α，α∥β，则l⊥β
D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β
[答案] C
[解析] l⊥α，α⊥β?l∥β或l?β，A错；
l∥α，α∥β?l∥β或l?β，B错；
l⊥α，α∥β?l⊥β，C正确；
若l∥α，α⊥β，则l与β位置关系不确定，D错．
32．a、b为不重合的直线，α，β为不重合的平面，给出下列4个命题：
①a∥α且a∥b?b∥α；
②a⊥α且a⊥b?b∥α；
③a⊥α且a⊥b?b⊥α；
④a⊥β且α⊥β?a∥α.
其中正确命题的个数为( )
A．0
C．2
[答案] A
B．1
D．3


B．②和③
D．②和④
B．2
D．4

[解析]

a∥α
?
?
?
?b∥α或b?α；
?
a∥b
?


a⊥α
?
?
?
?b∥α或b?α；
?
a⊥b?
?
a⊥β
?
?
?a∥α或a?α.
α⊥β
?
?
33．如图，BC是Rt△ABC的斜边，AP⊥平面ABC，PD⊥BC于D，则图中共 有________
个直角三角形( )

A．8
C．6
[答案] A
[解析] △PAC，△PAD，△PAB，△PDC，△PDB，△CDA，△BDA，△CAB共8个．
ππ
34．如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和.过A、
46
B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB?A′B′等于( )
B．7
D．5

A．2∶1
C．3∶2
[答案] A
π
[解析] 由已知条件可知∠BAB′＝，
4
π
∠ABA′＝，设AB＝2a，
6
ππ
则BB′＝2asin＝2a，A′B＝2acos＝3a，
46
∴在Rt△BB′A′中，得A′B′＝a，∴AB?A′B′＝2?1.
35．已知a、b、c是直线，α、β是平面，下列条件中，能得出直线a⊥平面α的是( )
A．a⊥c，a⊥b，其中b?α，c?α
B．a⊥b，b∥α


B．3∶1
D．4∶3

C．α⊥β，a∥β
D．a∥b，b⊥α
[答案] D
[解析] A中缺b与c相交的条件；如图(1 )，可知b∥α，a⊥b时，a与α可平行、可相
交，相交时也可垂直，故B错；

如图(2)是一个正方体，满足α⊥β，直线a可以是AC，也可以是AB，故C错．
36． 在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中
不成立的是( )
．．．
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC
D．平面PAE⊥平面ABC
[答案] C
[解析] ∵D、F分别为AB、CA中点，∴DF∥BC.
∴BC∥平面PDF，故A正确．
又∵P－ABC为正四面体，
∴P在底面ABC内的射影O在AE上．∴PO⊥平面ABC.∴PO⊥DF.
又∵E为BC中点，∴AE⊥BC，∴AE⊥DF.
又∵PO∩AE＝O，∴DF⊥平面PAE，故B正确．

又∵PO?面PAE，PO⊥平面ABC，
∴面PAE⊥面ABC，故D正确．
∴四个结论中不成立的是C.
二填空题
1．如图，AB是圆O的直径，C是异于A 、B的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所
在的平面，AC＝3，PA＝4，AB＝5，则直线PB与 平面PAC所成角的正弦值为________．

[答案]
441

41
[解析] ∵PA⊥平面ABC ∴PA⊥BC，
又BC⊥AC ∴BC⊥平面PAC，
∴∠BPC为直线PB与平面PAC所成的角．
在Rt△PAB中，PA＝4，AB＝5，∴PB＝41，
在Rt△ABC中，AC＝3，AB＝5，∴BC＝4，
BC441
∴sin∠BPC＝＝.
PB41
2．?ABCD的对角线交点 为O，点P在?ABCD所在平面外，且PA＝PC，PD＝PB，则
PO与平面ABCD的位置关系是 ________．
[答案] 垂直
[解析] ∵PA＝PC，O是AC的中点，∴PO⊥AC.
同理可得PO⊥BD.∵AC∩BD＝O，
∴PO⊥平面ABCD.
3．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，PA⊥平面ABCD ，且PA＝1，则点P到对角线
BD的距离是________．
[答案]
13

5
[解析] 因为AB＝3，BC＝4，所以BD＝5，过A作AE⊥ BD，连接PE，∵PA⊥平面
ABCD，∴PA⊥BD，
∵PA∩AE＝A，∴BD⊥平面PAE，∴PE⊥BD，
12
在△ABD中，AE ＝，所以PE＝
5
12
?
2
13
1
2
＋< br>?
?
5
?
＝
5
.
4．(2010·湖南文 ，13)如图中的三个直角三角形是一个体积20cm
3
的几何体的三视图，
则h＝_ _____ cm.

[答案] 4
1
[解析] 该几何 体是一个底面是直角三角形，一条侧棱垂直于底面的三棱锥如图，V＝
3
1
?
×
?
?
2
×5×6
?
×h＝20，∴h＝4 cm.

5．(09·全国Ⅰ文)已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面
得到圆M，若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于________．
[答案] 16π
[解析] 设球的半径为R，截面圆的半径为r，
πr
＝3π
?
?
则有
?
?
R
?
22

2
?
?
?
2
?
＋r＝R
解得R＝2，∴球O的表面积S＝4πR
2
＝16π.
6．如图，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝a.
2


(1)二面角A－PD－C的度数为________；
(2)二面角B－PA－D的度数为________；
(3)二面角B－PA－C的度数为________；
(4)二面角B－PC－D的度数为________．
[答案] 90°；90°；45°；120°
[解析] (1)PA⊥平面ABCD ∴PA⊥CD

又ABCD为正方形，∴CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，
又CD?平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD，
∴二面角A－PD－C为90°.
(2)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AD⊥PA
∴∠BAD为二面角B－AP－D的平面角
又∠BAD＝90°，∴二面角B－AP－D为90°
(3)PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA
∴∠BAC为二面角B－PA－C的平面角
又ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°
即二面角B－PA－C为45°
(4)作BE⊥PC于E，连DE

则由△PBC≌△PDC知∠BPE＝∠DPE
从而△PBE≌△PDE
∴∠DEP＝∠BEP＝90°，且BE＝DE
∴∠BED为二面角B－PC－D的平面角
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又AB⊥BC，
∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，
PB·BC6
∴BE＝＝a，BD＝2a
PC3
BO3
∴取BD中点O，则sin∠BEO＝＝，
BE2
∴∠BEO＝60°，∴∠BED＝120°
∴二面角B－PC－D的度数为120°.
7．已知二面角α－AB－β为120°，AC? α，BD?β，且AC⊥AB，BD⊥AB，AB＝AC＝
BD＝a，则
(1)CD的长为________；
(2)CD与AB所成的角为________．
[答案] (1)2a (2)60°
[解析] 在平面β内，作AD′綊BD，连DD′，则DD′綊AB

(1)∵AC⊥AB，D′A⊥AB，
∴∠D′AC为二面角α－AB－β的平面角
即∠D′AC＝120°
∵AB＝AC＝BD＝a，∴CD′＝3a
又AB⊥平面ACD′，DD′∥AB，∴DD′⊥平面ACD′
∴DD′⊥D′C，又DD′＝a
∴CD＝DD′
2
＋D′C
2
＝2a
(2)∵DD′∥AB
∴∠D′DC为异面直线CD与AB所成的角
在Rt△DD′C中，DD′＝a，CD＝2a
∴∠D′DC＝60°，即CD与AB所成的角为60°.
8．已知边长为a的菱形ABCD 中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，
则E到平面PBC的距离为_____ ___．

[答案]
3
a
4
[解析] 如图，设AC交BD于O，连EO，
∵E、O分别为PA、AC的中点，∴EO∥PC，
又EO?面PBC，PC?面PBC，

∴EO∥平面PBC，于是EO上任一点到 平面PBC的距离都相等，则O点到平面PBC
的距离即为所求．
在平面ABCD内过O作OG⊥BC于G，∵PC⊥平面ABCD，
∴PC⊥OG，

∴OG⊥平面PBC.
∵ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴OG＝
3a3a3
sin∠OBC＝×sin30°＝a.
224
3
a.
4
即E到面PBC距离为
9．正方体ABC D－A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1，O是 底面A
1
B
1
C
1
D
1
的中心，则O到平 面ABC
1
D
1
的距离为__________．
[答案]
2

4
[解析] (1)转化为点A
1
到平面ABC
1
D
1
的距离，连A
1
D交AD
1
于O
1
点，可证A
1
O
1
⊥平
面ABC
1
D< br>1
，
∴A
1
到平面ABC
1
D
1
距离A
1
O
1
＝
从而O到平面ABC
1
D
1
距离为
2
，
2
2
.
4
(2)转化为 直线到平面的距离，过O作直线EF∥A
1
B
1
交A
1
D< br>1
于E，交B
1
C
1
于F，过E
作EE
1< br>⊥AD
1
，可证EE
1
⊥平面ABC
1
D
1
从而得解．
10．三条直线a∥b∥c，若b、c距离为2，a、c距离为1，a、b距离为 7，则由a、c
确定的平面α与b的距离为________．

[答案] 3
[解析] 在直线b上取一点P，过P作PO⊥α于O，作OQ⊥c于Q，交直线a于R，
则O Q⊥a，∴c⊥平面POQ，a⊥平面POR，∴PQ⊥c，PR⊥a，
依题设条件，QR＝1，PQ ＝2，PR＝7，设OQ＝x，PO＝h，则x
2
＋h
2
＝4，(x＋1)< br>2
＋
h
2
＝7，解之得h＝3.
11．把等腰直角△ABC 沿斜边BC上的高线AD折成一个二面角，此时∠BAC＝60°，那
么此二面角的大小是______ ____．
[答案] 90°
[解析] 设AB＝a
∵AB＝AC，∠BAC＝60°

∴BC＝a，又BD＝DC＝
∴∠BDC＝90°
又BD⊥AD，AD⊥CD
∴∠BDC为二面角B－AD－C的平面角．
故填90°.
12．α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β外的两条不同直线，给出四个论断：
①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结 论，写出你认为正确的一个命题是
__________．
[答案] ①、③、④?②；②、③、④?①
13．直角△ABC的斜边BC在平面α内，顶点A在平面α外，则 △ABC的两条直角边
在平面α内的射影和斜边BC组成的图形只能是________．
[答案] 线段或钝角三角形
[解析] 当△ABC所在平面与α垂直时为线段；否则如图A ′C
2
＋A′B
2
2
＋AB
2
＝< br>BC
2
，
2
a
2

∴△A′BC为钝角三角形．
14．△ABC的三边长分别为3、4、5，P为平面ABC外 一点，它到三边的距离都等于2，
则P到平面ABC的距离是________．
[答案] 3
[解析] 顶点在底面上的射影O为三角形ABC的内心，其内切圆半径r＝1，则PO＝3. < br>15．P为△ABC所在平面外一点，PA、PB、PC与平面ABC所成角均相等，又PA与
B C垂直，那么△ABC形状可以是________．
①正三角形 ②等腰三角形 ③非等腰三角形 ④等腰直角三角形(将你认为正确的序
号全填上)
[答案] ①②④

[解析] 设点P在底面ABC上的射影为O，由PA、PB、PC与平面ABC所成角 均相等，
得OA＝OB＝OC，即点O为△ABC的外心，又由PA⊥BC，得OA⊥BC，即AO为△ ABC
中BC边上的高线，∴AB＝AC，即△ABC必为等腰三角形，故应填①②④.

章节测试
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小 题给出的四个选项中
只有一个是符合题目要求的)
1．(2013～2014·福建师大附中 模块)设α，β表示两个平面，l表示直线，A，B，C表示
三个不同的点，给出下列命题：
①若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l?α；
②α，β不重合，若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB；
③若l?α，A∈l，则A?α；
④若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线，则α与β重合．
则上述命题中，正确的个数是( )
A．1
C．3
[答案] C
[解析] 根据公理1可知①正确；根据公理3可知②正确，根据公理2可知④ 正确；当
点A为直线l与平面α的交点时，可知③错误．
2．菱形ABCD在平面α内，PC⊥α，则PA与对角线BD的位置关系是( )
A．平行
C．相交垂直
[答案] D
[解析] ∵PC⊥平面α，∴P C⊥BD，又在菱形ABCD中，AC⊥BD，∴BD⊥平面PAC.
又PA?平面PAC，∴BD⊥P A.显然PA与BD异面，故PA与BD异面垂直．
3．设P是△ABC所在平面α外一点，H是P在 α内的射影，且PA，PB，PC与α所成
的角相等，则H是△ABC的( )
A．内心
C．垂心
[答案] B
[解析] 由题意知Rt△PHA≌Rt△PHB≌Rt△ PHC，得HA＝HB＝HC，所以H是△ABC
的外接圆圆心．
4．已知二面角α－l－β 的大小为60°，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所
成的角为( )
A．30°
C．90°
[答案] B
B．60°
D．120°
B．外心
D．重心
B．相交但不垂直
D．异面垂直
B．2
D．4

[解析] 易知m，n所成的角与二面角的大小相等，故选B.
5．(2013～2014·珠海模拟)已知a， b，l表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的
平面，有下列命题：
①若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥γ；
②若a，b相交，且都在α，β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；
③若α⊥β，α∩β＝a，b?β，a⊥b，则b⊥α；
④若a∩α，b∩α，l⊥a，l⊥b，则l⊥α.
其中正确的有( )
A．0个
C．2个
[答案] C
[解析] 可借助正方体模型解决．如 图，在正方体A
1
B
1
C
1
D
1
－
ABCD中，可令平面A
1
B
1
CD为α，平面DCC
1
D
1
为β，平面A
1
B
1
C
1
D
1
为γ.又平面A
1
B
1
CD∩DCC
1
D
1
＝CD，平面A
1
B
1
C
1
D
1∩平面DCC
1
D
1
＝
C
1
D
1，则CD与C
1
D
1
所在的直线分别表示a，b，因为CD∥C
1
D
1
，但
平面A
1
B
1
CD与平面A< br>1
B
1
C
1
D
1
不平行，即α与γ不平行， 故①错误．因
为a，b相交，可设其确定的平面为γ，根据a∥α，b∥α，可得γ∥α.同理可得γ∥ β，因此α
∥β，②正确．由两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线和另一个平面垂直，易知③< br>正确．a∥b时，由题知l垂直于平面α内两条不相交直线，得不出l⊥α，④错误．
6．(2 013·新课标全国Ⅱ)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥
m，l⊥n ，l?α，l?β，则( )
A．α∥β且l∥α
C．α与β相交，且交线垂直于l
[答案] D
[解析] 由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面 β必相交，
但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，则交线平行于l，故 选
D.
7．在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1< br>D
1
中，E，F分别是线段A
1
B
1
，B
1
C
1
上的不与端点重合的
动点，如果A
1
E＝B
1
F，有下面四个结论：
①EF⊥AA
1
；②EF∥AC；③EF与AC异面；④EF∥平面ABCD.
其中一定正确的有( )
A．①②
C．②④
[答案] D
B．②③
D．①④
B．α⊥β且l⊥β
D．α与β相交，且交线平行于l
B．1个
D．3个

[解析] 如右图所示．由于AA
1
⊥平面A
1
B< br>1
C
1
D
1
，EF?平面
A
1
B< br>1
C
1
D
1
，则EF⊥AA
1
，所以①正确 ；当E，F分别是线段A
1
B
1
，B
1
C
1
的中点时，EF∥A
1
C
1
，又AC∥A
1
C
1
，则EF∥AC，所以③不正确；当
E，F分别不是线段A
1
B
1< br>，B
1
C
1
的中点时，EF与AC异面，所以②不
正确；由于 平面A
1
B
1
C
1
D
1
∥平面ABCD， EF?平面A
1
B
1
C
1
D
1
，所以EF∥平面ABCD，所以④正确．
8．如图，若Ω是长方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
被平面EFGH截去几何体
EFGHB
1
C
1
后得到的几何体，其中E为线段A
1
B
1< br>上异于B
1
的点，F为线段
BB
1
上异于B
1
的点，且EH∥A
1
D
1
，则下列结论中不正确的是( )
A．EH∥FG
C．Ω是棱柱
[答案] D
[解析] 因为EH∥A< br>1
D
1
，A
1
D
1
∥B
1
C
1
，所以EH∥B
1
C
1
，又EH?平面BCC
1
B
1
，所以EH
∥平面BCC
1
B
1
， 又EH?平面EFGH，平面EFGH∩平面BCC
1
B
1
＝FG，所以EH ∥FG，又
EH∥B
1
C
1
，所以Ω是棱柱，所以A，C正确；因为 A
1
D
1
⊥平面ABB
1
A
1
，EH∥A
1
D
1
，所以
EH⊥平面ABB
1
A
1< br>，又EF?平面ABB
1
A
1
，故EH⊥EF，所以B正确，故选D.
9．(2012·大纲版数学(文科))已知正方体ABCD－A
1
B
1C
1
D
1
中，E、F分别为BB
1
、CC
1< br>的中点，那么直线AE与D
1
F所成角的余弦值为( )
4
A．－
5
3
C．
4
[答案] B
[命题意图] 本试题考查了正方体中异面直线的所成角的求解的运用．
[解析] 首先根据已知条件，连接DF，然 后则∠DFD
1
即为异面直线所成的角，设棱长
为2，则可以求解得到
5＝DF＝D
1
F，DD
1
＝2，结合余弦定理得到结论．
10．如图，在三棱柱ABC－A′B′C′中，点E，F，H，K分别
为AC′，CB′，A′B， B′C′的中点，G为△ABC的重心，从K，
H，G，B′中取一点作为P，使得该三棱柱恰有2条棱 与平面PEF平
行，则点P为( )
A．K
C．G
[答案] C
[解析] 应用验证法：选G点为P时，EF∥A′B′且EF∥AB，此时恰有A′B′和AB
B．H
D．B′
3
D．
5
3
D．－
5
B．四边形EFGH是矩形
D．Ω是棱台

平行于平面PEF，故选C.
11．如图，四边形ABCD中，AD∥BC， AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△
ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BC D，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下
列结论正确的是( )

A．平面ABD⊥平面ABC
C．平面ABC⊥平面BDC
[答案] D
[解析] 由平面图形易知∠BDC＝90°.∵平面ABD⊥平面BCD，CD⊥BD，∴CD⊥平面
ABD.∴CD⊥AB.又AB⊥AD，CD∩AD＝D，∴AB⊥平面ADC.又AB?平面ABC， ∴平面ADC
⊥平面ABC.
12．(2013·全国卷)已知正四棱柱ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，AA
1
＝ 2AB，则CD与平面BDC
1
所成角的正弦值等于( )
2
A．
3
C．
2

3
B．
3

3
B．平面ADC⊥平面BDC
D．平面ADC⊥平面ABC
1
D．
3
[答案] A
[解析] 如图，连接AC交BD于点O ，连接C
1
O，过C作CH⊥
C
1
O于点H，


?
BD⊥AC
?
?
AA
1
⊥BD
?
?
AC∩AA
1
＝A
?
?
BD⊥面ACC
1< br>A
1
?
?
?

CH?面ACC
1
A
1
?
?

BD⊥HC
?
?
OC
1
⊥HC
?
?CH⊥面BDC
1
，
BD∩OC
1
＝O
?
?
∴∠HDC为CD与面 BDC
1
所成的角，
设AA
1
＝2AB＝2，OC＝
23 2OC·CC
1
2CH
，CC
1
＝2，OC
1
＝， CH＝＝，∴sin∠HDC＝
22OG3CD

2
＝，故选A.
3
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)
13．直线l与平面α所成角为30°，l∩α＝A，m?α，A?m，则m与l所成角的取值范围
是 ________．
[答案] [30°，90°]
[解析] 直线l与平面α所成的30 °的角为m与l所成角的最小值，当m在α内适当旋
转就可以得到l⊥m，即m与l所成角的最大值为9 0°.
14．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是< br>PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为是正< br>确的条件即可)．

[答案] DM⊥PC(或BM⊥PC)
[解析] 连 接AC，则BD⊥AC，由PA⊥底面ABCD，可知BD⊥PA，∴BD⊥平面PAC，
∴BD⊥PC .故当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，平面MBD⊥平面PCD.
15．(2014·北京高考理科 数学)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长
为________．

[答案] 22
[解析] 三棱锥的直观图如右图．
AB⊥面BCD，△BCD为等腰直角三角形．
AB＝2，BD＝2，BC＝CD＝2，
AC＝AB
2
＋BC
2
＝6，

AD＝AB
2
＋BD
2
＝2
2
＋2
2
＝22. 16．(2013·高考安徽卷)如图正方体ABCD－A
1
B
1
C1
D
1
，棱长为1，P为BC中点，Q为
线段CC
1
上 的动点，过A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的
是________．( 写出所有正确命题的编号)

1
①当02
1
②当CQ＝时，S为等腰梯形
2
31
③当CQ＝时， S与C
1
D
1
交点R满足C
1
R
1
＝
43
3
④当4
⑤当CQ＝1时，S的面积为
[答案] ①②③⑤
[解析] 设截面与DD
1
相交于T，则AT∥PQ，且AT＝2PQ?DT＝2CQ.
1
对于①，当02
1
对于②，当CQ＝时，DT＝1，T与D重合，截面S为四边形APQO
1
，所以AP＝D
1
Q，
2
截面为等腰梯形，所以为真．
3111
对于③，当CQ＝，QC
1
＝，DT＝2，D
1
T＝，利用 三角形相似解得，C
1
R
1
＝，所以
4423
为真． 33
对于④，当1
D
1，D
1
C
1
相交，所以四边形S为五
42
边形，所以为 假．
对于⑤，当CQ＝1时，Q与C
1
重合，截面S与线段A
1
D
1
相交于中点G，即即为菱形
APC
1
G，对角线长度为2和3，S 的面积为
6
，所以为真，综上，选①②③⑤.
2
6
.
2
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)如右图，在三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，△ABC与△A
1
B
1
C
1
都为正
三角形且AA
1
⊥面ABC，F、F
1
分别是AC，A
1< br>C
1
的中点．

求证：(1)平面AB
1
F
1
∥平面C
1
BF；
(2)平面AB
1
F
1
⊥平面ACC
1
A
1
.
[分析] 本题可以根据面面平行和面面垂直的判定定理和性质定理，寻找使结论成立的
充分条件．
[证明] (1)在正三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，
∵F、F
1
分别是AC、A
1
C
1
的中点， ∴B
1
F
1
∥BF，AF
1
∥C
1
F .
又∵B
1
F
1
∩AF
1
＝F
1
，C
1
F∩BF＝F，
∴平面AB
1
F
1
∥平面C
1
BF.
( 2)在三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，AA
1< br>⊥平面A
1
B
1
C
1
，∴B
1
F< br>1
⊥AA
1
.
又B
1
F
1
⊥A< br>1
C
1
，A
1
C
1
∩AA
1
＝A
1
，
∴B
1
F
1
⊥平面ACC
1
A
1
，而B
1
F
1
?平面AB
1
F
1
，
∴平面AB
1
F
1
⊥平面ACC
1
A
1
.
18．(本小题满分12分)(2013·四川·文科)如图，在 三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，侧棱AA
1⊥
底面ABC，AB＝AC＝2AA
1
＝2，∠BAC＝120°，D，D
1
分别是线段BC，B
1
C
1
的中点，P是
线段AD上异 于端点的点．

(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面A
1
BC平行 的直线l，说明理由，并证明直线l
⊥平面ADD
1
A
1
；
1
(2)设(1)中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A
1
－QC
1
D的体积．(锥体体积公式：V＝Sh，
3
其中S为底面面积，h为高)
[解析] (1)在平面ABC内，过点P作直线l和BC平行．
理由如下：
由于直线l不在平面A
1
BC内，l∥BC，
故直线l与平面A
1
BC平行．
在△ABC中，∵AB＝AC，D是线段AC的中点，
∴AD⊥BC，∴l⊥AD.

又∵AA
1
⊥底面ABC，∴AA
1
⊥l.
而AA
1
∩AD＝A，∴直线l⊥平面ADD
1
A
1
.
(2)过点D作DE⊥AC于点E.
∵侧棱AA
1
⊥底面ABC，∴三棱柱 ABC－A
1
B
1
C
1
为直三棱柱，
则易得DE⊥平面AA
1
C
1
C.
在Rt△ACD中，∵AC＝2，∠CAD＝60°，
∴AD＝AC·cos60°＝1，
∴DE＝AD·sin60°＝
3
.
2
11
∴S△QA< br>1
C
1
＝·A
1
C
1
·AA
1＝×2×1＝1，
22
113
∴三棱锥A
1
－QC
1
D的体积VA
1
－QC
1
D＝VD－QA
1
C1
＝·S△QA
1
C
1
·DE＝×1×＝
332
3
.
6
19．(本小题满分12分)如下图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA ⊥平面ABCD，AB＝4，
BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．

(1)证明：CD⊥平面PAE；
(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB 与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P－
ABCD的体积．
[解析] (1)证明：如下图所示，连接AC，由AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，得AC＝5.

又AD＝5，E是CD的中点，所以CD⊥AE.
∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD.
而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE.

(2)过点B作BG∥CD，分别与AE，AD相交于F，G，连接PF.
由 (1)CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE.于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角，
且B G⊥AE.
由PA⊥平面ABCD知，∠PBA为直线PB与平面ABCD所成的角．
由题意，知∠PBA＝∠BPF，
PABF
因为sin∠PBA＝，sin∠BPF＝，所以PA＝BF.
PBPB< br>由∠DAB＝∠ABC＝90°知，AD∥BC，又BG∥CD，所以四边形BCDG是平行四边形，故GD＝BC＝3.于是AG＝2.
在Rt△BAG中，AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，所以
AB
2
168585
BG＝AB＋AG＝25，BF＝＝＝.于是PA＝BF ＝.
BG
25
55
22
1
又梯形ABCD的面积为S＝× (5＋3)×4＝16，所以四棱锥P－ABCD的体积为
2
11851285
V＝×S×PA＝×16×＝.
33515
2 0．(本小题满分12分)(2013·全国新课标卷Ⅰ)如图三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，CA＝CB，
AB＝AA
1
，∠BAA
1
＝60°，

(1)证明AB⊥A
1
C；
(2)若A C
1
＝6，AB＝CB＝2，求三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
的体积S.
[命题意图] 本题主要考查空间线面，线线垂直的判定与性质，及体 积的计算，考查空
间想象能力，逻辑推理论证能力，属容易题．

[解析] (1)证明：取AB中点E，连接CE，A
1
B，A
1
E，
∵AB ＝AA
1
，∠BAA
1
＝60°，∴△BAA
1
是等边三角 形，
∴A
1
E⊥AB，∵CA＝CB，∴CE⊥AB，
∵CE∩A
1
E＝E，∴AB⊥面CEA
1
，∴AB⊥A
1
C.
( 2)由于△CAB为等边三角形，∴CE＝3，A
1
E＝3，在△A
1
CE中 A
1
C＝6.即有A
1
C
2
11
＝CE
2
＋A
1
E
2
，故A
1
E⊥CE，S
底面积
＝×AB×CE＝×2×23＝23，A
1
E⊥AB，A
1
E⊥CE ，
22

∴h＝A
1
E＝3，V＝Sh＝23×3＝6.

21．(本小题满分12分)(2013·福建改编)如图，在四棱锥P－ABCD中，PD ⊥平面ABCD，
AB∥DC，AB⊥AD，BC＝5，DC＝3，AD＝4，∠PAD＝60°. < br>(1)当正视方向为从A到D的方向时，画出四棱锥P－ABCD的正视图(要求标出尺寸，
并写 出演算过程)；
(2)若M为PA的中点，求证：DM∥平面PBC；
(3)求三棱锥D－PBC的体积．
[解析] (1)如图1，在梯形ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E.
由已知得，四边形ADCE为矩形，AE＝CD＝3，
在Rt△BEC中，由BC＝5，CE＝4，
依据勾股定理得BE＝3，从而AB＝6.
又由PD⊥平面ABCD得，PD⊥AD，
从而在Rt△PDA中，由AD＝4，∠PAD＝60°，
得PD＝43.
正视图如图2所示：

(2)方法一：如图3，取PB的中点N，连接MN，CN.
在△PAB中，∵M是PA的中点，
1
∴MN∥AB，MN＝AB＝3，又CD∥AB，CD＝3，
2
∴MN∥CD，MN＝CD，
∴四边形MNCD为平行四边形，∴DM∥CN.
又DM?平面PBC，CN?平面PBC，
∴DM∥平面PBC.

方法二：如图4，取AB的中点E，连接ME，DE.
在梯形ABCD中，BE∥CD，且BE＝CD，
∴四边形BCDE为平行四边形，∴DE∥BC.
又DE?平面PBC，BC?平面PBC，∴DE∥平面PBC.
又在△PAB中，ME∥PB，ME?平面PBC，PB?平面PBC，∴ME∥平面PBC.
又DE∩ME＝E，∴平面DME∥平面PBC.
又DM?平面DME，∴DM∥平面PBC.
1
(3)V
D
－PBC
＝V
P
－
DBC
＝S
△
DBC
·PD，
3
又S
△
DBC
＝6，PD＝43，所以V
D< br>－
PBC
＝83.
22．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD 中，底面ABCD是矩形，已知AB＝3，
AD＝2，PA＝2，PD＝22，∠PAB＝60°.

(1)求证：AD⊥平面PAB；
(2)求异面直线PC与AD所成的角的正切值；
(3)求二面角P－BD－A的正切值．
[解析] (1)证明：在△PAD中，∵PA＝2，AD＝2，PD＝22，
∴PA
2
＋AD
2
＝PD
2
，∴AD⊥PA.
在矩形ABCD中，AD⊥AB.
∵PA∩AB＝A，∴AD⊥平面PAB.
(2)∵BC∥AD，∴∠PCB是异面直线PC与AD所成的角．
在△PAB中，由余弦定理得
PB＝PA
2
＋AB
2
－2PA·AB·cos∠PAB＝7.
由(1)知AD⊥平面PAB，PB?平面PAB，
∴AD⊥PB，∴BC⊥PB，
则△PBC是直角三角形，

故tan∠PCB＝
PB7
＝.
BC2
7
.
2
∴异面直线PC与AD所成的角的正切值为
(3)过点P作PH⊥AB于点H，过点H作HE⊥BD于点E，连结PE.
∵AD⊥平面PAB，PH?平面ABCD，∴AD⊥PH.
又∵AD∩AB＝A，∴PH⊥平面ABCD.
又∵PH?平面PHE，∴平面PHE⊥平面ABCD.
又∵平面PHE∩平面ABCD＝HE，BD⊥HE，
∴BD⊥平面PHE.
而PE?平面PHE，∴BD⊥PE，
故∠PEH是二面角P－BD－A的平面角．
由题设可得，PH＝PA·sin60°＝3，
AH＝PA·cos60°＝1，BH＝AB－AH＝2，
AD4
BD＝AB
2
＋AD
2
＝13，HE＝·BH＝.
BD
13
PH39
∴在Rt△PHE中，tan∠PEH＝＝.
HE4
∴二面角P－BD－A的正切值为
39
.
4