全国高中数学-高中数学必修4第1单元思维导图
高二数学选修 2－ 1
第一章：命题与逻辑结构
知识点：
1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句
.
真命题：判断为真的语句
. 假命题：判断为假的语句
.
2、“若
p
，则
q
”形式的命题中的
p
称为命题的条件，
q
称为命题的结论
.
3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结
论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆
命题 .
其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题
.
若原命题为“若
p
，则
q
”，它的逆命题为“若
q
，则
p
”
.
4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的
条件的否定 和结论的否定 ，则这两个
命题称为互否命题
.
中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题
.
若原命题为“若
p
，则
q
”，则它的
否命题为“若
p
，则
q
”.
5
、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两
个命
题称为互为逆否命题。其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题。
若原命题为“若
p
，则
q
”，则它的否命题为“若
q
，则
p
”。
6、四种命题的真假性：
原命题
真
真
假
逆命题
真
假
真
假
否命题
真
假
真
假
逆否命题
真
真
假
假
假
四种命题的真假性之间的关系：
1
两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
2
两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
7、若
p
若
p
q
，则
p
是
q
的充分条件，
q
是
p
的必要条件．
q
，则
p
是
q
的充要条件（充分必要条件）
．
8、用联结词“且”把命题
当
p
、
q
都是真命题时，
用联结词“或”把命题
是假命题．
p
和命题
q
联结起来，得到一个新命题，记作
p q
．
p q
是真命题；当
p
、
q
两个命题中有一个命题是假命题时，
p q
是假命题．
p
和命题
q
联结起来，得到一个新命题，记作
p
q
．
当
p
、
q
两个命题中有一个命题是真命题时，
p q
是真命题；当
p
、
q
两个命题都是假命题时，
p
q
对一个命题
p
全盘否定，得到一个新命题，记作
若
p
是真命题，则
p
．
p
必是假命题；若
p
是假命题，则
p
必是真命题．
”表示．
9、短语“对所有的”
、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“
含有全称量词的命题称为全称命题．
全称命题“对
中任意一个
x
，有
p x
成立”，记作“
x
，
p x
”．
”表示．
短语“存在一个”
、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“
含有存在量词的命题称为特称命题．
特称命题“存在
中的一个
x
，使
p x
成立”，记作“
，
p x
，它的否定
，
p
x
，
，
p
，
p
x
”．
10、全称命题
p
：
x
特称命题
p
：
p
：
x
p
：
x
p
x
。全称命题的否定是特称命题。
x
。特称命题的否定是全称命题。
x
x
，它的否定
考点：
1、充要条件的判定
2
、命题之间的关系
典型例题： (必须看看 )
★
1．下面四个条件中，使
A ．
a
C．
a
2
a
b
成立的充分而不必要的条件是
B．
a
D．
a
3
b 1
b
2
b 1
b
3
★ 2．已知命题
P：
A ．
n∈ N， 2
n
＞
1000，则
P 为
n∈ N，
2
n
≤1000
B ． n∈ N， 2
n
＞
1000
D ． n∈ N， 2
n
＜ 1000
C． n∈ N， 2
n
≤ 1000
★３．
1是
x |
1
的
A ．充分不必要条件
C．充分必要条件
Ｂ．必要不充分条件
D．既不充分又不必要条件
第二章：圆锥曲线
知识点：
11、求曲线的方程（点的轨迹方程）的步骤：建、设、写（几何条件）
①建立
适当的 直角坐标系；②设动点
M x, y
入等式；⑤化简方程，并验证（
12、平面内与两个定点
查漏除杂 ）。
、代、化
及其他的点；
③找出满足限制条件的等式；④将点的坐标代
F
1
，
F
2
的距离之 和等于常数（大于
F
1
F
2
）的点的轨迹称为椭圆。这两个定点
称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距。
13、椭圆的几何性质：
焦点的位置
MF
1
MF
2
2a 2a 2c
焦点在
y
轴上
焦点在
x
轴上
图形
标准方程
x
2
a
2
y
2
b
2
1
a b 0
y
2
a
2
x
2
b
2
1 a b
0
范围
a
1
x a
且
b y
b
b x b
且
a y a
a,0
、
0, b
、
2
a,0
0,b
2b
1
0, a
、
2
0,a
b,0
顶点
1
2
1
b,0
、
2
轴长
短轴的长
长轴的长
2a
焦点
焦距
对称性
离心率
F
1
c,0
、
F
2
c,0
F
1
F
2
F
1
0,
c
、
F
2
0,c
a
2
b
2
，
a
最大
2c c
2
关于
x
轴、
y
轴对称，关于原点中心对称
e
准线方程
x
c
a
b
2
1
a
2
0 e
1
a
2
c
y
a
2
c
15、平面内与两个定点
F
1
，
F
2
的距离之 差的绝对值 等于常数（小于
这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距。
F
1
F
2
）的点的轨迹称为双曲线。
MF
1
MF
2
2a 2a
2c
16、双曲线的几何性质：
焦点的位置
焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
图形
标准方程
x
2
a
2
y
2
b
2
1
a 0,
b 0
y
2
a
2
x
2
b
2
1 a
0, b 0
a
，
x R
范围
x
1
a
或
x
a
，
y R
y
1
a
或
y
顶点
轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
a,0
、
2
a,0
0,
a
、
2
0,a
虚轴的长
2b
实轴的长
2a
F
1
c,0
、
F
2
c,0
F
1
F
2
F
1
0,
c
、
F
2
0,c
b
2
，
c
最大
2c
c
2
a
2
关于
x
轴、
y
轴对称，关于原点中心对称
e
a
2
c
c
a
b
2
1
a
2
e 1
准线方程
x
y
a
2
c
渐近线方程
y
b
x
a
y
a
x
b
17、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。
18、平面内与一个定点
F
和一条定直线
l
的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 定点
F
称为抛物线的焦点，
定直线 称为抛物线的准线．
19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于
l
、
两点的线段
，称为抛物线的“通径”
，即
2p
．
20、焦半径公式：
2
若点
x
0
, y
0
在抛物线
y
y
x
x
F
x
0
p
2
2 px
p
0
上，焦点为
F
，则
2
；
F
x
0
p
若点
x
0
, y
0
在抛物线
2
2 px
p
0
上，焦点为
F
，则
2
；
F
y
0
p
若点
x
0
, y
0
在抛物线
2
2 py
p
0
上，焦点为
F
，则
2
；
F
y
0
p
x
0
, y
0
在抛物线
若点
21、抛物线的几何性质：
2 py
p
0
上，焦点为 ，则
F
2
．
y
2
2 px
y
2
2 px
x
2
2 py
x
2
2 py
标准方程
p
0
p
0
p
0
p
0
图形
顶点
0,0
对称轴
x
轴
y
轴
焦点
F
p
, 0
F
p
, 0
F 0,
p
F 0,
2
2
x
p
2
e
1
2
p
2
p
2
p
准线方程
x
y
p
2
y
2
离心率
范围
x 0
x 0
y
0
y
0
考点：
1、圆锥曲线方程的求解
典型例题：
2、直线与圆锥曲线综合性问题
3、圆锥曲线的离心率问题
★★ 1．设双曲线的左准线与两条渐近线交于
A, B
两点，左焦点在以
AB
为直径的圆内，则该双曲线的离心率的
取值范围为
A．
(0, 2)
B．
(1,
2)
C．
(
2
2
,1)
D．
(
2
，
)
★★★ 2 ．设椭圆
x
2
a
2
y
2
b
2
1(a
b 0)
的左、右焦点分别为
F
1
， F
2
。点
P(a, b)
满足
| PF
2
| | F
1
F
2
|.
（Ⅰ）求椭圆的离心率
（Ⅱ）设直线
两点，且
| MN |
e
；
PF
2
与椭圆相交于
A ， B 两点，若直线
PF
2
与圆
(x 1)
2
( y
3)
2
16
相交于
M，N
5
| AB |
，求椭圆的方程。
第三章：空间向量
知识点：
1、空间向量的概念：
8
1
在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．
2
向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．
3
向量
的大小称为向量的模（或长度）
，记作．
4
模（或长度）为
0
的向量称为零向量；模为
5
与向量
a
长度相等且方向相反的向量称为
6
方向相同且模相等的向量称为相等向量．
1
的向量称为单位向量．
a
的相反向量，记作
a
．
2、空间向量的加法和减法：
1
求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法
则．即：在空间以同一点
为起点的两个已知向量
a
、
b
为邻边
作平行四边形
C
，则以
起点的对角线
C
就是
a
与
b
的和，
这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则．
2
求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：
在空间任取一点
3
、实数
当
0
，作
a
，
b
，则
a b
．
a
的乘积
是一个向量，称为向量的数乘运算．当
时，
与
方向相同；
与空间向量
时，
a
0
a
a
a
与
a
方向相反；当
0
时，
a
为零向量，记为
0
．
a
的长度是
a
的长度的
倍．
4、设 ，
分配律：
为实数，
a
，
b
是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．
a
ba b
；结合律：
a
a
．
5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．
6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量
使
a
a
，
b b
0
，
a b
的充要条件是存在实数
，
b
．
7、平行于同一个平面的向量称为共面向量．
8、向量共面定理：空间一点 位于平面
C
内 的 充 要
条 件 是 存 在 有 序 实 数 对
x
，
y
， 使
，有
x
x
y C
；或对空间任一定点
y
z C x y
z
x
y
C
；或若四点
， ，
，
C
共面，
则
1
．
9、已知两个非零向量
夹角，记作
a
和
b
，在空间任取一点
，作
a
，
0,
．
b
，则
称为向量
a
，
b
的
a,b
．两个向量夹角的取值范围是：
a
和
b
，若
a, b
a, b
10、对于两个非零向量
，则向量
a
，
b
互相垂直，记作
a
b
．
2
11 、 已 知 两 个 非 零 向 量
a
和
b
，
则
a b c o s a , b
称 为
a
，
b
的 数 量 积 ， 记 作
a b
．
即
．
．零向量与任何向量的数量积为
a b a bc o s
a,
b
0
12、
a b
等于
a
的长度
a
与
b
在
a
的方向上的投影
13 若
a
，
b
为非零向量，
e
为单位向量，则有
b cos a,b
的乘积．
1
e a
a e
a cos
a, e
；
2
2 a b
a b 0
；
3
a b
a b a与 b同向
a与 b反
a b
向
a b
．
，
a a
a
，
a
a a
；
4
cos a,b
a b
；
a
b
5
a b
14 量数乘积的运算律：
1
a b
b a
；
2
a
b
a b
a
b
；
3
a b c
p
，存在实数组
a c b
c
．
15、空间向量基本定理：若三个向量
使得
p
a
，
b
，
c
不共面，则对空间任一向量
x,
y, z
，
xa yb
zc
．
16、三个向量
a
，
b
，
c
不共面，则所有空间向量组成的集合是
p p
xa yb zc, x, y,
z
R
．这个集合可看作是由向量
a
，
b
，
c
生成的，
a
，
b
，
c
称为基向量．
a, b, c
称为空间的一个基底，
空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
17、设
e
，
e
，
e
为有公共起点
1
2 3
的三个两两垂直的单位向量
（称它们为单位正交基底）
，以
e
，
e
，
e
1 2 3
的公共起点
为原点，分别以
e
1
，
e
2
，
e
3
的方向为
x
轴，
y
轴，
z
轴的正方向建立空间直角坐标系
xyz
．则
对于空间任意一个向量
实数组
p
，一定可以把它平移，使它的起点与原点
重合，得到向量
p
．存在有序
x, y, z
，使得
p
xe
1
ye
2
ze
3
．把
x
，
y
，
z
称作向量
p
在单位正交基底
e
1
，
e
2
，
e
3
下的坐
标，记作
p
18、设
a
x, y, z
．此时，向量
p
的坐标是点
x , y , z
，
b
1
1 1
在空间直角坐标系
xyz
中的坐标
x, y, z
．
x , y
, z
，
2
2 2
则
1 a b
x
1
x
2
, y
1
y
2
, z
1
z
2
．
x
1
x
2
, y
1
y
2
, z
1
z
2
．
x
1
,
y
1
, z
1
．
y
1
y
2
z
1
z
2
．
2
a b
3
a
4
a b x
1
x
2
5
若
a
、
b
为非零向量，则
a
b
6
若
b
0
，则
a b
7
a
a
b
x
1
0
x
2
, y
1
x
1
x
2
y
1
y
2
y
2
,
z
1
z
1
z
2
z
2
．
0
．
a
b
a
a
x
1
2
y
1
2
z
1
2
．
a b
8
cos a,b
x
1
x
2
y
1
y
2
z
1
z
2
．
a b
x
1
2
y
1
2
z
1
2
x
2
2
y
2
2
z
2
2
2
2
2
9
x
1
, y
1
,
z
1
，
x
2
, y
2
, z
2
，则
d
x
2
x
1
y
2
y
1
z
2
z
1
．
19、在空间中，取一定点
为点
作为基点，那么空间中任意一点
的位置可以用向量
来表示．向量
称
的位置向量．
20、空间中任意一条直线
l
的位置可以由
l
上一个定点
以及一个定方向确定．点
，有
是直线
l
上一点，向
量
a
表示直线
l
的方向向量， 则对于直线
l
上的任意一点
直线
l
的位置，还可以具体表示出直线
21、空间中平面
ta
，这样点
和向量
a
不仅可以确定
l
上的任意一点．
的位置可以由
内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点
，它们的方
向向量分别为
a
，
b
．
为平面
上任意一点， 存在有序实数对
x, y
，使得
xa yb
，这样点
与
向量
a
，
b
就确定了平面
22、直线
l
垂直
的位置．
，取直线
l
的方向向量
a
，则向量
a
称为平面
的法向量．
23、若空间不重合两条直线
a
，
b
的方向向量分别为
a
，
b
，则
a b
a
b
a
b
R
，
a b a b
a n 0
，
a
a b 0
．
24、若直线
a
的方向向量为
a
，平面
的法向量为
n
，且
a
，则
a
a
a n
a
a
n
a
n
．
25、若空间不重合的两个平面
，
的法向量分别为
a
，
b
，则
a b
a
b
，
a
b
a b
0
．
26、设异面直线
cos
a
，
b
的夹角为
a b
，方向向量为
a
，
b
，，则有
．
cos
a b
a
b
27、设直线
l
的方向向量为
sin
cos
l
，平面
．
的法向量为
n
，
l
与
所成的角为
，
l
与
n
的夹角为
，则有
l
n
l
n
28、设
n
，
n
是二面角
1 2
l
的两个面
，
的法向量，
则向量
n
，
n
的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．
1 2
若二面角
l
的平面角为
，若
为锐角 则
cos
cos n
1
n
n
1
n
2
2
．
n
1
n
2
若
为钝角 则
cos
cos
n
1
n
2
n
1
n
2
n
1
n
2
．
29、点
与点
之间的距离可以转化为两点对应向量
的模
计算．
30 、 在 直 线
l
上 找 一 点 ，过 定
点
且 垂 直 于 直线
l
的 向 量 为
n
， 则 定 点
到 直 线
l
的 距 离 为
d
cos
, n
n
n
．
31、点
是平面
外一点，
是平面
内的一定点，
n
为平面
的一个法向量，则点
到平面
的距离
为
d
cos
, n
n
n
．
考点：
1、利用空间向量证明线线平行、线线垂直
2、利用空间向量证明线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直
3、利用空间向量证明线线角、线面角、面面角问题。
（以上是重点，好好看老师上课总结的笔记）
典型例题：
★★ 1．已知正方体
ABCD — A
1
B
1
C
1
D
1
中， E 为 C
1
D
1
的中点，则异面直线
AE 与 BC 所成角的余弦值为
。
★★★ 2．在如图所示的几何体中，四边形
ABCD 为平行四边形，
∠ ACB=
90
，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ， EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ
∥ＡＣ .ＡＢ =２ＥＦ .
（Ⅰ）若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ
;
（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ
=２ＡＥ ,求二面角Ａ -ＢＦ -Ｃ的大小．
★★★ 3.如图，在五棱锥 P— ABCDE 中，
PA
平面 ABCDE ，
ABCD ，ACED ，AEBC ，
ABC 45 , AB 2 2, BC
2 AE
4
，三角形
PAB
是等腰三角形。
（Ⅰ）求证：平面
PCD
平面 PAC；
（Ⅱ）求直线
PB 与平面 PCD 所成角的大小；
（Ⅲ）求四棱锥
P— ACDE 的体积。
必修二要看，重点看图黄色部分内容
4、空间点、直线、平面的位置关系
（ 1）平面
①
平面的概念： A.描述性说明；
B.平面是无限伸展的；
②
平面的表示： 通常用希腊字母 α、β 、γ表示，如平面 α（通常写在一个锐角内） ；
也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面
BC。
③
点与平面的关系： 点 A 在平面
内，记作
A
；点
A
不在平面 内，记作
A
点与直线的关系： 点 A 的直线
l 上，记作： A∈ l；
点 A 在直线 l 外，记作 A
l
；
直线与平面的关系 ：直线 l 在平面 α内，记作 l
α；直线
l 不在平面 α内，记作 l α。
（ 2）公理
1：如果一条直线的两点在一个平面内，
那么这条直线是所有的点都在这个平面内。
（即直线在平面内，或者平面经过直线）
应用：检验桌面是否平；
判断直线是否在平面内
用符号语言表示公理 1：
A
l , B l , A
, B
l
（ 3）公理
2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；
两平行直线确定一平面。
公理 2 及其推论作用： ①它是空间内确定平面的依据
②它是证明平面重合的依据
（ 4）公理
3：如果两个不重合的平面有一个公共点 ,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
符号：平面
α和β相交，交线是 a，记作 α∩β＝a。
符号语言：
P A B
A B l , P l
公理 3 的作用：
①它是判定两个平面相交的方法。
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。
③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。
（
5）公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行
（ 6）空间直线与直线之间的位置关系
①
异面直线定义：
不同在任何一个平面内的两条直线
②
异面直线性质
：既不平行，又不相交。
③
异面直线判定：
过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线
④
异面直线所成角 ：直线 a、b 是异面直线，经过空间任意一点 O，分别引直线
a’∥a，b’
∥b，则把直线 a’和 b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线 a
和 b 所成的角。
两条异面直线所成角的范围是（ 0°，
90°]，若两条异面直线所成的角是直角，
我们就说这 两条异面直线互相垂直。
说明：（1）判定空间直线是异面直线方法：①根据异面直线的定义；②异面直线的判定定理
（2）在异面直线所成角定义中，空间一点
O 是任取的，而和点 O
的位置无关。
②求异面直线所成角步骤：
A
、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点
选在特殊的位置上。
B、证明作出的角即为所求角
C、利用三角形来求角
（
7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。
（
8）空间直线与平面之间的位置关系
直线在平面内 —— 有无数个公共点．
三种位置关系的符号表示：
a
α
a∩α＝A
a∥α
（ 9）平面与平面之间的位置关系： 平行——没有公共点； α∥β
相交——有一条公共直线。 α∩β ＝b
5、空间中的平行问题
（ 1）直线与平面平行的判定及其性质
线面平行的判定定理 ：平面外一条直线与此平面内一条直线平行 ,则该直线与此平面平行。
线线平行
线面平行
线面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，
那么这条直线和交线平行。线面平行
线线平行
（
2）平面与平面平行的判定及其性
质两个平面平行的判定定理
（
1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平
行（线面平行→面面平行）
，
（
2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。
（线线平行→面面平行），
（ 3）垂直于同一条直线的两个平面平行，
两个平面平行的性质定理
（1）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。
（面面平行→线面平行）
（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
（面面平行→线线平行）6、
空间中的垂直问题
（
1）线线、面面、线面垂直的定义
①两条异面直线的垂直：
如果两条异面直线所成的角是直角， 就说这两条异面直线互相垂直。
②线面垂直：如果一条直线和一个
平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂
直。
③平面和平
面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组
成的图形）是直二面角（
平面角是直角） ，就说这两个平面垂直。
（
2）垂直关系的判定和性质定理
①线面垂直判定定理和性质定理
判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直， 那么这条直线垂直这个平面。性
质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。②面面垂直的判定定理和性质
定理<
br>
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
<
br>性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一
个平面
。
7、空间直角坐标系
（ 1）定义：如图，
OBCD
D
,
A
,
B
,
C
,
是单位正方体
.
以
A
为原点，
分别以 OD,O
A
,
,OB 的方向为正方向，建立三条数轴
x轴 .y 轴.z 轴
。
1）O 叫做坐标原点 2 ）x 轴， y 轴， z 轴叫做坐标轴 . 3
）过每两个坐标轴的平面叫做坐标
面。
（ 2）右手表示法：
令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。大拇指指向
为 x 轴正方向，食指指向为
y 轴正向，中指指向则为 z 轴正向，这样也可以决定三轴间的相
位置。
（
3）任意点坐标表示：空间一点 M的坐标可以用有序实数组
( x, y, z)
来表示，有序实数组
( x, y, z)
叫做点
M在此空间直角坐标系中的坐标，记作
M ( x, y, z)
（
x
叫做点
M的横坐标，
y
叫做点
M
的纵坐标， z 叫做点 M的竖坐标）
（ 4）空间两点距离坐标公式：
d (
x
2
x
1
)
2
(
y
2
y
1
)
2
(z
2
z
1
)
2